借助幾何直觀教學(xué) 體悟數(shù)學(xué)基本思想

林先銘

(永泰縣東門小學(xué)，福建 永泰 350700)

馮·諾依曼說過，數(shù)學(xué)思想一旦被構(gòu)思出來，這門學(xué)科就開始經(jīng)歷它本身所特有的生命。數(shù)學(xué)思想在本質(zhì)上有三個:抽象、推理、模型，被構(gòu)思出來就是抽象;經(jīng)歷它本身所特有的生命，就是推理;能主動尋找數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實原型，主動利用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中的問題，提出數(shù)學(xué)問題，并加以分析和解決，就是建模。幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。由此可見，幾何直觀既能幫助學(xué)生有效地解決數(shù)學(xué)問題，又能引領(lǐng)學(xué)生體悟數(shù)學(xué)基本思想。鑒于這種認識，筆者結(jié)合自己教學(xué)實踐，談?wù)勅绾谓柚鷰缀沃庇^來引導(dǎo)學(xué)生感悟蘊含其中的數(shù)學(xué)基本思想。

一、借助幾何直觀，讓學(xué)生體悟抽象思想

抽象思想是將現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式進行適度抽象，是從異彩紛呈的事物中抽象出最具共性的本質(zhì)的東西，它需要經(jīng)歷從感性認識到理性認識的過程。幾何直觀對學(xué)生理解算理，掌握算法，建構(gòu)法則有不可估量的作用，為運算能力的提高奠定堅實基礎(chǔ)。如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，筆者借助幾何直觀，來引導(dǎo)學(xué)生體驗并感悟建構(gòu)法則的逐步抽象過程。

1.創(chuàng)設(shè)情境。教師呈現(xiàn)現(xiàn)實情境:“雙休日，小東的爸爸為了增長孩子的知識，便帶小東去三元書店購買《名家文學(xué)讀本》，每套12本，每本24元。”這里所提供的買書情境，為后面提出問題和列出算式做了很好的鋪墊。

2.列出算式。教師先讓學(xué)生讀題明意，并指出獲取了那些信息。接著教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境，能否提出問題?學(xué)生提出“買這1套書應(yīng)付多少錢?”并列出算式“24×12”“24×12=?”此時的數(shù)學(xué)問題不再是課本知識上的數(shù)學(xué)問題，而是富有生活實際意義的數(shù)學(xué)問題，是學(xué)生從感性認識到理性認識的一次飛躍。

3.以圖示理。學(xué)生雖弄清了題意，學(xué)會了列式。但如何計算，還是不知所措，為讓學(xué)生理清兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀模型，理清計算思路。如上述情景題，教師可以利用多媒體呈現(xiàn)一個每行24格，共有12行的格子圖，隨后，讓學(xué)生觀察思考:格與行之間的關(guān)系，最后讓學(xué)生計算出一共有多少格。(格子圖略)此格子圖能形象直觀地呈現(xiàn)24和12的關(guān)系，學(xué)生一目了然，茅塞頓開。這時，教師應(yīng)趁勢引導(dǎo)學(xué)生自主闡述，可以先算10行有多少格，再算2行有多少格，列式為24×10=240，24×2=48，240+48=288。教學(xué)到此，學(xué)生對算理已有所領(lǐng)悟，為下面抽象概括和理解法則起到了舉足輕重的作用。

4.符號表征。教學(xué)“符號表征”這一步，教師應(yīng)著力把語言表述與符號表征進行無縫對接，并互相轉(zhuǎn)換。可借助已有的直觀經(jīng)驗，用“先算什么，再算什么，最后算什么”等語言表述，來解決符號表征對應(yīng)問題。此時，教師應(yīng)做好兩件事:一是根據(jù)學(xué)生語言表述，利用課件把計算法則逐步呈現(xiàn)出來;二是將學(xué)生語言表述的內(nèi)容抽象成用數(shù)學(xué)符號表征的形式 (即豎式)(如下圖)。

由此可見，“以圖示理”是最直接、最形象的，它能讓學(xué)生領(lǐng)悟算理;“符號表征”是最簡潔、最明了的，它能讓學(xué)生明白算法，抽象出法則。讓學(xué)生經(jīng)歷“情境創(chuàng)設(shè)—列出算式—以圖示理—符號表征”的抽象漸進過程，是讓學(xué)生體會抽象思想的一種好的策略。

二、借助幾何直觀，讓學(xué)生體悟推理思想

推理是數(shù)學(xué)的重要思維方式。置身在形態(tài)各異、色彩紛呈的現(xiàn)實世界中，人們會時常遇到繁雜的數(shù)學(xué)問題，但仔細一想，這些問題都有一些數(shù)量結(jié)構(gòu)和幾何結(jié)構(gòu)蘊含其中。面對這種問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，把復(fù)雜的問題簡單化、條理化、明晰化，讓學(xué)生在觀察和操作、比較和分析、抽象和概括中嘗試推理，構(gòu)建新知。運用假設(shè)豐富推理活動經(jīng)驗，用感悟推理思想，是一條好的途徑。如，教學(xué)“假設(shè)應(yīng)用題”時，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“感知情境—借助直觀—運用假設(shè)—總結(jié)規(guī)律”這一過程，以此來體悟推理思想。具體教學(xué)流程如下四步進行:

1.出示題目，感知情境，激發(fā)欲望。

教師出示“有五元、二元人民幣共10張，共32元，兩種錢各幾張?”，讓學(xué)生審題、思考、動筆計算，由于學(xué)生尚未進行推理訓(xùn)練，解題思路滿無頭緒，一片茫然，所示答案也是各自不一。

