例談“等式”與“不等式”的和諧轉(zhuǎn)化

王恒亮等

數(shù)學(xué)等式的求解或證明是數(shù)學(xué)的重要元素，而數(shù)學(xué)中的不等式問題的求解或證明也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不可或缺的一部分.“等”與“不等”是兩個不同的概念，“不等”是普遍的、絕對的，而“相等”是局部的、相對的，兩者既對立又統(tǒng)一，它們在一定條件下可以相互和諧轉(zhuǎn)化，從而使得問題理想而巧妙地得到解決.轉(zhuǎn)化得好可以給解題帶來意想不到的效果，下面就兩者的相互轉(zhuǎn)化略舉幾例，供大家分享！

例1已知α，β∈（0，π2），且sin（α+β）=sin2α+sin2β.求證：α+β=π2.

解析看似一道與等式相關(guān)的問題，其實(shí)通過不等式轉(zhuǎn)化，可以巧妙地解決問題.不妨設(shè)α≥β，α+β≥π2，則sin2α+sin2β-sin（α+β）=0=sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）≥sinβ（2sinα+β2cosα-β2-2cosα+β2cosα-β2）

=2sinβcosα-β2·2sin（α+β2-π4）≥0.

故cosα-β2=0或sin（α+β2-π4）=0，即α-β2=π2（舍去）或α+β=π2，即證.

注：本例直接證明較為困難，待證式雖為等式，但適合通過不等式來解決問題.一般地，若a≤x≤a，則x=a，這種等式與不等式之間的和諧轉(zhuǎn)化往往可以給解題帶來好的效果！

例2設(shè)y=f（x）是區(qū)間（0，1）上的函數(shù)，若對任意的x∈（0，1），f（x）>0恒成立，對任意的x，y∈（0，1），f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）≤2恒成立，求證：f（x）=C（C為常數(shù)）.

解析對任意的x，y∈（0，1），f（x）>0，f（y）>0，f（1-x）>0，f（1-y）>0，對f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）≤2交換x，y得f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≤2，故f（x）f（y）+解析在傳統(tǒng)做法中，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可，若兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對稱軸l上，而且連接P1P2的直線垂直于對稱軸l，由方程組

Ax1+x22+By1+y22+C=0

y1-y2x1-x2=BA （*）

可得到點(diǎn)P1關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)（x2，y2）（其中A≠0，x1≠x2）.并且直線關(guān)于直線、直線關(guān)于點(diǎn)的對稱都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱來處理.勿庸諱言，（*）方程組光化簡整理運(yùn)算量就夠大的，加上求解過程容易出錯，故另辟蹊徑，同學(xué)們想出如下辦法：

別解（1）因?yàn)檫^P1，P2的直線垂直于對稱軸l，故設(shè)其方程為3x+2y+m=0，點(diǎn)P1（-1，-2）代入得，m=7，由3x+2y+7=0

2x-3y+1=0得x=-2313

y=-1113，所以垂足（也即中點(diǎn)）坐標(biāo)為（-2313，-1113），再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P2的坐標(biāo)為（-3313，413）.

（2）法一：由中心對稱知，l∥l′，且P1到這兩條直線距離相等，故可設(shè)l′方程為2x-3y+a=0，所以有|4+a|13=513，得a=-9或a=1（舍去）

所以直線l′的方程為2x-3y-9=0.

法二（利用軌跡方程思想）：設(shè)l′上任取一點(diǎn)M（x，y），則M關(guān)于P1的對稱點(diǎn)N坐標(biāo)為（-2-x，-4-y）必在l上，故2（-2-x）-3（-4-y）+1=0，即直線l′的方程為2x-3y-9=0.

例2是再常規(guī)不過的題目了，很多教輔用書都有它的身影，并且解法千篇一律，但是學(xué)生的解法打破常規(guī)，運(yùn)算量小且不易錯，這也是最適合學(xué)生應(yīng)試時用的.所以要教學(xué)和諧，不光教師要備教材，而且要備學(xué)生，也就是常說的研究“學(xué)情”，站在學(xué)生的角度考慮問題，是最好的研究“學(xué)情”.

