推理與證明、算法和復數命題規(guī)律與備考策略

高慧明 張琦

推理與證明一般與數列、幾何、等有關內容融合在一起考查.本部分內容是高考的新增內容，主要以選擇填空的形式出現(xiàn)，難度上屬中偏低檔題.新課標下把猜想、合情推理、類比推理與遞推數列等內容結合是試題的一個亮點，合情推理的考查仍將為高考的重點和熱點之一，因此要重視對合情推理的訓練.同時本單元是培養(yǎng)同學們良好思維習慣，學習和運用數學思想方法，形成數學能力的重要重要內容，但建議考生不必要去做過難的題目.

算法初步在原高中數學教學大綱中無此內容，是新課程高考的新增內容.主要以客觀形式題出現(xiàn).考查考生的算法思想.算法主要包括三種基本結構：順序結構、選擇結構和循環(huán)結構，考試中考查最多的是循環(huán)結構.常見的題型有兩種：一種是閱讀算法程序框圖，寫出執(zhí)行結果;第二種是已知程序框圖的執(zhí)行結果，填寫算法框圖的空白部份.近幾年的高考中，每年都有考查，一般每份試卷有一道算法題，且多以選擇題、填空題等中低檔題的形式出現(xiàn).試題主要考查算法含義、算法語句、程序框圖等內容，熱點主要體現(xiàn)在程序框圖上，試題背景多與函數、數列、三角、實際問題等知識進行整合，是試題命制的新亮點.

復數在高考中年年有題，而且所占份量不少，都是一些中低檔易得分的常規(guī)題.因此我們在備考復習中，一定要注意把握好其重點及其題型.首先要熟悉考查的知識要點：概念、復數的表示方法、幾何意義、復數運算法則、復數的基本性質等.其次要掌握重要題型：復數的運算、求復數的模、復數的加、減、乘、除運算的幾何意義及其應用.預計這些問題還將是今后高考命題的熱點，希望引起考生重視.

第一單元 合情推理與演繹推理

【考點聚焦】

本單元內容主要包括歸納推理和類比推理和演繹推理.其中歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理.

【經典解析】

考點1：歸納推理

例1.（2015年高考山東理科）觀察下列各式：

【收獲與點評】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.? ? ? ? ? ? ? ?.

【思維生長點】本題需要通過觀察已知的N（n，3），N（n，4），N（n，5），N（n，6）的展開式中n2的系數，發(fā)現(xiàn)是等差數列，進而能夠得到N（n，k）展開式中n2的系數.而進一步研究能夠發(fā)現(xiàn)，N（n，3），N（n，4），N（n，5），N（n，6）的展開式中n2與n的系數之和為1，所以可得n的系數.

【收獲與點評】進行歸納推理，所得到的結論都不一定正確，其結論的正確性是需要證明的.但是在一般情況下，如果歸納的個別事物越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結論也就越可靠.

考點2：類比推理

【收獲與點評】演繹推理是從一般到特殊的推理;其一般形式是三段論，應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略.

考點4：新定義下的歸納推理

【收獲與點評】①逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.②證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價（或充分）的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證.

考點3：反證法的應用

【收獲與點評】用反證法證明不等式要把握三點：①必須先否定結論，即肯定結論的反面;②必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據這一條件進行推證;③推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，且推導出的矛盾必須是明顯的.

例4.?直線y=kx+m（m≠0）與橢圓W：+y2=1相交于A，C兩點，O是坐標原點.

（Ⅰ）當點B的坐標為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長;

（Ⅱ）當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形.

【思維生長點】（I）先根據條件得出線段OB的垂直平分線方程，從而可求得A、C的坐標，根據兩點間的距離公式即可得出AC的長;（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數.設OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓+y2=1的交點，從而解得則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數.于是結論得證.

所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾.

所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形.

