低信噪比突發信號載波頻偏估計算法

趙陸文，張北江，繆志敏，李廣俠，劉 波

（1.解放軍理工大學通信工程學院，江蘇南京210007；2.解放軍理工大學指揮信息系統學院，江蘇南京210007）

低信噪比突發信號載波頻偏估計算法

趙陸文1，張北江1，繆志敏2，李廣俠1，劉 波1

（1.解放軍理工大學通信工程學院，江蘇南京210007；2.解放軍理工大學指揮信息系統學院，江蘇南京210007）

快速準確的載波頻偏估計在突發信號的相干解調中發揮著至關重要的作用。目前的載波頻偏估計算法很難同時兼顧估計精度、信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）門限以及估計范圍等指標。針對這一問題，提出了一種數據輔助的基于接收信號自相關序列離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）的載波頻偏估計算法。該算法通過對接收信號的自相關進行加窗處理，借助離散傅里葉變換來實現頻率估計。仿真結果表明，與經典的M＆M算法相比，該算法具有更低的信噪比工作門限，在低信噪比情況下具有更低的差錯概率和更寬的估計范圍，非常適合低信噪比突發信號的載波頻偏估計。

載波頻偏估計；低信噪比；突發信號；M＆M算法

0 引 言

在無線通信中，由于多普勒效應以及收發信機本振不同源，使得接收信號載波與本地載波之間不可避免地存在一定的頻差，致使相干解調無法建立，因此對接收信號載波頻偏進行估計就顯得至關重要。尤其是在突發通信中，為了提高幀效率，需要盡可能壓縮導頻信號的長度，因此往往需要在極短的時間內完成載波頻偏估計。此外，在遠距離（比如衛星通信、深空通信）、遮蔽、室內以及干擾條件下，接收到的信號極其微弱［1］。隨著高效編碼技術的發展，信號的解調門限已越來越低，精確的載波同步技術已成為實現相干解調的一個瓶頸。因此，研究低信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）條件下，突發信號載波頻偏估計（也稱為“頻差估計”）就具有非常現實的意義。

基于參數估計的前向頻率估計法由于直接對接收信號進行處理，因此估計速度快，而且沒有反饋支路，不會出現掛起現象，很適合突發信號載波頻偏估計。經典的前向頻率估計算法有Kay算法、Fitz算法、L＆R算法、M＆M算法等。Kay算法采用了信號相位差加窗進行估計的方法，僅能在高SNR條件下獲得較高的估計精度［2］。文獻［3］對Kay算法進行了改進，通過對相位差加權平均，降低了SNR閾值。但隨著平均次數的增加，其估計精度會顯著降低。Fitz算法［4］和L＆R算法［5］估計精度高、估計門限低，但其估計范圍小，因此僅適合于小頻偏精確估計。文獻［6］通過相位展開，引入Fitz算法，擴大了Fitz算法的估計范圍，不過其SNR門限依然在0 dB以上。文獻［7］提出了一種基于離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）的估計方法，利用“三點法”實現快速頻率估計。這種方法簡單易實現，但在小樣本條件下，估計精度和頻率分辨率較低，且在低SNR下，其性能惡化嚴重。文獻［8- 9］分析了相關運算對估計誤差的影響，并給出了較高SNR時的相關長度最優值。文獻［10- 11］給出了基于分段累加的快速傅里葉變換（fast Fourier transform，FFT）算法。由于突發信號本身較短，分段累加的優勢無法體現。文獻［12］依據SNR的不同，選擇不同的DFT運算點數，提高了低SNR條件下的估計性能，該算法前提是已知接收信號的SNR。對于突發信號，SNR變化范圍較大，且無法在很短的時間內實現SNR估計。因此，此算法同樣不適用于突發信號。文獻［13- 14］都是基于接收信號自相關差分對頻率估計器進行改進，獲得了較大的估計范圍大和較高的估計精度。不過其SNR門限依然在－3 dB左右。文獻［15］結合導頻數據的自相關和互相關值，提出了一種應用于醫療體域網設備的低復雜度、低成本的頻偏估計算法，不過該算法SNR門限要超過4 d B。文獻［16］提出了一種改進的編碼輔助迭代載波同步算法，大幅提高了頻偏估計范圍。但是迭代過程需要較長的估計時間，不適合突發信號。文獻［17］針對二進制相移鍵控調制信號，提出了一種低計算復雜度的頻偏估計算法，能夠獲得較大的估計范圍，達到較低的SNR門限。經典的M＆M算法［18］因其實現簡單、估計精度高、估計范圍寬，在工程實踐中得到了廣泛的應用。但是其在低SNR條件下的估計精度急劇降低，估計范圍也隨之迅速縮小，在低SNR突發情況下應用受限。文獻［19］利用DFT內插技術，能夠達到與M＆M算法相當的估計性能。

