一種加權(quán)傅里葉變換域通信方法

達(dá)新宇，廉 晨

（空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安710077）

一種加權(quán)傅里葉變換域通信方法

達(dá)新宇，廉 晨

（空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安710077）

為提高通信的安全性，將多項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換（multi-terms weighted-type fractional Fourier transform，MWFRFT）與變換域通信系統(tǒng)（transform domain communication system，TDCS）相結(jié)合，提出一種加權(quán)傅里葉變換域通信方法。首先使用MWFRFT對(duì)原信號(hào)進(jìn)行處理；然后利用混沌序列產(chǎn)生的偽隨機(jī)相位生成TDCS基函數(shù)；最后將所得信號(hào)與基函數(shù)調(diào)制并用于隱蔽通信。為驗(yàn)證該方法的可行性，對(duì)信號(hào)的星座變換特性以及相關(guān)特性進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果表明，MWFRFT具有較好的星座混淆性，利用混沌映射得到的TDCS基函數(shù)相關(guān)性有所提高，因此，該方法適用于隱蔽通信。

加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換；變換域通信；隱蔽通信；擴(kuò)頻通信

0 引 言

加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換（weighted fractional Fourier transform，WFRFT）［1］自提出以來(lái)，在光學(xué)方面得到了廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，研究者們不斷擴(kuò)展其形式與范圍，并將其應(yīng)用到通信［2-3］、信息加密［45］、圖像壓縮［6］等信息隱蔽領(lǐng)域［7］，取得了一定成果。文獻(xiàn)［8］提出了一種離散序列的WFRFT，使信號(hào)具有了星座旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散性，抗檢測(cè)性良好，且比特能量均勻分布，提高了抗干擾性。然而，限于離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）周期為4的特點(diǎn)，離散序列的WFRFT的加權(quán)項(xiàng)數(shù)固定為4。針對(duì)此，提出一種離散序列的多項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換（multi-terms WFRFT，MWFRFT）：根據(jù)CFRFT定義提出一種離散序列的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，再利用SWFRFT中的加權(quán)系數(shù)以及Shih［1］關(guān)于基本算子的要求對(duì)離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換加權(quán)，給出了MWFRFT的定義。

變換域通信系統(tǒng)（transform domain communication system，TDCS）［9］是一種智能通信系統(tǒng)，能檢測(cè)空閑頻段進(jìn)行擴(kuò)頻通信，從而有效避免了干擾，又因?yàn)槠浠瘮?shù)相位是由偽隨機(jī)序列確定的，類(lèi)似于噪聲，所以具有了很好的抗截獲性［10］。TDCS的性能取決于基函數(shù)的性能［11］，學(xué)者們針對(duì)門(mén)限設(shè)計(jì)［12］、偽隨機(jī)序列生成等多方面提出了不同的基函數(shù)設(shè)計(jì)方法，其中，采用混沌映射得到的基函數(shù)相關(guān)性能較好。

將MWFRFT與混沌映射產(chǎn)生的TDCS基函數(shù)相結(jié)合，既可以避免信道干擾和用戶(hù)間相互干擾，又可以結(jié)合兩種技術(shù)的隱蔽特性，得到抗截獲性能更好的信號(hào)形式。

1 WFRFT信號(hào)

1.1 離散序列4項(xiàng)WFRFT信號(hào)

文獻(xiàn)［13］根據(jù)WFRFT的形式，結(jié)合DFT特點(diǎn)，提出了一種離散序列的加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換，定義如下：

式中，X0，X1，X2，X3分別為序列X0的0～3次離散傅里葉變換。ωl為加權(quán)系數(shù)，與連續(xù)函數(shù)的WFRFT定義一致［14］：

式中，V＝（MV，NV），MV＝（m0，m1，m2，…，mM－1），NV＝（n0，n1，n2，…，nM－1）為參數(shù)向量；α為變換角度；M為加權(quán)項(xiàng)數(shù)。由于DFT周期為4，式中M＝4，離散序列的加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換也簡(jiǎn)稱(chēng)為4-WFRFT。DFT可以表示成矩陣乘積的形式：

式中，F(xiàn)為DFT的變換矩陣；N為序列X0的長(zhǎng)度；WN＝exp（－i2π／N）。則4-WFRFT也可以表示為

推廣得到X0的1～4次4-WFRFT，即S4W：

式中，S0，S1，S2，S3分別為X0的1～4次4-WFRFT，且分別為S0的0～3次DFT，則

又由旋轉(zhuǎn)相加性可得W4W（α，V）W4W（－α，V）＝I，即W（α，V）＝W4W（－α，V）。則4-WFRFT的逆變換定義為

4-WFRFT可以對(duì)任意復(fù)離散序列X0進(jìn)行變換，變換后的信號(hào)星座圖發(fā)生旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)散、分裂和混淆，具有了一定隱蔽特性。以QPSK信號(hào)為例，經(jīng)過(guò)4-WFRFT變換后的信號(hào)星座變換情況如圖1所示。

