地震多點反應(yīng)譜模型存在缺陷的改進(jìn)與驗證*

柳國環(huán)， 練繼建， 國 巍， 耿 辰， 田 利

(1.天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室 天津，300072) (2.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院 天津，300072)(3.中南大學(xué)土木工程學(xué)院 長沙，410075) (4.天津城建大學(xué)土木工程學(xué)院 天津，300384)(5.山東大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院 濟(jì)南，250100)

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地震多點反應(yīng)譜模型存在缺陷的改進(jìn)與驗證*

柳國環(huán)1，2， 練繼建1，2， 國 巍3， 耿 辰4， 田 利5

(1.天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室 天津，300072) (2.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院 天津，300072)(3.中南大學(xué)土木工程學(xué)院 長沙，410075) (4.天津城建大學(xué)土木工程學(xué)院 天津，300384)(5.山東大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院 濟(jì)南，250100)

推導(dǎo)出基于位移和位移-速度輸入模型的多點反應(yīng)譜。闡述了基于位移輸入模型所導(dǎo)出反應(yīng)譜的缺陷及其邏輯必然性，說明了基于加速度模型導(dǎo)出的多點反應(yīng)譜計算結(jié)果有效的偶然性、必然性及其適用范圍，并給出數(shù)值算例予以驗證。分析表明：基于位移-速度導(dǎo)出的多點反應(yīng)譜理論嚴(yán)格；基于位移輸入模型導(dǎo)出的多點反應(yīng)譜會導(dǎo)致底部單元內(nèi)力不收斂，計算結(jié)果不合理；基于加速度輸入模型導(dǎo)出的多點反應(yīng)譜結(jié)果雖然有效，但適用于經(jīng)典阻尼體系，在推導(dǎo)過程中的忽略項在理論上具有誤差相互抵消的特點。

地震地面運動； 多點反應(yīng)譜； 加速度輸入模型； 位移-輸入模型； 位移-速度輸入模型； 經(jīng)典阻尼

引言

當(dāng)前，地震動多點輸入下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析已成為抗震工程界研究熱點之一，位移輸入計算模型備受青睞。在頻域內(nèi)，根據(jù)隨機振動理論可以推導(dǎo)出多點響應(yīng)譜(multi-support response spectrum，簡稱MSRS)法理論表達(dá)式，與時程分析方法相比，該方法計算快、簡單實用，可方便用于工程結(jié)構(gòu)設(shè)計。

國內(nèi)外學(xué)者在MSRS法方面進(jìn)行了諸多研究。Alejandro等[1]針對地震激勵下的二次結(jié)構(gòu)在多支撐輸入下進(jìn)行了反應(yīng)譜分析。Berrah等[2]利用修正系數(shù)對反應(yīng)譜值進(jìn)行修正來考慮地震動多點激勵的空間變化效應(yīng)，并利用一致激勵情形時組合方法求解結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)。Kiureghian等[3]采用隨機振動理論推導(dǎo)出具有較嚴(yán)格意義的MSRS法，考慮了行波效應(yīng)、部分相干和局部場地效應(yīng)影響、地面運動的相關(guān)性以及各振型之間的相關(guān)性。Loh等[4]針對MSRS計算量大的缺點，給出了積分系數(shù)求解簡化的計算方法。王君杰[5]推導(dǎo)出一般阻尼結(jié)構(gòu)體系在多維多點地震動作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)MSRS法。劉先明等[6]對擬靜力反應(yīng)項與動力反應(yīng)項進(jìn)行了研究并予以簡化，減少了計算量。

目前，MSRS法是基于位移-速度輸入模型基礎(chǔ)上忽略兩項阻尼的加速度輸入模型而推導(dǎo)出的，包括由Kiureghian提出的目前相對最為嚴(yán)密的MSRS法。值得一提的是，Wilson[7]提到：采用數(shù)學(xué)模型分析可能得到與實際物理模型行為有較大差異的計算結(jié)果，并作了相關(guān)說明。這里所談及到的數(shù)學(xué)模型即為加速度輸入模型。近年來，位移輸入模型被廣泛采用，筆者也強調(diào)了位移輸入模型的優(yōu)勢與缺陷[8]，陸續(xù)作了系統(tǒng)性相關(guān)介紹?；谖墨I(xiàn)[7]，筆者在后續(xù)工作中詳細(xì)分析了位移輸入模型存在的問題[9]，并提出了理論嚴(yán)格的無質(zhì)量剛性元(appended massless constraint element，簡稱AMCE)實效對策。為了便于結(jié)構(gòu)工程師解決實際工程問題，進(jìn)一步提出了無質(zhì)量剛性元法[10]，該方法已經(jīng)應(yīng)用于一實際橋梁工程計算[11]。相比之下，位移-速度模型保留了速度項，相關(guān)內(nèi)容參見文獻(xiàn)[9-10]。