2.借助直觀，引導(dǎo)假設(shè)，產(chǎn)生矛盾。教師讓學(xué)生先假設(shè)10張全是2元的，隨機問學(xué)生你發(fā)現(xiàn)了什么?學(xué)生發(fā)現(xiàn)了:假設(shè)結(jié)果與題中已知條件相矛盾。原題中人民幣總值32元，假設(shè)后總值只有20元，少了12元。這是什么原因?如右圖所示:

3.思考原因，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。教師讓學(xué)生說出其中原因，并找出解決問題的辦法。學(xué)生經(jīng)過觀察分析，找到了矛盾的原因和解決問題的辦法，即:剛才假設(shè)中把其中五元的人民幣都看成2元，這樣每張5元人民幣都少了3元，一共少了12元，算式:12÷3，就可以求出5元人民幣的張數(shù)。

4.進行驗證，總結(jié)規(guī)律，運用規(guī)律。教師引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探究:剛才我們是把10張人民幣假設(shè)成全是2元的，現(xiàn)在把10張人民幣假設(shè)成全是5元的，又會產(chǎn)生什么矛盾呢?學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)，其結(jié)果人民幣的總值比已知多了18元，那是因為把2元看成5元，每張多了3元，算式:18÷3，就可以求出2元人民幣的張數(shù)。教學(xué)至此，教師讓學(xué)生觀察比較這兩個算式，看看你們有什么發(fā)現(xiàn)?學(xué)生通過這兩種假設(shè)比較，發(fā)現(xiàn)了:(1)假設(shè)都是2元時，先求出的是5元的張數(shù);(2)假設(shè)都是5元時，先求出的是2元的張數(shù);(3)少的總錢數(shù)÷每張少的錢數(shù)=5元人民幣的張數(shù);(4)多的總錢數(shù)÷每張多的錢數(shù)=2元人民幣的張數(shù)。為了鞏固深化知識，運用假設(shè)方法，讓學(xué)生進行自主解決生活實際問題，教師再次出示題目:“6元1袋的的白砂糖和10元1袋的白砂糖共10袋，共用去68元。那么這兩種白砂糖各有多少袋?”通過這一訓(xùn)練，促使學(xué)生知其然并知其所以然。

由此可見，教學(xué)中，通過圖案或圖形，對情境描述的量進行假設(shè)，促進學(xué)生直觀、有序地進行數(shù)學(xué)思考，找準問題穴點，疏通解題思路，掌握推理方法，長此訓(xùn)練，就能提高學(xué)生的推理能力。

三、借助幾何直觀，讓學(xué)生體悟建模思想

數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，即“情境體驗——圖示理解——建立模型——應(yīng)用模型”的過程，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)建模的直接經(jīng)驗和體驗，進而逐步體會、感悟建模思想。幾何直觀對于數(shù)學(xué)問題的分析，具有“一畫勝百言”的作用，如教學(xué)《相遇行程應(yīng)用題》時，筆者是這樣展開教學(xué)的:

1.情境體驗。教師創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生實施:(1)三組動畫演示。具體演示內(nèi)容:①兩車同時從甲乙兩地出發(fā)，相向而行，X秒后相遇;②兩車同時從一個地點相背而行，X秒后到達兩地;③甲車從一地先行，乙車后行，再經(jīng)過X秒后相遇。(2)帶問題觀察、思考。教師要求學(xué)生仔細觀察兩車運動的情況，讓學(xué)生思考兩車的出發(fā)地點、時間、方向、結(jié)果的變化情況。

2.圖示理解。教師引導(dǎo)學(xué)生在充分觀察、思考、交流、嘗試的基礎(chǔ)上，將實踐體驗的眾多信息用線段圖形式描繪出來，圖示情況如下:

(1)甲乙同時從兩地出發(fā)，相向而行，結(jié)果相遇。

(2)甲乙同時同地相背而行，X秒后到達AB兩地。

(3)甲乙從兩地出發(fā)，甲先行，乙后行，結(jié)果相遇。

縱觀上圖，學(xué)生通過畫線段圖，直觀的呈現(xiàn)相遇行程問題的模型，足見學(xué)生對如何解決此類問題有個初步的認識。

3.建立模型。教師引導(dǎo)學(xué)生利用上面線段圖，找出等量關(guān)系式:①從兩地同時出發(fā)，相向而行，所用時間相同，即:甲行的路程+乙行的路程=全程;②同時同地相背而行，所用時間相同，即:甲行的路程+乙行的路程=全程;③從兩地出發(fā)，甲先行，乙后行，相向而行，所用時間不同，即:甲先行的路程+甲后行的路程+乙行的路程=全程。

4.應(yīng)用模型:為了深化和拓展所學(xué)知識，教師趁勢讓學(xué)生選擇以下所呈現(xiàn)的信息，編成相遇問題的應(yīng)用題，再自主列式解答:①小虎和小麗同時從兩地出發(fā)相向而行;②小華每分鐘走50米;③經(jīng)過6分鐘兩人相遇;④兩地相距540米;⑤小虎每分鐘走55米。

從上面教學(xué)過程可以看出，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想，教師要充分利用情境體驗，運用直觀圖形，構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系模型，從而利用模型解決實際問題，在應(yīng)用模型的過程中不斷完善對已建立的數(shù)學(xué)模型的理解，有助于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)［S］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)版)，2013(3).