圖1 4-WFRFT信號(hào)星座圖

由圖1可見(jiàn)，通過(guò)改變加權(quán)系數(shù)，可以使經(jīng)過(guò)變換的信號(hào)在復(fù)平面上呈現(xiàn)出一種類(lèi)高斯的分布，只有掌握所以參數(shù)信息，經(jīng)過(guò)相應(yīng)的逆變換，才能恢復(fù)出正確的星座圖，而在參數(shù)未知的情況下將無(wú)法正確解調(diào)，從而提供了一種抗截獲的信號(hào)變換形式。

同時(shí)，可以看出在某些特定點(diǎn)，星座圖發(fā)生了有規(guī)律的旋轉(zhuǎn)和分裂，并且當(dāng)參數(shù)α接近0、2（4-WFRFT中α周期為4）時(shí)，星座圖依然比較集中，易被檢測(cè)到，所以在進(jìn)行隱蔽通信時(shí)，需選擇合適的變換參數(shù)。

1.2 離散序列MWFRFT信號(hào)

4-WFRFT基于離散傅里葉變換周期為4的特點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)，加權(quán)項(xiàng)數(shù)也局限為4項(xiàng)。為提高變換的多樣性，增加變換參數(shù)，提出了MWFRFT，該變換將DFT矩陣分?jǐn)?shù)化后再進(jìn)行加權(quán)。過(guò)程如下：

首先，將DFT矩陣分?jǐn)?shù)化。DFT周期為4，即F4＝I，現(xiàn)要將其周期擴(kuò)展為M。根據(jù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的思想，令p＝4／M，可以定義新的離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換：

則該變換的周期為M。

再對(duì)新的離散變換進(jìn)行加權(quán)，加權(quán)系數(shù)可以沿用連續(xù)函數(shù)WFRFT的加權(quán)系數(shù)，則所得的MWFRFT可表示為矩陣與向量的乘積：

推廣得到：

式中，S0，S1，…，SM－1分別為S0的0～M－1次MWFRFT。與4-WFRFT相同，W（α，V）＝WMW（－α，V），則

MWDFT的逆變換為

由此得到了MWFRFT的定義。可見(jiàn)，該變換與原變換相比，加權(quán)項(xiàng)數(shù)M的選擇范圍更廣，參數(shù)更多，增加了加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的多樣性。同時(shí)，該變換也具有星座旋轉(zhuǎn)、分裂、擴(kuò)散及混淆特性，經(jīng)過(guò)MWFRFT的正交相移鍵控（quadrature phase shift keying，QPSK）信號(hào)星座圖變換情況如圖2所示。

圖2 MWFRFT信號(hào)星座圖

由圖2可見(jiàn)，相比于4-WFRFT，MWFRFT中星座圖的擴(kuò)散速度更快，混淆性更好，并且隨著M值的增大，α周期變長(zhǎng)，減少了較為集中的星座圖數(shù)量，更適用于隱蔽通信。

2 TDCS基函數(shù)

TDCS的核心內(nèi)容是基函數(shù)生成，基函數(shù)的性質(zhì)決定了通信系統(tǒng)的抗干擾、抗截獲性能，以及頻譜感知和多址接入能力，是其與其他通信系統(tǒng)的區(qū)別所在。基函數(shù)生成包括了幅度譜向量生成、隨機(jī)相位編碼、能量調(diào)整以及傅里葉反變換。

2.1 幅度譜向量

TDCS有效抵御信道及用戶(hù)間干擾的根本原因是系統(tǒng)能夠感知當(dāng)前電磁環(huán)境，利用空閑頻段進(jìn)行信號(hào)傳輸，過(guò)程為：對(duì)給定閾值A(chǔ)T，如果某點(diǎn)的功率譜密度的幅值大于AT，則視為該點(diǎn)的頻譜被已干擾或占用，將該點(diǎn)的幅值設(shè)置為0；若小于AT，則設(shè)置為1，由此得到由0、1構(gòu)成的幅度譜向量A（ω）：式中，Ai∈｛0，1｝表示第i個(gè)采樣點(diǎn)的幅值；N為采樣點(diǎn)數(shù)。

