一類三角矩陣的特征值反問題

李帥,李志斌

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

一類三角矩陣的特征值反問題

李帥,李志斌

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

對一類奇階上三角矩陣的特征值反問題進行研究，通過兩個給定特征對(λ,x),(μ,y)對矩陣的存在性及唯一性的條件進行討論，在滿足條件的前提下進行求解并給出表達式，通過數值例子驗證算法的可行性.

三角矩陣；特征值；反問題

0 問題提出

矩陣的特征值反問題不僅在數值代數理論上是有意義的，而且在解決實際應用問題方面，也有舉足輕重的地位[1- 4].

本文主要對如下形式的矩陣進行研究

其中,ai,bi,ci(i=1,2,…,n)∈R且ci=bi-1(i=1,2,…,n-2),c1=b0=0，n=2m-1.

問題A 給出兩個非零互異實數λ,μ以及兩個非零向量x=(x1,x2,…,xn)T，y=(y1,y2,…,yn)T，求n階實矩陣J使Jx=λx,Jy=μy.

做如下約定：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1 問題A求解

1.1 當1≤i≤m-1時

由于(λ,x),(μ,y)為J的特征對，從而有

(8)

(9)

由式(8)和(9)消去ai，得

(10)

又因為

ci=bi-1,(i=1,2,…,n-2),結合式(2)、(3)、(10)可得

(11)

當i=1時，由b0=0得

(12)

當i=2時

(13)

(14)

對于式(14)，若Di≠0(i=1,2,…,n-1),則xi,yi(i=1,2,…,m-1)不能同時為零，則ai,bi,ci(i=1,2,…,m-1)有唯一值.由式(14)解得

(15)

(16)

(17)

1.2 當m≤i≤n-2時

(18)

(19)

由式(18)和(19)消去ai，得

(20)

又因為ci=bi-1(i=1,2,…,n-2)，結合式(2)，(4)和(20)可變為

(21)

當i=m時，得

(22)

當i=m+1時，得

(23)

(24)

(25)

類似情況2.1，當Di≠0(i=1,2,…,n-1)時，ai,bi,ci(i=m,m+1,…,n-2)有唯一值，由式(25)解得

(26)

(27)

(28)

1.3 當i=n-1時

(29)

(30)

若Dn-1≠0,則an-1,bn-1有唯一值，由式(29)和(30)解得

(31)

(32)

1.4 當i=n時

①若xn≠0,yn=0,anxn=λxn則an=λ;

②若yn≠0,xn=0,anyn=μyn則an=μ;

③若xn≠0,yn≠0,anxn=λxn,從而an=λ;anyn=μyn,從而an=μ,就有λ=μ,這與λ與μ互異矛盾，從而須有xnyn=0;

④若xn=yn=0，則an解不唯一，為確保解的唯一性，需要求xn,yn不同時為零.

綜上，當xnyn=0且xn,yn不同時為零時，an有唯一解，解得：

(33)

綜上所述，對問題A，給出如下定理：

定理 如果以下條件滿足：

(Ⅰ)Di≠0,(i=1,2,…,n-1);

(Ⅱ)xnyn=0且xn,yn不同時為零.

則問題A有解，且

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

2 數值例子

c1=b0=0,c2=b1=2,c3=b2=1;

[1]李志斌，趙鑫鑫，李偉.廣義Jacobi矩陣特征值反問題[J].大連交通大學學報， 2008,29(4):6- 10.

[2]戴華，姚承勇.Jacobi矩陣逆特征問題解存在的條件[J].高等學校計算數學學報，2003,25(1):40- 49.

[3]哈里曼.關于矩陣特征值正反問題的應用背景[J].新疆大學學報(自然科學版)， 1997(4):26- 35.

[4]WEIWEIGU，ZHIBINLI．GeneralizedInverseEigenvalueProblemforGeneralizedSnow-LikeMatrices[C]．2012InternationalConferenceonComputationalandInformationSciences(ICCIS2012),Chongqing,2012:662- 664.

Inverse Eigenvalue Problem for a Class of Triangular Matrices

LI Shuai,LI Zhibin

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

The eigenvalue of the a class of upper triangular matrix of odd order is studied,and the feature of existence and uniqueness of matrix via two given two characteristic pairs (λ,x),(μ,y)isdiscussed.Furthermore,thesolutionisbuilt,andexpressionisprovidedundersatisfiedconditions.Thefeasibityofthecalculationisexanimatedbyanumericalexample

triangular matrix；eigenvalue；inverse problem

1673- 9590(2015)01- 0112- 03

2014- 03- 10

國家自然科學基金資助項目(61273022)

李帥(1988-),男，碩士研究生；李志斌(1960-),教授，碩士，主要從事矩陣特征值反問題的研究

E-mail:lishuai1988214ky@163.com.

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