（收稿日期：2014-11-05）f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≤4；注意到f（x）f（y）+f（y）f（x）≥2，且f（1-x）f（1-y）+f（1-y）f（1-x）≥2，故f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≥4；故f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）=4；且f（x）f（y）+f（y）f（x）≥2中的等號成立，即對任意的x，y∈（0，1），f（x）=f（y）.故f（x）=C（C為常數(shù)）.

注：對于不等式A≥B且A≤B，其實(shí)就是A=B，這種相互轉(zhuǎn)化的確可以給解題帶來好處！

例3求滿足sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα=32的銳角α、β的值.

解析將α、β中的一個看成已知數(shù)，另一個作為變量，利用數(shù)形結(jié)合思想.將方程sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα=32看作點(diǎn)（cosβ，sinβ）在直線sinα·y+（1-cosα）x+cosα-32=0上，注意到點(diǎn)（cosβ，sinβ）在單位圓上，故圓心到直線的距離d=|cosα-32|sin2α+（1-cosα）2≤1，解得（cosα-12）2≤0，故cosα=12，故α=π3，由對稱性可知β=π3.

例4四邊形ABCD中，cos2A+C3+sin2A3+sin2C3=34.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓.

解析由題知cos2A+C3+1-cos2A3+1-cos2C32=34，

整理得cos2A+C3-cosA+C3cosA-C3+14=0，

故cos2A+C3-|cosA+C3cosA-C3|+14≤0，注意到|cosA-C3|≤1，故cos2A+C3-|cosA+C3|+14≤0，即（|cosA+C3|-12）2≤0，即|cosA+C3|=12，故A+C=π，即四邊形ABCD內(nèi)接于圓.

注：本題易知條件中含有三角函數(shù)，關(guān)注到三角函數(shù)的有界性，建立相關(guān)不等式，從而得到我們需要的等式.在具體操作過程中可以將不等式轉(zhuǎn)化為（x-a）2≤0這其實(shí)就已經(jīng)轉(zhuǎn)化為等式x=a，這種轉(zhuǎn)化需要平時的積累，這樣解題時才能做到有的放矢.

例5設(shè)a，b，c為整數(shù)，a2+b2+c2+3

解析因?yàn)閍，b，c∈Z，故一定存在正整數(shù)k使得a2+b2+c2+3+k=ab+3b+2c即（a-b2）2+3（b2-1）2+（c-1）2+k-1=0，而（a-b2）2≥0，3（b2-1）2≥0，（c-1）2≥0，k-1≥0，故a=b2，b2=1，c=1，k=1，即a=1，b=2，c=1，故11a+7b-3c=22.

注：一般地若x≤a，y≤b，x+y=a+b，則x=a，y=b.

例6已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足（b2+c2-a22bc）2008+（c2+a2-b22ca）2008+（a2+b2-c22ab）2008=3，求ba+ca+cb+ab+ac+bc-c2ab-a2bc-b2ca的值.

解析注意到待求式可整理得2（b2+c2-a22bc+c2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab），看上去和已知條件中的表達(dá)式有點(diǎn)關(guān)聯(lián)，同時也讓人容易聯(lián)想到余弦定理.顯然abc≠0，若b2+c2-a2=0，則已知條件可化為（ca）2008+（ba）2008=3，即b2008+c2008=3a2008=3（b2+c2）1004，此等式顯然不成立！故已知條件中每一項都不可能為0，由對稱性，考察|b2+c2-a22bc|，可將a，b，c看成是某一三角形的三邊，由余弦定理已知條件即為cos2008A+cos2008B+cos2008C=3，|cosA|≤1，|cosB|≤1，|cosC|≤1，由此可見三角形的兩個角趨于0°，一個角趨于180°，即已知條件中的三個底數(shù)兩個為1，一個為-1，下面考察|b2+c2-a22bc|=1，若b2+c2-a22bc=1，則（b-c）2-a2=0，b=a+c或c=a+b；若b2+c2-a22bc=-1，則（b+c）2-a2=0，a=b+c或c+a+b=0.

綜上幾種情況，代入所求式即可知ba+ca+cb+ab+ac+bc-c2ab-a2bc-b2ca=2或-6.（收稿日期：2014-12-12）