計數法的演變及其對小學生數概念形成的啟示

陳華中

摘 要：概念是數學基礎知識的基本內容，數學知識中的性質、定理、公式、法則等內容的展開，都離不開數學概念，同時，數概念不是知識，也不是技能，而是認識客觀事物與數時建立起來的一種意識，是人對“數”的敏銳、精確、豐富的感知和領悟。因此，本文考察了人類計數法的演變情況和數概念的形成原理，并探討了其對兒童早期學習數概念的啟示。

關鍵詞：計數法；數概念；演變

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-320-01

數學始于數和形概念的產生，其詳情無由稽考，但肯定不是一蹴而就的，其中凝聚著先民們的艱苦創造。認識數并把它們表示出來，這是人類最早的數學活動之一。由于脫離計數活動、數及其運算而獨論記數是不可能的，所以有必要對它們的關系作若干規定和說明。

本文之數概指自然數。單個自然數乃一切等價有限集合之抽象，是通過反復的計數活動形成的。計數作為一種計量活動，其本質乃是把待計的有限集合與某個已知的標準集合（如手指的集合、數詞的片斷等）建立一一對應關系。而所謂記數，就是用某個符號系統表達或保存計數結果（即數）的一種活動。

很明顯，計數和記數既是數學活動，也是語言活動。當計數在口頭上進行時，語言中必得有數的名稱；當記數采取書寫的形式時，就需要數字符號。記數和計數唇齒相依，幾乎是同時發生的，所以有必要簡單分析一下計數法的演變情況。

最初的原始人類并沒有數的概念，但能依據某種方式判斷一個具體集合的大小發生了變化。這種覺察多寡的能力就是數的感覺，某些動物（鳥類、蜂類等）也有這種數覺本能。①當原始人的思維還不能對事物的關系和性質作精細的分析時，僅憑數的直覺還不可能把數和物體的其它性質分開，更不可能從物體的集合中抽象出來，這時的數概念是模糊而散漫的。后來，原始人能夠分辨一、二和許多，漸至認識了等數性，于是動物所沒有的計數活動在人類出現了，并真正導致數概念的產生。

當計數的對象不多時，人們用身邊常見的物體，特別是自己身體上的器官和肢端作為比較的標準，是再自然不過的事了。其中屈指計數具有十分重要的意義。②這個階段的數已被指明為物體集合的一個性質，但尚未從中抽象出來，計數的功能只是把一組物體的數量特征轉移到另一組物體。原始人還沒有認識到數列的潛在無窮性，對超過一定數目（比如手指個數）的數就不能計算了。

原始社會進化到稍有經濟組織的時候，由于分配和交換的需要，人們計算大數的機會增多了。屈指計數不敷應用，就用石子、木棍、繩結等實物計數。這仍是在兩組物體之間建立一一對應，但人類認識的數量增大了，并導致進位思想的產生。結合進位思想對實物計數法進行改良，人們又創造出各種計數工具，如算籌、算盤等。實物和工具計數法都適應了早期人類思維的直觀性。

文字產生后，單個的數有了獨立的名稱，人們就用語言文字計數。數開始脫離物體集合而成為抽象概念，數與數之間有了運算。③最后，數概念在人們頭腦中形成具有一定關系和規律的潛在無窮系統。

人類數概念的形成過程，對兒童學習計數和記數有一定的啟示。小學低年級學生，較多應用“具體實例”、“直觀特征”形式掌握概念，他們獲得數概念的過程，往往是一個反復感知，辨認同類事物不同例子，分不同層次抽象概括其本質特征的過程。

一年級學生是這樣形成10以內的數概念：數實物（使實物與數目相聯系）→撥算珠（抽象出事物的數量特征，用有形的算珠代表事物）→讀寫數字（用抽象的數字代替算珠）→形成數概念。

隨著數概念范圍逐步擴展，在學習20以內、100以內、萬以內數的認識過程中獲得數概念的方式是基本相同的，但每個階段具體要求是不同的，體現了從易到難、從簡單到復雜的不同層次水平，從具體到抽象的順序不斷發展深化。下面就數數和讀寫數為例加以說明：

教學20以內認數時，在數實物的過程中突出“十”為單位的基礎上一個個地數，孕伏計數單位“十”和“一”；在讀寫數的過程中要憑借實物圖，從圖、數的對應地讀、寫做起，以便突出20以內數的組成。

教學100以內認數時，數實物要分層進行：第一層從二十起一根根地數到100，弄清100以內數的順序；第二層十根十根地數，數到100掌握整十數的順序并感知10個十是一百；第三層接近整十數往下數，突破認識100以內數的順序難點；第四層在數數的過程中憑借實物感知100以內數的組成，在讀、寫教學中不再依靠實物而是借助計數器。在感知數位的基礎上形成讀、寫一般表象“都從高位起”。

教學萬以內認數，有了100以內數認識的基礎，同時由于數的再擴展，所以通過計數器半抽象地進行數數練習；在讀、寫數教學中要提高抽象概括的水平，如讀數第一步通過656、3812兩數讀法總結出“從高位起”，按照數位順序讀，千位上是幾千，……個位上是幾就讀“幾”，第二步通過703、5006兩數讀法總結出“中間有一個0或兩個0，只讀一個零”，第三步通過400、8000兩個數的讀法總結出“末尾不管有幾個0，都不讀”，第四步通過3040讀法，最后總結性概括讀法。

參考文獻：

[1] 袁小明.數學思想史導論[M].廣西教育出版社，1991.3

[2] 許純舫.中國算術故事[M].中國青年出版社，1963年第3版

[3] [美]M.克來因.古今數學思想（第一冊）[M].上海科技出版社，1980.11