為了克服現有方法普遍存在估計精度、估計范圍、SNR門限之間的矛盾，本文提出了一種有數據輔助的接收信號自相關序列離散傅里葉變換（auto correlation DFT，ACDFT）的載波頻偏估計算法。

1 問題建模

1.1 信號模型

假設接收信號為多進制相移鍵控（M-ary phase shift keying，MPSK）調制信號，信道為理想的高斯白噪聲信道，其雙邊功率譜密度為N0／2，符號定時能夠理想同步。接收機本地參考頻率與載波頻率的偏差為Δf Hz。那么經過匹配濾波和正確的采樣，得到的第k個符號為

式中，｛ck｝為幅度為1的符號序列；Δf為殘留載波頻偏；Ts為符號周期；θ為載波初始相位；｛n（k）｝為0均值、獨立同分布的復高斯隨機變量。假定符號SNR為Es／N0，則噪聲方差為1／（Es／N0）。在有數據輔助的情況下，｛ck｝為已知序列。在符號同步的情況下，顯然可以將x（k）乘以（為ck的共軛），去除符號帶來的影響，記

則

換言之，載波頻率估計也就是利用混有噪聲的L個連續采樣點｛z（k），1≤k≤L｝，得到頻偏估計值Δ^f。

1.2 性能指標

評價一個載波頻偏估計算法性能優劣，通常包括估計精度、估計范圍以及計算量等指標。估計精度常用歸一化方差var（ΔTs）或者歸一化均方根誤差（normal root mean square error，NRMSE）來衡量。其中NRMSE定義如下：

式中，Ne為實驗次數；Δ表示第i次實驗結果。

對于低SNR情況下突發信號的載波頻偏估計，還應考慮算法適用的SNR門限SNRth（也可以用門限Eb／N0衡量）、差錯概率pr等指標。所謂差錯概率就是估計結果誤差絕對值超過一定門限Δfth（取決于具體的應用，比如數倍克拉美羅界）的概率，定義如下：

SNR門限就是在差錯概率不超過一定的門限prth的前提下，算法能夠正常工作的最低SNR，定義如下：

2 算法描述

2.1 基于自相關的頻率估計算法性能分析

作為前向頻率估計方法的一個重要類型，基于自相關函數的頻率估計方法被廣泛應用于突發信號載波頻偏估計。首先對樣點序列｛z（k）｝計算其部分自相關，如下：

式中，N為參與頻率估計的自相關樣點數。通常情況下，N≤L／2，在Fitz、L＆R、M＆M等算法中，N＝L／2時算法性能最優。

將式（2）代入式（7），重新寫為

式中

由此可見，接收序列的自相關序列中包含了載波頻偏信息和噪聲。Fitz、L＆R、M＆M等經典算法都是對該序列進行不同的處理而得到的。相較其他算法，M＆M算法具有較寬的估計范圍、較高的估計精度和較低的SNR門限。在下文中，重點對M＆M算法進行分析，本文提出的算法也主要與其進行性能比較。M＆M算法在一定的SNR要求下，忽略掉式（8）中最后一項，得到頻偏估計值為

式中，ω（m）為平滑函數［18］，實質上是一個權重因子，其在M＆M算法中起著非常關鍵的作用。

M＆M算法在SNR較高時，其估計結果能夠接近或者達到修正的克拉美羅界（modified Cramer-Rao bound，MCRB）［20］。當SNR降低至某一閾值時，估計性能急劇惡化。如圖1所示，對正交相移鍵控（quadrature phase shift keying，QPSK）調制信號，在L＝128、N＝64、fs＝4 k Hz條件下，當Eb／N0≤－5.5 d B時，算法性能急劇惡化。