與位移-速度模型相比，加速度輸入模型忽略了兩項阻尼，位移輸入模型忽略了一項阻尼，導(dǎo)致了基于該模型得到的MSRS表達(dá)式有所不同。鑒于此，筆者說明了當(dāng)前基于“加速度輸入模型”導(dǎo)出的MSRS模型的“偶然性”和“必然性”，指出基于位移輸入模型導(dǎo)出MSRS的不合理及其邏輯必然性，闡述了有必要基于“位移-速度輸入模型”導(dǎo)出MSRS的邏輯性和必要性，并給出理論公式。最后，結(jié)合算例進(jìn)行了驗證與說明。

1 時域輸入模型本質(zhì)區(qū)別

1.1 時域模型公式推導(dǎo)及其區(qū)別

一離散單元的結(jié)構(gòu)體系與地面剛性連接，將其自由度分為兩類：n個非支座節(jié)點自由度與m個支座節(jié)點自由度。地震地面運動作用下，該體系的動力平衡方程[1]可表達(dá)為

(1)

(2)

式(2)即為位移-速度輸入模型。將結(jié)構(gòu)非支座節(jié)點的絕對位移分為兩部分表達(dá)

X=Xd+Xs

(3)

(4)

其中：R為影響矩陣。

(5)

(6)

表1為3種不同計算模型或等價模型右端項對比與說明。同時，基于不同計算模型導(dǎo)出的多點反應(yīng)譜在表中也給出了名稱，便于描述方便。

表1 3種不同計算模型或等價模型右端項對比與說明

Tab.1 Comparision among the right-hand items of three different calculation models or equivalent models

時域計算模型位移?速度模型等價模型位移輸入模型等價模型加速度輸入模型右端項相應(yīng)多點反應(yīng)譜

1.2 基于不同輸入模型的多點反應(yīng)譜

相比之下，基于位移-速度輸入模型導(dǎo)出的MSRS，即DV-MSRS邏輯上理論最為嚴(yán)格，因為位移-速度輸入模型本身不涉及到忽略項。鑒于此，筆者推導(dǎo)出基于位移-速度輸入模型的DV-MSRS和基于位移輸入模型的D-MSRS，并指出其不收斂的問題。

2 基于位移-速度與位移時域模型的結(jié)構(gòu)反應(yīng)表達(dá)式

2.1 基于位移-速度模型的結(jié)構(gòu)反應(yīng)表達(dá)式

基于文獻(xiàn)[3]，根據(jù)式(2)推導(dǎo)結(jié)構(gòu)時域反應(yīng)計算公式。式(1)中，當(dāng)不考慮慣性力與阻尼項時，有下式成立

KttXs+KtuU=0

(7)

(8)

其中：Xs為擬靜力反應(yīng)。

結(jié)構(gòu)絕對反應(yīng)X可表達(dá)為動反應(yīng)Xd與Xs之和，即

X=Xd+Xs

(9)

將式(7)，(8)代入式(2)，得到

(10)

(11)

令

R=[r1…rk…rm]T

(12)

(13)

其中：rk為R的第k列向量；ik為m維單位矩陣的第k列向量。

將式(12)，(13)代入式(11)，得到

(14)

其中：U=[u1(t)…uk(t)…um(t)]T。

令

yi=yiα+yiβ

(15)

則

(16)

(17)

(18)

(19)

分別比較式(16)，(18)和式(17)，(19)，得到

(20)

(21)

因此，可得到廣義坐標(biāo)為

(22)

根據(jù)有限元知識，結(jié)構(gòu)反應(yīng)可表達(dá)為

(23)

其中：系數(shù)ak，bki和cki分別表示為ak=ΗTrk(k=1,…,m)；bki=ΗTφiαki(k=1,…,m;i=1,…,n);cki=ΗTφiβki(k=1,…,m;i=1,…,n);Η為反應(yīng)轉(zhuǎn)換向量。

2.2 基于位移和加速度模型的結(jié)構(gòu)反應(yīng)表達(dá)式

(24)

(25)

3 基于時域模型的多點反應(yīng)譜

根據(jù)隨機振動理論及文獻(xiàn)[3]，有下式成立

(26)

(27)

對式(26)兩邊在ω∈(-∞,+∞)上進(jìn)行積分，得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)方差的表達(dá)式為

(28)

(29)

(30)

表2 3種形式多點反應(yīng)譜對比

Tab.2 Comparision among the three multiple-supported response spectrum

多點反應(yīng)譜名稱DV?MSRSD?MSRSA?MSRS譜表達(dá)式Sr(ω)Sdr(ω)Sar(ω)分析比較沒有省略任何項表達(dá)形式同Sr(ω)，但cdki≠cki表達(dá)形式同Sr(ω)，但caki=0

