開拓思維空間提高解題技巧

華瑞芬

在求解數(shù)學問題時，若能開拓思維空間，采用靈活多樣的解題策略，往往可以以巧取勝，提高解題技巧，收到事半功倍的效果，提高思維的品質.下面舉例說明，相信同學們能夠從中受到有益的啟示.

一、回歸定義

在解答某些問題時，回歸定義常常可獲得題設信息所固有的本質屬性，達到合理運算，準確判斷，靈活選擇的目的.

例1若a=ln22， b=ln33， c=ln55，則（ ）.

A. a

C. c

解析∵a-b=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0，

a-c=ln22-ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0，

∴本題應選C.

點評平凡的解法，神奇的效果，使解題過程簡單明了.

二、整體代換

此法無需考慮問題的細枝末節(jié)，而是注重通覽全局，將問題作為一個完整的整體，通過分析問題的整體結構特征，通過整體代換，達到快捷求解的目的.

例2求sin10°·sin30°·sin50° · sin70°的值.

解析設A=sin10°·sin30°·sin50°·sin70°，B=cos10°·cos30°·cos50°·cos70°，則A·B=116sin20°·sin60°·sin80°·sin140°=116cos10°·cos30°·cos50°·cos70°=116B.

∵B≠0，∴A=116，即sin10°·sin30°·sin50°·sin70°=116.

點評根據(jù)已知三角式的整體結構，采用整體代換的方法，構造一個對偶式，于是將問題化繁為簡，快速獲解.

三、巧用特值

通過選取恰當?shù)奶厥鈹?shù)值進行簡單的運算、推理或判斷，可使問題快速獲解.

例3已知y=f （x）是定義在R上的單調函數(shù)，實數(shù)x1≠x2，λ≠-1，α=x1+λx21+λ，β=x2+λx11+λ，若|f （x1）-f （x2）|<|f （α）-f （β）|，則（ ）.

A. λ<0 B. λ=0

C. 0<λ<1 D. λ≥1

解析由α、β的給出形式，不難聯(lián)想到定比分點公式.若設A、B、P、Q分別是x1、x2、α、β在數(shù)軸上的對應點，則P、Q分向量AB、BA的比都是λ，又因為y=f （x）是單調函數(shù)，所以|f （x1）-f （x2）|<|f （α）-f （β）||x1-x2|<|α-β|，所以P是向量AB的外分點，從而λ<0.

若令f （x）=x，則可立即得出λ<0.

故應選A.

四、活用性質

許多數(shù)學問題利用性質都可順利求解，因此對于數(shù)學中的一些性質我們務必要熟記，常會為解題帶來方便.

例4設f -1（x）是函數(shù)f （x）=12（ax-a-x）（a>1）的反函數(shù)，則使得f -1（x）>1成立的x的取值范圍是（ ）.

A. （a2-12a， +∞） B. （-∞，a2-12a）

C.（a2-12a， a） D. [a， +∞）

解析由a>1可知，f （x）是R上的遞增函數(shù)，又f -1（x）>1，∴f [f -1（x）]>f （1），根據(jù)反函數(shù)的性質有x>f （1）=a2-12a.

故應選A.

五、數(shù)形結合

有些數(shù)學問題都具有鮮明的幾何意義，解題時若能夠數(shù)形結合，以形幫數(shù)，則可使問題快捷獲解.

例5已知方程f （x）=（x-a）（x-b）-2（其中a

A. α

C. a<α

圖1解析a、b是方程q（x）=（x-a）（x-b）=0的兩根，作出函數(shù)f （x）、q （x）的圖象，如圖1所示.因此本題應選A.

點評有時解題思路難以打開，往往是由于數(shù)形分離所致，此時若能夠認真分析題目的數(shù)形結合特征，從形中覓數(shù)，數(shù)中思形，常常可以快速地尋找到解題的突破口.

六、巧用估算

許多選擇題都有一定的運算量，常規(guī)解法是列式計算，既費時又費力.若進行深層次的思考，常常只需一些簡單的估算即可得出正確的結論來.

例6已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球的表面積是（ ）.

A.16π4 B.8π3 C.4π D. 64π9

解析對于本題若先算出球的半徑R，然后求球的表面積，是“小題大做”.其實對R作估算即可排除三個錯誤選項，注意到R不小于△ABC的外接圓半徑233，故得S=4πR2≥4π（233）2=16π3，選項A、B、C的值都小于16π3.

故應選D.

七、特殊化法

對于一些選擇題，運用特殊化方法求解，不僅可以快速獲解，并且有利于提高思維的敏捷性.常用的特殊方法有：取特殊值、選特殊點、找特殊角、構特殊函數(shù)、畫特殊圖形等.

例7橢圓x29+y24=1的焦點為F1、F2，點P為其上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是.

解析設P（x， y），當∠F1PF2=90°時，點P的軌跡方程為x2+y2=5，由此可得點P的橫坐標x=±35，又當點P在x軸上時，∠F1PF2=0°；點P在y軸上時，∠F1PF2為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是-35

八、活用結論

對于某些典型問題的結論若能熟記于心，常常會使解題走入捷徑，凸顯奇效，快速求解.

例8兩條異面直線稱為“一對”，則在正方體八個頂點間的所有連線中，成為異面直線的共有多少對？

解析如果以其中一條棱進行分類的話，很難搞清“重”與“漏”，然而大家對以下兩題很熟悉：（1） 以正方體的八個頂點為頂點的三棱錐有多少個？（2） 如果兩條異面直線稱為“一對”的話，一個三棱錐中有多少對異面直線？故可將本題分解成兩個熟悉的問題，即考慮一種對應.由于（1）的答案是C48-12=58個；（2）的答案是3對，故本題的答案為58×3=174對.

點評本題若直接尋找異面直線的對數(shù)，既繁瑣還容易遺漏，而通過引入三棱錐，經(jīng)過簡單的計算三棱錐的個數(shù)，使得三棱錐的個數(shù)與異面直線的對數(shù)建立了一一對應關系，從而使問題轉化為我們所熟悉的問題，

九、靈活轉化

把不易解決的問題，通過靈活轉化歸結為熟悉易解的問題，從而達到快速求解的目的.

例9已知數(shù)列{xn}滿足x2=x12，xn=12（xn-1+xn-2），n=3， 4， ….limn→∞xn=2，則x1=（ ）.

A.32 B. 3 C.1 D. 5

解析在已知遞推式兩邊同時加上12xn-1，得到一個新的遞推關系：xn+12xn-1=xn-1+12xn-2.顯然數(shù)列{xn+1+12xn}是常數(shù)數(shù)列，并且xn+12xn-1=x2+12x1=x1，在該式兩邊同時取極限，得2+1=x1.

應選B.

點評將非常規(guī)的數(shù)列問題轉換為等差、等比數(shù)列問題，是解決此類問題的基本方法.不過，切入點不同，繁簡程度則會大相徑庭.

（收稿日期：2014-12-20）