2.2 偽隨機(jī)相位編碼

TDCS的基函數(shù)使用了偽隨機(jī)相位，具有類(lèi)似噪聲的特性，互相關(guān)性較低，所以系統(tǒng)抗截獲特性較好，并且具有多址接入能力。已有的偽隨機(jī)相位生成方法為：先使用線(xiàn)性反饋移位寄存器產(chǎn)生m序列，再利用相位映射器對(duì)m序列進(jìn)行r比特抽樣后對(duì)應(yīng)2r個(gè)復(fù)相位值，就構(gòu)成了偽隨機(jī)復(fù)相位矢量｛eiθ（k），k＝0，1，…，N－1｝，該矢量與前面的譜矢量A（ω）長(zhǎng)度相同。

偽隨機(jī)相位決定了TDCS基函數(shù)的偽隨機(jī)特性，但由于普遍使用的m序列存在周期，且長(zhǎng)度有限，限制了相位的偽隨機(jī)性。針對(duì)此，文獻(xiàn)［15］指出，可以使用長(zhǎng)度更長(zhǎng)，相關(guān)性能更好的混沌序列作為生成TDCS基函數(shù)的偽隨機(jī)序列。文獻(xiàn)［16］中，提出了采用雙混沌序列［17］生成基函數(shù)偽隨機(jī)相位的方法，通過(guò)增加一維控制參數(shù)，并結(jié)合混沌映射的混淆性，提高了基函數(shù)的偽隨機(jī)特性。本文采用雙混沌序列生成偽隨機(jī)相位的方法，并使用兩種新型混沌迭代映射方法產(chǎn)生偽隨機(jī)相位。

首先使用3次與4次多項(xiàng)式混沌映射交叉迭代產(chǎn)生足夠長(zhǎng)的混沌序列，這兩種映射是Logistic映射的變形，通過(guò)增加映射函數(shù)次數(shù)來(lái)提高映射的非線(xiàn)性，定義為

式中，參數(shù)范圍為k∈（0.5，0.57）。

式中，參數(shù)范圍為k∈（1，∞）。

在參數(shù)范圍內(nèi)，兩種映射都達(dá)到了滿(mǎn)映射狀態(tài)，能夠產(chǎn)生偽隨機(jī)性良好的混沌序列。設(shè)定（－1，1）內(nèi)的任意值作為初始值，使用兩種映射交叉迭代，產(chǎn)生混沌序列。

然后使用4次混沌映射再產(chǎn)生抽頭控制序列，對(duì)雙混沌序列進(jìn)行抽頭，產(chǎn)生偽隨機(jī)相位。通過(guò)改變混沌映射參數(shù)及初始值可以得到完全不同的偽隨機(jī)相位，θ（k）∈｛0，2π／2r，4π／2r，…，2π（2r－1）／2r｝。抽頭映射過(guò)程如圖3所示。

圖3 偽隨機(jī)相位映射過(guò)程

2.3 能量調(diào)整及傅里葉反變換

將C（ω）從頻域變換到時(shí)域進(jìn)行傅里葉反變換，得到基函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式，反變換方法與幅度譜估計(jì)使用的變換方法一一對(duì)應(yīng)。為與加權(quán)傅里葉變換保持一致，采用歸一化的離散傅里葉反變換（inverse DFT，IDFT），即可得到時(shí)域離散形式的基函數(shù)：

式中，n＝1，2，…，N。又由：

T為T(mén)DCS碼元數(shù)據(jù)的時(shí)間寬度，記Δf＝1／T為T(mén)DCS信號(hào)各頻率分量的間隔，根據(jù)采樣定理，離散的c（n）可以看作是對(duì)連續(xù)的復(fù)基帶信號(hào)c（t）進(jìn)行等間隔采樣獲得的。取采樣間隔為T(mén)／N，則基函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式為

2.4 基函數(shù)及相關(guān)特性

根據(jù)上述步驟得到的基函數(shù)時(shí)域波形如圖4所示。

圖4 基函數(shù)時(shí)域波形

由圖4可見(jiàn)，該基函數(shù)具有類(lèi)似噪聲的時(shí)域波形，偽隨機(jī)性較好。將該基函數(shù)的相關(guān)特性與使用m序列生成偽隨機(jī)相位的基函數(shù)相比，所得結(jié)果如圖5所示。

由圖5可見(jiàn)，使用雙混沌交叉映射，混沌控制抽頭系數(shù)生成的基函數(shù)在相關(guān)間隔為0時(shí)，相關(guān)系數(shù)接近于1，相關(guān)間隔不為0時(shí)，相關(guān)系數(shù)接近于0，且小于同等長(zhǎng)度的m序列生成基函數(shù)，偽隨機(jī)性更好，也更適用于隱蔽通信。