圖1 低SNR情況下M＆M算法頻偏估計性能

2.2 AC-DFT算法描述

M＆M算法的基本思想與其他基于相位差分頻率估計的算法相似，在SNR較高的條件下，把復加性噪聲等效到相位中去，從而忽略噪聲對頻率估計的影響。正如前面分析，這種算法在低SNR情況性能將急劇惡化，甚至根本無法使用。為了提高低SNR下的估計性能，本文直接對自相關值進行DFT分析（在實際使用中可用FFT來實現），得到頻偏估計結果，將這種算法稱為基于自相關序列離散傅里葉變換的載波頻偏估計算法——AC-DFT算法。由于本算法直接從式（8）進行頻偏估計，在低SNR情況下，能夠獲得比M＆M算法更好的估計性能。具體實現步驟如下：

步驟1對樣點序列｛z（k）｝計算其自相關，得到長度為2L－1的自相關序列R（n）

步驟2 將｛R（n）｝向右平移L個點，進行加窗處理，取中間的M個相關值（M≤2L－1，且為偶數），并對幅度進行歸一化處理，得到長度為M的部分自相關序列｛R（m）｝

式中，ω（m）為m＝0，1，…，M。

窗函數定義如下：

步驟3對｛R（m）｝做M點的DFT，得到｛R（k）｝

步驟4進行頻偏估計，得到頻偏估計值為

式中，kpeak＝k＋δ，k＝arg max（｜R（k）｜），表示｛R（k）｝峰值對應的序號，δ為修正因子［6］，定義如下：

式中，Re［·］表示取實部。

由于該算法也是基于式（8）進行估計，其估計范圍同樣為｜Δ｜≤0.5fs。

2.3 自相關樣點數的選擇

對于M＆M等算法，自相關樣點數N＝L／2時性能最優，且樣點數的選擇對算法性能有較大的影響［18］。由于自相關值呈三角形分布，也就意味著m值越大的自相關值受噪聲影響越大，因此，過多的樣點數，會導致SNR門限升高。而為了獲得較高的估計精度，需要足夠多的樣點數。而越多的樣點數，意味著更高的計算復雜度。圖2給出了AC-DFT算法在不同自相關樣點數下的估計性能。由圖可見，對于AC-DFT算法，隨著自相關樣點數的增加，估計精度不斷提高。不過當M≥L以后，性能提升將不太明顯。在低SNR情況下，M＝5L／4時能夠獲得更低的SNR門限和更高的估計精度。因此，在實際使用中，樣點數的選擇需要綜合考慮估計精度、SNR門限和計算復雜度。

圖2 AC-DFT算法在不同自相關樣點數下的NRMSE曲線

3 仿真實驗與性能分析

3.1 仿真條件

為了考察AC-DFT算法的性能，利用Matlab軟件進行仿真，重點將其與M＆M算法以及MCRB進行比較。其中，MCRB［20］計算方式如下：

仿真過程中，假設接收到的突發信號采用QPSK調制，真實的載波頻偏Δf＝200 Hz，用于載波頻偏估計的信號時長T＝32 ms，默認符號速率fs＝4 k Hz，部分相關樣點數N＝L／2、M＝5L／4。

3.2 仿真實驗

利用Matlab軟件對M＆M算法和AC-DFT算法進行10 000次蒙特卡羅仿真，實驗結果及性能分析如下。

（1）估計精度

在上述仿真條件下，L＝128，N＝64，與文獻［18］選擇的參數完全相同。圖3給出了M＆M算法和AC-DFT算法在不同SNR下NRMSE。由圖可見，在Eb／N0≥－5.5 dB時，兩種算法基本都能接近或者達到MCRB。換言之，在SNR較高的時候，AC-DFT算法具有與M＆M算法相當的估計精度。當Eb／N0≤－5.5 dB時，M＆M算法的估計性能隨SNR的降低急劇惡化，而AC-DFT算法可低至－9.5 dB，比M＆M算法低4 dB。

圖3 不同信噪比下的NRMSE曲線

（2）錯差率和SNR門限

圖4給出了不同估計誤差門限下，差錯率與SNR的關系。由圖4可見，在低SNR情況下，對相同的誤差門限，AC-DFT算法的差錯率明顯低于M＆M算法。此外，在誤差門限和差錯概率一定的條件下，比如，Δfth＝2MCRB、prth＝10%，由圖可見，對M＆M算法和AC-DFT算法的門限Eb／N0分別為－8 dB和－12.5 dB。改變誤差門限和差錯概率的約束條件，也能得到類似的結果。也就是說，AC-DFT算法的工作門限比M＆M算法低4 dB以上。

