淺談排列組合中的站隊問題

齊航

排列與組合是《普通高中數學課程標準（實驗）》中“數與代數”學習領域的一部分內容.在古代春秋時期就已經有了組合數學思想的萌芽，由《周易》中對卦符問題的研究——“易生太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”可見，排列組合是一個名副其實的古老數學問題 .解答排列組合應用問題時，我們應首先弄清楚是排列（有序）問題，還是組合（無序）問題，或者是排列與組合的混合問題.其次，我們要準確的確定哪一步是“分類”，哪一步是“分步”.排列組合應用到實際生活中，常常令情景變得千頭萬緒，但其中仍蘊含著不變的解題規律.

本文通過一道帶有7個小問的例題全面且詳細的列舉出此類問題的解答策略.常用的方法有“直接法”和“間接法”（即剔除不符合限制條件的情況，因而間接法又稱為排除法）.如果問題的正面分的類較多或正面問題計算較復雜，而反面問題分的類較少或計算較簡便，則用“直接法”較麻煩，往往采用“間接法”.

用“直接法”來解決這類有限制條件的排列問題的基本方法有：特殊元素優先排——即以元素為主，優先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素；特殊位置優先放——即以位置為主，優先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置.

例（1）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？

（2）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

（3）7位同學站成一排，甲不能站排頭，乙不能站排尾的排法共有多少種？

（4）7位同學站成一排，其中甲不站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

（5）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

（6）7位同學站成一排，A、B、C三人互不相鄰共有多少種不同的排法？

（7）7位同學站成一排，A、B、C三人相鄰共有多少種不同的排法？

1. 兩個原理的應用

（1）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？

解法一首先，判斷“分類”還是“分步”；其次，確定“分步”之后，第一步：從7個不同的元素中取出3個元素，按照一定的順序排成一列，即A37種排法.第二步：剩下的4個元素進行全排列，即A44種排法；最后，利用“分步乘法計數原理”，即A37×A44種排法.

解法二分排問題直排處理.把n個元素排成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統一排成一排的方法處理.因7名同學可在前3后4的位置中隨意站位，再無其他條件，所以兩排可看做一排來處理，其不同站法種數為A77.

2.直接法

（2） 7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解本題正面計算簡便，故用“直接法”.甲站在中間已經固定，讓剩余的6個元素進行全排列即可，即A66種排法.

（3） 7位同學站成一排，甲不能站排頭，乙不能站排尾的排法共有多少種？

解本題考慮直接法時首先要選擇分類的標準.若以甲為研究對象，因為乙不能站在排尾，所以甲是否站在排尾要受乙的影響.進而分為兩類，第一類：甲站在排尾——由于甲站在排尾，所以同時滿足了甲不站排頭和乙不站排尾這兩個條件.從除甲之外的6個人中任取1人站在排頭，有A16種排法，剩下的5個人在中間的5個位置進行全排列，有A55種排法.由分步乘法計數原理共有A16×A55種排法；第二類：甲不站在排尾——此時考慮首位的特殊性，從除甲、乙外的5個人中任選1人站在排尾，有A15種排法，再從除甲和站在排尾的人之外的5個人中任選1人站在排頭，有A15種排法，最后將剩余的5個人在中間的5個位置進行全排列，有A55種排法.由分步乘法計數原理共有A15×A15×A55種排法.最后根據分類加法計數原理共有A16×A55+A15A15×A55

排法.

3.間接法

（3）7位同學站成一排，甲不能站排頭，乙不能站排尾的排法共有多少種？

解“間接法”.正面計算此題時，分類之后每一類下又會有分步情況，情況復雜，不易解決，可考慮從反面入手，將其等價轉化成一個較為簡單的問題來處理，故采用“間接法”.不妨取名記為“正難則反”.計算甲站排頭的排法，有A66種，同理乙站排尾也有A66種，用7個元素全排列減去甲站排頭和乙站排尾的情況，即A77-2A66種.此時，很容易遺漏甲站排頭和乙站排尾兩種條件下，有一種情況重復了，即甲站排頭同時乙站排尾的情況，有A55種排法.這一種情況我們減掉了兩次，故應該在其基礎上再加回一次，即A77-2A66+A55種排法.