3 MWFRFT-TDCS信號(hào)

3.1 MWFRFT-TDCS信號(hào)調(diào)制與解調(diào)

TDCS中，雙極性調(diào)制是對(duì)基函數(shù)的最簡(jiǎn)單的調(diào)制方式，通過(guò)基函數(shù)的正負(fù)表示不同碼元。實(shí)質(zhì)是利用基函數(shù)本身的性質(zhì)進(jìn)行調(diào)相。將MWFRFT與TDCS相結(jié)合，也可以采用類(lèi)似的調(diào)制手法，利用TDCS基函數(shù)作為載波，通過(guò)控制基函數(shù)的幅值和相位進(jìn)行擴(kuò)頻，信號(hào)調(diào)制解調(diào)流程圖如圖6所示。

圖5 基函數(shù)相關(guān)特性比較

圖6 MWFRFT-TDCS擴(kuò)頻信號(hào)調(diào)制解調(diào)流程圖

圖6中，a（i）為原數(shù)字信號(hào)，MWFRFT可以處理任何形式的復(fù)數(shù)，所以理論上a（i）可以為任意序列，假定a（i）為雙極性復(fù)數(shù)信號(hào)，即QPSK信號(hào)。aω（i）為經(jīng)過(guò)MWFRFT的信號(hào)，使用TDCS基函數(shù)c（n）作為載波對(duì)aω（i）進(jìn)行擴(kuò)頻，得到發(fā)送信號(hào)si（n），表示為

通過(guò)信道后，接收端的接收信號(hào)為

式中，j（n）為信道中的干擾信號(hào)，即使用信道進(jìn)行通信的其他用戶(hù)；n0（n）為加性高斯白噪聲。假設(shè)系統(tǒng)完全同步，且收發(fā)機(jī)工作環(huán)境一致，對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行相關(guān)解調(diào)，得到解擴(kuò)信號(hào)：

式中

由基函數(shù)的產(chǎn)生原理可知，基函數(shù)與干擾信號(hào)正交，因此J＝0，此時(shí)解擴(kuò)信號(hào)簡(jiǎn)化為

對(duì)解擴(kuò)信號(hào)進(jìn)行幅度變換，然后進(jìn)行逆MWFRFT變換，得到接收信號(hào)：

信號(hào)經(jīng)MWFRFT變換后，由規(guī)則的雙極性復(fù)信號(hào)變?yōu)榉植荚趶?fù)平面上幅值不同的信號(hào)，給準(zhǔn)確解調(diào)帶來(lái)了困難，但由信息調(diào)制解調(diào)原理可見(jiàn)，MWFRFT-TDCS相當(dāng)于對(duì)基函數(shù)進(jìn)行了擴(kuò)頻，擴(kuò)頻本身具有剔除噪聲的能力，且在TDCS基函數(shù)幅值向量生成過(guò)程中已經(jīng)避開(kāi)了干擾較大的頻段，所以該方法仍然可以得到較為準(zhǔn)確的解調(diào)信號(hào)。

3.2 MWFRFT-TDCS信號(hào)性質(zhì)

MWFRFT-TDCS調(diào)制結(jié)合了具有星座擴(kuò)散混淆性的MWFRFT與具有偽隨機(jī)特性的TDCS基函數(shù)，實(shí)質(zhì)是MWFRFT信號(hào)對(duì)TDCS基函數(shù)的擴(kuò)頻，由調(diào)制過(guò)程可知每個(gè)MWFRFT信號(hào)星座點(diǎn)都將被擴(kuò)散，解決了WFRFT中部分參數(shù)變換信號(hào)星座點(diǎn)集中的問(wèn)題。

對(duì)調(diào)制信號(hào)的星座特性進(jìn)行仿真分析。以QPSK信號(hào)為例，對(duì)輸入的雙極性復(fù)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，選取不同的MWFRFT參數(shù)值，所得調(diào)制信號(hào)與未調(diào)制信號(hào)的星座圖作對(duì)比，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，MWFRFT-TDCS有效地解決了星座圖集中的問(wèn)題，充分混淆了原有星座點(diǎn)，與理論分析一致，適用于隱蔽通信。

