圓與圓錐曲線的交匯性問題例析

王勇

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷推進(jìn)與深入，高考對(duì)解析幾何的要求也隨之發(fā)生了很大的變化，對(duì)圓的要求大大提高，對(duì)圓錐曲線的要求則相對(duì)降低.因此，近幾年圓與圓錐曲線的交匯性問題漸漸成為高考的命題熱點(diǎn)，此類問題不僅將圓的內(nèi)容及性質(zhì)納于其中，也將對(duì)圓錐曲線的要求體現(xiàn)出來，是當(dāng)前一種新的命題趨勢.下面精選2014年高考中的部分試題并予以分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1.圓與橢圓的交匯性問題

圖1例1（2014年陜西卷文20）如圖1，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)（0，3），離心率為12，左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0）、F2（c，0）.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l：y=-12x+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足|AB||CD|=534，求直線l的方程.

分析（1）構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組求解；

（2）利用直線與圓的位置關(guān)系得|CD|，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系得|AB|，構(gòu)造關(guān)于m的方程求m，進(jìn)而得出直線l的方程.

解析（1）由題設(shè)知b=3，

ca=12，

b2=a2-c2，解得a=2，

b=3，

c=1，∴橢圓的方程為x24+y23=1.

（2）由題設(shè)，以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1，

∴圓心到直線l的距離d=2|m|5，

由d<1得|m|<52. （*）

∴|CD|=21-d2=21-45m2

=255-4m2.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 由y=-12x+m，

x24+y23=1，

得x2-mx+m2-3=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得

x1+x2=m，x1x2=m2-3.

∴|AB|=[1+（-12）2][m2-4（m2-3）]

=1524-m2.

由|AB||CD|=534得4-m25-4m2=1，

解得m=±33，滿足（*）.

∴直線l的方程為

y=-12x+33或y=-12x-33.

命題立意知識(shí)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義，圓的方程和性質(zhì)，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系.能力：考查方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時(shí)對(duì)運(yùn)算能力的要求較高.試題難度：較大.

例2（2014年天津卷理18）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知|AB|=32|F1F2|.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切. 求直線l的斜率.

分析（1）直接利用|AB|=32|F1F2|及橢圓中a，b，c之間的關(guān)系得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率；

（2）利用F1P·F1B=0求出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件，再由P點(diǎn)坐標(biāo)滿足橢圓的方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑求解.

解析（1）設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（c，0）.

由|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2.

又b2=a2-c2，則c2a2=12，所以，橢圓的離心率e=22.

（2）由（1）知，a2=2c2，b2=c2，故橢圓方程為x22c2+y2c2=1.

設(shè)P（x0，y0），由F1（-c，0），B（0，c），有F1P=（x0+c，y0），F(xiàn)1B=（c，c）.

由已知，有F1P·F1B=0，

即（x0+c）c+y0c=0.

又c≠0，故有

x0+y0+c=0①

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故

x202c2+y20c2=1 ②

由①和②可得3x20+4cx0=0，

而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故x0=-43c，

代入①得y0=c3，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-43c，c3）.

設(shè)圓的圓心為T（x1，y1），則

x1=-43c+02=-23c，y1=c3+c2=23c，

進(jìn)而圓的半徑

r=（x1-0）2+（y1-c）2=53c.

設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx.

由l與圓相切，可得|kx1-y1|k2+1=r，即|k23c+23c|k2+1=53c，

整理得k2-8k+1=0，解得k=4±15.

所以，直線l的斜率為4+15或4-15.

命題立意知識(shí)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí).能力：通過用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及運(yùn)用方程思想解決問題的能力.試題難度：較大.

2.圓與雙曲線的交匯性問題

例3（2014年江西卷文9）過雙曲線C：x2a2-y2b2=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的方程為（ ）.

A.x24-y212=1B.x27-y29=1

C.x28-y28=1D.x212-y24=1

解析先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合已知條件求出雙曲線的方程.

由x=a，

y=bax，解得x=a，endprint