（4）7位同學站成一排，其中甲不站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解甲不站在中間，則有6種可能的站法，正面分類復雜，計算繁瑣，故采用“正難則反”的方法.由例（2）知，7個元素全排列減去甲站在中間的排法即得到甲不在中間的排法，即A77-A66種排法.

4.特殊元素（位置）優先法

（4） 7位同學站成一排，其中甲不站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解安排甲時要求其不站在中間的位置，所以這是有限制條件的排列問題，應先考慮特殊元素——甲，或者特殊位置——中間，再考慮其他情況.

解法一特殊元素優先排——因甲不能站在中間，故第一步先讓甲站在除了中間的任一位置上，有A16種排法；第二步再讓剩下的6個人站在剩余的六個位置上，有A66種排法，由分步乘法計數原理共有A16×A66種排法.

解法二特殊位置優先放——因中間不能站甲，故第一步先從甲以外的6個人中任選一人站在中間，有A16種排法；第二步再讓剩下的6個人站在除中間外的六個位置上，有A66種排法，由分步乘法計數原理共有A16×A66種排法.

（5） 7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解法一特殊元素優先排——首先考慮特殊元素，讓甲、乙站在兩端，有A22種排法；再讓其他5個人在中間的五個位置上做全排列，有A55種排法，由分步乘法計數原理共有A22×A55種排法.

解法二特殊位置優先放——首先考慮兩端2個位置，讓甲、乙站在兩端，有A22種排法；再考慮中間5個位置，由剩下的5個人去站，有A55種排法，由分步乘法計數原理共有A22×A55種排法.

5.插空法

（6）7位同學站成一排，A、B、C三人互不相鄰共有多少種不同的排法？

解“插空法”——對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在這些排好的元素之間及兩端的空隙中插入.首先將除A、B、C三人之外的4個人進行全排列，有A44種排法.四個人排列之后產生了5個空位，再從5個位置中任選3個位置，將A，B，C進行全排列，有A35種排法.根據分步乘法計數原理共有A44×A35種排法.

6.捆綁法

（7）7位同學站成一排，A、B、C三人相鄰共有多少種不同的排法？

解“捆綁法”——對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來看作一個元素與其他元素排列然后再對相鄰元素之間進行排列.首先將A、B、C三人進行全排列，有A33種排法.再將三人看成一個整體，與剩余的四個人進行全排列，有A55種排法.根據分步乘法計數原理共有A33×A55種排法.

通過幾例“站隊”問題映射出了排列應用題的六種解題策略.其中，應用分步排位的方法計算排列數時，應注意以下三個方面：①在題設條件制約下，每一步排位，哪些元素可取，哪些元素不能?。虎谠谀骋徊脚盼缓螅乱徊脚盼豢扇≡氐膫€數，應視具體情況而定；③若某一步必須分類，則分類后各步都必須按各類分別計算.例（4）和例（5）都是帶有限制條件的排列問題，此類問題應對特殊的元素或者特殊的位置進行優先考慮.例（6）和例（7）是典型的“鄰不鄰”問題.對于有些元素必須要安排在一起，我們常用“捆綁法”.把它們視為一個整體，即先排整體內部的元素，再把整體視為一個個體，一個大“元素”與其他元素一起排列即可.對于有些元素不能安排在一起，也就是需要間隔，我們把這類有部分元素不能相鄰的排列問題稱為間隔排列問題.解決間隔排列問題的有效方法是“插空法”，也就是先排不需要間隔（可以相鄰）的元素，再將需要間隔的元素用插空方式插進來即可.

三、總結

解決排列組合問題的基本規律可以用16個字來概括：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合.“站隊”問題的解題方法特殊，抽象性強，思維方法新穎.在解這類題時，往往會出現對題設認識不夠，題設中的內涵關系理解不透，題設結論之間的聯系分析不盡而出現解題思路受限，條件應用考慮不周，導致結果出現重復、遺漏甚至答非所問的情況 .本文通過對兩類問題的解題規律和解題方法進行探究，從千差萬別的實際問題中探究出數學模型，方便理解和記憶排列組合題型中的多種分類標準和解題方法.排列組合的內容雖然在高中數學教學中所占比重不大，但卻是今后學習概率統計的基礎.而且通過排列組合的學習，可以變換學生的思維方法，這也是培養學生思維品質、優化思維過程的一個重要方面.

（收稿日期：2014-11-10）