對(duì)調(diào)制信號(hào)的相關(guān)特性進(jìn)行仿真分析。以QPSK信號(hào)為例，經(jīng)MWFRFT變換并與混沌TDCS基函數(shù)進(jìn)行調(diào)制，所得調(diào)制信號(hào)與原TDCS基函數(shù)的雙極性調(diào)制信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，信號(hào)先經(jīng)過(guò)MWFRFT變換，再與雙混沌映射產(chǎn)生的TDCS基函數(shù)調(diào)制后，所得信號(hào)的相關(guān)特性在相關(guān)間隔不為0時(shí)，明顯小于原有的雙極性TDCS調(diào)制信號(hào)，能夠更好的避免用戶(hù)間的相互干擾和抵御非接收方的檢測(cè)識(shí)別。相關(guān)間隔等于0時(shí)，MWFRFT-TDCS信號(hào)的相關(guān)特性小于雙極性TDCS調(diào)制信號(hào)，但仍明顯大于間隔不為0時(shí)的相關(guān)特性，接近于1，不會(huì)影響接收信號(hào)的正確解調(diào)。

圖7 信號(hào)星座圖比較

圖8 調(diào)制信號(hào)相關(guān)特性比較

4 結(jié) 論

文中提出了一種將MWFRFT與變換域通信系統(tǒng)結(jié)合的通信方式，結(jié)合了MWFRFT的混淆特性與TDCS的抗干擾抗截獲特性。首先，提出將已有離散序列的4-WFRFT的加權(quán)項(xiàng)數(shù)擴(kuò)展為M項(xiàng)，給出了擴(kuò)展過(guò)程并對(duì)新變換的星座旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散特性進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，分析表明新提出的MWFRFT同樣具有星座旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散特性，且擴(kuò)散速度更快，混淆更充分。然后，針對(duì)已有的利用m序列生成偽隨機(jī)相位的方法中，m序列具有周期，且長(zhǎng)度有限的缺點(diǎn)，采用了一種雙混沌映射產(chǎn)生偽隨機(jī)相位的方法，并使用了兩種新混沌迭代映射，得到了偽隨機(jī)性良好的TDCS基函數(shù)，仿真結(jié)果表明新的基函數(shù)相關(guān)特性?xún)?yōu)于已有的m序列TDCS基函數(shù)。最后，將MWFRFT變換后的信號(hào)與新的基函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)頻調(diào)制，對(duì)所得調(diào)制信號(hào)的星座圖及相關(guān)特性進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，調(diào)制信號(hào)的星座混淆性及相關(guān)特性?xún)?yōu)于單獨(dú)的WFRFT信號(hào)與雙極性TDCS調(diào)制信號(hào)。

MWFRFT適用于現(xiàn)有的數(shù)字通信系統(tǒng)，加權(quán)項(xiàng)的擴(kuò)展能夠引入更多參數(shù)，提高了信號(hào)處理的多樣性，增加了破解信息的難度，從信號(hào)內(nèi)容方面增強(qiáng)了隱蔽性；采用混沌映射能夠產(chǎn)生足夠長(zhǎng)的偽隨機(jī)序列，且能夠通過(guò)調(diào)整參數(shù)值控制TDCS基函數(shù)的生成，基函數(shù)良好的相關(guān)特性從波形方面提供了隱蔽性。將MWFRFT與TDCS相結(jié)合，即從內(nèi)容與波形兩方面對(duì)信息進(jìn)行了處理，更適用于隱蔽通信。

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Method of weighted Fourier transform domain communication

DA Xin-yu，LIAN Chen
（School of Information and Navigation，Air Force Engineering University，Xi’an 710077，China）

A new method combining the multi-terms weighted-type fractional Fourier transform（MWFRFT）and the transform domain communication system（TDCS）is put forward to improve the security of communication.Firstly，MWFRFT for sequence is used to process the original signals.Then chaos mapping is used to generate the pseudorandom phases of the basis function in TDCS.Finally，the basis function is modulated by MWFRFT signals in the covert communication.In order to show the accuracy of this method，the transformation of constellation and the correlation performance are simulated and analyzed.The result shows that MWFRFT has the diffusion and confusion property of constellation，and the new basis function has better correlation performance，so the method is suitable for covert communication.

weighted fractional fourier transform（WFRFT）；transform domain communication system（TDCS）；covert communication；spread spectrum

TN 914.42

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.29

達(dá)新宇（1961- ），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)樾畔⑴c通信。

E-mail：daxinyu＠163.com

廉 晨（1992- ），女，碩士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信、隱蔽通信。

E-mail：syclcs＠163.com

1001-506X（2015）12-2853-07

2014- 02- 09；

2015- 06- 05；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 07- 28。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150728.0941.003.html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61271250）資助課題