【收獲與點評】①掌握反證法的證明思路及證題步驟，明確作假設是反證法的基礎，應用假設是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的;②當證明的結論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時，常采用反證法;③利用反證法證明時，一定要回到結論上去.

第三單元 數學歸納法及其應用

【考點聚焦】

本單元內容就就是數學歸納法及其應用.

數學歸納法的框圖表示（如上頁圖）.

考點1：用數學歸納法證明等式

例1.?已知等差數列{an}的公差為3，其前n項和為Sn，等比數列{bn}的公比為2，且a1=b1=2.

（Ⅰ）求數列{an}與{bn}的通項公式;

（Ⅱ）記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N*，證明Tn+12=-2an+10bn（n∈N*）.

【思維生長點】（Ⅰ）代入等差、等比數列的通項公式求an，bn;（Ⅱ）注意到所證結論是關于“n”的命題，可運用數學歸納法證明.

由①②可知，對任意n∈N*，Tn+12=-2an+10bn成立.

【收獲與點評】①用數學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少.②由n=k時等式成立，推出n=k+1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化（差異），明確變形目標;二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程.

考點2：用數學歸納法證明不等式

【收獲與點評】用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時命題成立證n=k+1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化.

考點3：歸納——猜想——證明

【收獲與點評】“歸納-猜想-證明”的模式，是不完全歸納法與數學歸納法綜合應用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結論，然后經邏輯推理證明結論的正確性.

第四單元 算法與程序框圖

【考點聚焦】

本單元內容主要包括算法的含義、程序框圖和基本算法語句.

考點1：基本邏輯結構

【收獲與點評】此類問題的一般解法是嚴格按照程序框圖設計的計算步驟逐步計算，逐次判斷是否滿足判斷框內的條件，決定循環(huán)是否結束.要注意初始值的變化，分清計數變量與累加（乘）變量，掌握循環(huán)體等關鍵環(huán)節(jié).

考點2：程序框圖的識別與應用問題

【收獲與點評】識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路要注意以下三點：①要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環(huán)結構.②要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題.③按照題目的要求完成解答并驗證.

考點3：基本算法語句

例3.?（Ⅰ）根據圖1算法語句，當輸入x為60時，輸出y的值為（ ）

A.?25???????????B.?30???????????C.?31???????????D.?61

（Ⅱ）根據圖2的程序寫出相應的算法功能為________.

解析：（Ⅰ）通過閱讀理解知，算法語句是一個分段函數y=f（x）=0.5x，x≤50，25+0.6×（x-50），x>50，

∴?y=f（60）?=?25+0.6×（60-50）?=?31.

（Ⅱ）該程序是計算1～999中連續(xù)奇數的平方和.

【收獲與點評】輸入、輸出和賦值語句是任何一個算法必不可少的語句，一個語句可以輸出多個表達式.在賦值語句中，一定要注意其格式的要求，如“=”的右側必須是表達式，左側必須是變量;一個語句只能給一個變量賦值;變量的值始終等于最近一次賦給它的值，先前的值將被替換;條件語句的主要功能是實現(xiàn)算法中的條件結構，解決像“判斷一個數的正負”“比較兩個數的大小”“對一組數進行排序”“求分段函數的函數值”等問題，計算時就需要用到條件語句.

第五單元???復數

【考點聚焦】

本單元內容主要包括復數的基本概念，復數相等的充要條件，復數的代數表示法及其幾何意義，復數代數形式的四則運算，復數代數形式的加、減運算的幾何意義.

考點4：復數的概念

【收獲與點評】在做復數的除法時，要注意利用共軛復數的性質：若z1，z2互為共軛復數，則z1·z2=|z1|2=|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復數將分母實數化.

復數相等是一個重要概念，它是復數問題實數化的重要工具，通過復數的代數形式，借助兩個復數相等，可以列出方程（組）來求未知數的值.復數問題要把握一點，即復數問題實數化，這是解決復數問題最基本的思想方法.

（作者單位：北京市第十二中學）

責任編校???徐國堅