4 算例驗證

4.1 算例與相關(guān)參數(shù)

如圖1所示，算例模型包括構(gòu)件(切向剛度表示為K1和K3，軸向彈簧剛度表示為K2)、節(jié)點(上部節(jié)點和支座節(jié)點)以及相關(guān)參數(shù)表示。方便起見，只考慮水平x向平動有效自由度。

圖1 算例模型示意圖Fig.1 Model sketch of numerical example

反應(yīng)向量為

(31)

(32)

(33)

相應(yīng)的剛度和質(zhì)量矩陣分別為

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

通過模態(tài)分析，得到兩個振型的廣義模態(tài)質(zhì)量以及相應(yīng)的振型向量為

(41)

(42)

(43)

根據(jù)兩個振型的圓頻率ω1=25.334rad/s和ω2=25.338rad/s以及振型阻尼比ξ1=ξ2=0.02，得到瑞利阻尼的質(zhì)量阻尼系數(shù)α=0.507和剛度阻尼系數(shù)β=7.89×10-4。計算式(11)中的Ctt和Ctu，根據(jù)式(13)得到由αki和βki組成的系數(shù)矩陣A和B為

式(26),(27)中傳遞函數(shù)Hj(iω)由模態(tài)圓頻和阻尼比也可求出。

4.2 DV-MSRS驗證及其與D-MSRS和A-MSRS對比

圖2為分別采用位移-速度輸入模型對文中算例進(jìn)行時程計算結(jié)果(HHT積分方法)。可以看出：采用位移-速度輸入模型，不同n值底部單元剪力(底部剪力)基本重合，而采用位移輸入模型則計算結(jié)果不同且差異較大，說明了當(dāng)前被廣泛采用的位移輸入模型存在底部單元內(nèi)力隨單元逐步劃分不穩(wěn)定且不收斂的問題，從而說明了文獻(xiàn)[9-10]強調(diào)的問題不容忽視。

圖3為位移-輸入模型與加速度輸入模型的剪力對比與相對誤差(n=100)，說明結(jié)果比較相近。

表3為以位移-速度輸入模型的直接積分時程法(以此計算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn))，DV-MSRS，D-MSRS和A-MSRS計算得到的反應(yīng)方差，并給出誤差分析?？梢钥闯?，由DV-MSRS計算的誤差為5.41%(n=10)和5.28%(n=100)。這不僅說明了筆者所改進(jìn)的模型結(jié)果的有效性和精確性，也說明了DV-MSRS計算結(jié)果的穩(wěn)定性。相比之下，采用D-MSRS計算結(jié)果的誤差為9.08%(n=10)和1 368%(n=100)，進(jìn)一步說明了D-MSRS的不可靠性和不穩(wěn)定性，這在理論上具有邏輯必然性。采用A-MSRS計算結(jié)果的誤差為7.13%(n=10)和6.67%(n=100)，說明對于經(jīng)典阻尼體系，A-MSRS與DV-MSRS計算結(jié)果的相近性。

表3 采用不同方法計算底部單元剪力的方差與誤差分析

圖2 不同計算模型不同工況底部單元剪力時程Fig.2 Shear force history of different cases using different analysis model

圖3 位移-速度與加速度底部單元剪力比較Fig.3 Comparision of shear force between displacement-velocity and acceleration model

5 結(jié) 論

1) 說明A-MSRS計算結(jié)果的有效性，客觀認(rèn)識A-MSRS，指出了在理論上嚴(yán)格的適用范圍為經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)體系。

2) 指出D-MSRS所導(dǎo)致問題(底部單元內(nèi)力隨單元精細(xì)劃分而不收斂)的邏輯必然性，分析其根本原因，并通過算例驗證。

3) 推導(dǎo)出DV-MSRS，并通過算例驗證了計算結(jié)果的有效性和穩(wěn)定性。對于非經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)體系，指出了DV-MSRS與A-MSRS之間的差別及其不容忽視性。

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Liu Guohuan, Li Hongnan, Tian Li. Response analysis of Jiujiang Yangze River highway bridge under spatially variable earthquake ground motions[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009,28(9): 204-209.(in Chinese)

*國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(51408409)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2011M500332)

2013-07-16；

2013-09-16

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.005

P315.9; U442

柳國環(huán)，男，1980年6月生，博士、副教授。主要研究方向為工程結(jié)構(gòu)動力計算。曾發(fā)表《求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)位移輸入模型中存在問題的一種新解決方法》(《工程力學(xué)》2010年第27卷第9期)等論文。

E-mail：liugh@tju.edu.cn