電場中的圓周運動問題分析

蘇靜

在物理高考中，物體在勻強電場內做圓周運動是一個考點，對學生來說也是一個難點，而解決這一類問題的關鍵是準確地找到等效最高點的位置.物體在勻強電場中能不能做完整的圓周運動，就看它能不能過等效最高點，也就是物體在等效最高點的速度滿足某一值時，才能通過最高點.我們知道小球在細線作用下在豎直平面內做圓周運動，在最高點時速度最小，最低點時速度最大，利用速度我們可以很方便的判斷物體運動的最高點和最低點.在最高點處F合=mg+T=mv2/R，當T=0時速度有最小值vmin=gR，在最高點的速度必須有v≥gR，才能做完整的圓周運動.但在電場以及電場和重力場的復合場中，最高點就不一定是速度的最小位置了，在這一類問題中找到速度最小的位置，也就是類似于重力場中運動的最高點，就是我們解決問題的關鍵，在物理學中，我們把這個位置叫做等效最高點，在利用等效最高點解決這類問題時類似于豎直方向的圓周運動的最高點，從等效最高點移到圓周上任何一點，合力都是做正功，動能增加，所以這點就是速度的最小點.本文就物體在勻強電場和重力場的復合場中的圓周運動問題展開論述.

情形一：物體在水平面內做圓周運動，電場方向是水平的.

例1在光滑水平面上的O點系一長為L的絕緣細線，線的另一端系一質量為m、帶電荷量為+q的小球，當沿水平方向加上場強為E的勻強電場后如圖1所示，小球處于平衡狀態，先給小球一垂直于細線的初速度v0使小球在水平面上做圓周運動，在小球運動過程中不考慮空氣阻力的影響.求

（1） 小球運動過程中的最小速度？

（2） 若小球恰好做圓周運動，則v0的最小值為多少？

圖1圖2解析（1）小球在豎直方向上受到重力和支持力作用，且重力和支持力大小相等，水平面內上受到電場力和沿繩方向的拉力.小球處于平衡位置時，受4個力的作用，我們在平衡位置過圓心做一直線與圓相交于兩點A和B（如圖2所示）；很容易證明A、B兩點所受電場力都是由A指向B，從A點到圓上任何一點電場力均做正功；由此可知：A點的速度最小，它就是圓周運動中的等效最高點， 在等效重力場中應用機械能守恒定律：

mv20/2=Eq×2L+mv2/2

解得小球運動過程中的最小速度為：

v=v20-4EqLm

（2） 若小球恰好做圓周運動，再由圓周運動的知識得小球在A處的速度滿足以下條件：

Eq=mv2/L

聯列以上兩個等式可得：

v0=5EqLm

情形二：物體在豎直平面內做圓周運動，電場方向是豎直的.

例2如圖3所示，質量為m，帶電量為+q的小球，用一長為L的絕緣細線系于一足夠大的勻強電場中的O點，電場方向豎直向上，電場強度為E，為使帶電小球能在豎直面內繞O點做完整的圓周運動，求

（1） 在最低點時施給小球水平初速度v0應滿足什么條件？

（2） 小球在圓周運動中細線受到的最大拉力應滿足什么條件？

圖3圖4解析小球在豎直方向上受到重力和電場力作用，它們的方向相反.小球的運動分三種情況：

（a）若Eq=mg，只要v0>0，小球即可在豎直平面內繞O點做勻速圓周運動. 細線的拉力處處相等，其大小F=mv20/L

（b）若Eq

G′=mg-Eq

在等效重力場中應用機械能守恒定律：

mv20/2=G′×2L+mv2/2

若小球恰好做圓周運動，再由圓周運動的知識得小球在A處的速度滿足以下條件：

G′=mv2/L

聯列以上三個等式可得：

v0=5（mg-Eq）Lm

即在最低點施給小球速度因該大于或等于5（mg-Eq）Lm

小球做圓周運動，由等效重力場可知，當速度最大時，拉力也最大，所以小球位于B點時細線的拉力最大，在A處受拉力滿足以下條件：

F-G′=mv20/L

聯列第一問的答案可得：F≥6mg-6Eq

（c）若Eq>mg，小球處于平衡位置時，受3個力的作用，我們在平衡位置過圓心做一直線與圓相交于兩點A和B；很容易證明A、B兩點所受電場力和重力的合力是由B指向A（如圖4所示），從B點到圓上任何一點合力均做正功；由此可知：B點的速度最小，它就是圓周運動中的等效最高點，小球所受等效重力為：

G′= Eq-mg

若小球恰好做圓周運動，再由圓周運動的知識得小球在A處的速度滿足以下條件：

G′=mv20/L

聯列以上兩個等式可得：

v0=（Eq-mg）Lm

即在最低點施給小球速度因該大于或等于5（mg-Eq）Lm

小球做圓周運動，由等效重力場可知，當速度最大時，拉力也最大，所以小球位于A點時細線的拉力最大，在A處所受拉力滿足以下條件：

F-G′=mv2/L

在等效重力場中應用機械能守恒定律：

mv2/2=G′×2L+mv20/2

聯列可得：F≥6Eq-6mg

情形三：物體在傾斜平面內做圓周運動，電場方向是沿斜面向下的.

例3在傾斜的光滑斜面上的O點系一長為L的絕緣細線，斜面傾角為θ，線的另一端系一質量為m、帶電荷量為+q的小球，當沿斜面向下的方向加上場強為E的勻強電場后，如圖5所示，小球處于平衡狀態，先給小球一垂直于細線的初速度v0使小球在水平面上做圓周運動，在小球運動過程中不考慮空氣阻力的影響.求

（1） 小球運動過程中的最小速度？

（2）若小球恰好做圓周運動，則v0的最小值為多少？以及運動過程中細繩的最大拉力？

圖5圖6解析（1）小球受到重力、電場力、繩的拉力和斜面支持力作用，且重力垂直斜面的分量和支持力大小相等，斜平面內受到電場力、重力沿斜面的分量和沿繩方向的拉力.小球處于平衡位置B時，受4個力的作用，我們在平衡位置過圓心做一直線與圓相交于兩點A和B（如圖6所示）；很容易證明A、B兩點所受電場力和重力的合力都是由A指向B，從A點到圓上任何一點合力均做正功；由此可知：A點的速度最小，它就是圓周運動中的等效最高點，小球等效重力為：

G′= Eq+mgsinθ

在等效重力場中應用機械能守恒定律：

mv20/2= G′×2L+mv2/2

解得小球運動過程中的最小速度為：

v=v20-4（Eq+mgsinθ）Lm

（2） 若小球恰好做圓周運動，再由圓周運動的知識得小球在A處所受速度滿足以下條件：

G′=mv2/L

聯列以上兩個等式可得：

v0=5（Eq+mgsinθ）Lm