圖4 不同載噪比下的差錯率曲線

（3）估計范圍

M＆M算法和AC-DFT算法的理論估計范圍均為｜Δ^f｜≤0.5fs，且在SNR較高的情況下，兩種算法都能達到最大的估計范圍。由于兩種算法的SNR門限不一致，所以在低于M＆M算法門限SNR下，比較二者的估計范圍將沒有實際意義。為了衡量算法的實際估計范圍，分別在二者的SNR門限上進行仿真。圖5給出了兩種算法在各自的門限SNR下的歸一化頻差Δf／fs與歸一化估計頻差Δ^f／fs之間的關系曲線。由圖可見，M＆M算法在門限SNR附近，實際的估計范圍降低為0.4fs，而AC-DFT算法依然能達到0.5fs。意味著在各自的門限SNR附近，AC-DFT算法能夠獲得理論上估計范圍，而M＆M算法的實際估計范圍要小于理論值。

圖5 估計范圍

（4）符號速率對估計范圍的影響

對于特定的突發信號，用于載波頻偏估計的信號時長以及載噪比是確定的，符號速率也往往是確定的。但在某些場合下，可以自主設置符號速率。由于不同的符號速率對應不同的采樣點數，符號速率的選擇將對估計性能產生一定的影響。圖6給出了不同符號速率下，NRMSE與載噪比的關系。由圖6可見，在低載噪比情況下，兩種算法估計精度都隨著符號速率的增加而降低，但是高符號速率下，AC-DFT算法具有更低的SNR門限，且符號速率對估計精度的影響不如M＆M算法明顯。由于算法的估計范圍與符號速率成正比。因此，在低SNR情況下，AC-DFT算法可以通過提高符號速率fs來進一步擴大估計范圍。如圖6所示，在門限SNR附近，AC-DFT算法能夠獲得數倍于M＆M算法的估計范圍。

圖6 不同符合速率下的NRMSE曲線

4 結 論

相比其他算法，本文提出的AC-DFT算法雖然計算復雜度有所增加，不過隨著硬件處理能力的提高，利用FPGA等完成FFT已經非常便捷，計算復雜度已不是制約算法性能的瓶頸。該算法能夠獲得更低的SNR門限、更低的差錯概率、更寬的估計范圍，非常適合低SNR突發信號載波頻偏估計。該算法除了應用于突發通信信號載波頻偏估計外，也可用于低SNR情況下導航以及雷達信號處理等領域的頻偏估計。

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Carrier frequency offset estimation algorithm for burst and low SNR signal

ZHAO Lu-wen1，ZHANG Bei-jiang1，MIAO Zhi-min2，LI Guang-xia1，LIU Bo1
（1.Communication Engineering College，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China；2.Command Information System College，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China）

Fast and accurate carrier frequency offset estimation is very important in the coherent demodulation for the burst signal.There are some dilemmas in the traditional carrier frequency estimation algorithm，such as estimation accuracy，signal-to-noise ratio（SNR）threshold and estimation range，etc.Aim to these problems，a data aided carrier frequency offset estimation algorithm for burst and low SNR signal is put forward based on the discrete Fourier transform（DFT）of the auto correlation of the

signal.The carrier frequency offset can be estimated by windowing to the received signal autocorrelation and DFT.The simulation results show that，compared with the M＆M algorithm，the lower SNR threshold，lower error probability and higher estimation range in the low SNR conditions are achieved for the algorithm.It is very suitable for carrier frequency offset estimation for the burst and low SNR signal.

carrier frequency offset estimation；low signal to noise ratio（SNR）；burst signal；M＆M algorithm

N 911

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.28

趙陸文（1977- ），男，講師，博士，主要研究方向為衛星導航、衛星通信。

E-mail：zhaoluwen＠163.com

張北江（1977- ），男，講師，主要研究方向為衛星導航、衛星通信。

E-mail：zhang_bei_jiang＠163.com

繆志敏（1978-- ），女，講師，博士，主要研究方向為人工智能、模式識別。

E-mail：oilvermiao＠126.com

李廣俠（196-4- ），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為衛星導航、衛星通信。

E-mail：13905177686＠189.com

劉 波（1967- ），男，教授，主要研究方向為衛星導航、衛星通信。

E-mail：liubo＠163.com

1001-506X（2015）12-2848-05

2015- 01- 11；

2015- 03- 09；網絡優先出版日期：2015- 05- 20。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150520.1210.002.html

中國博士后科學基金（2013M542485）資助課題