基于小波-強跟蹤濾波的陀螺漂移在線預測*

張 偉， 杜黨波， 胡昌華， 周志杰， 張建勛

(1.第二炮兵工程大學信息工程系 西安，710025) (2.第二炮兵工程大學控制工程系 西安，710025)

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基于小波-強跟蹤濾波的陀螺漂移在線預測*

張 偉1， 杜黨波2， 胡昌華2， 周志杰2， 張建勛2

(1.第二炮兵工程大學信息工程系 西安，710025) (2.第二炮兵工程大學控制工程系 西安，710025)

為進一步提高陀螺漂移預測精度，根據陀螺一次項漂移系數非平穩時間序列的特點，針對其數據的突變和趨勢相較強的問題，提出一種基于小波和多重次優漸消因子強跟蹤濾波相結合的非平穩時間序列在線預測方法，并將其應用于陀螺一次項漂移系數預測。實驗結果表明，該方法能有效改善數據突變和較強趨勢項所帶來的狀態估計不準、進而造成預測不準的問題，提高了預測精度。

小波分析； 強跟蹤濾波； 陀螺漂移； 多重次優漸消因子

引言

陀螺儀是構成慣導系統的核心元件，陀螺漂移是影響陀螺精度的主要因素。如何有效提高陀螺儀的性能、抑制陀螺儀的漂移成為提高慣導系統精度的關鍵。陀螺漂移主要表現在漂移系數的變化，其漂移一次項系數測試數據屬于趨勢項較強的非平穩時間序列，能夠反映陀螺漂移的程度。因此，通過預測陀螺漂移一次項系數來預測陀螺儀性能對于陀螺儀使用、維護和延長使用壽命等具有重要意義。

現有方法處理非平穩時間序列預測問題一般分為兩類：基于人工智能的方法和將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列問題處理的方法。其中，神經網絡等人工智能的方法[1-2]建模和預測精度較高，但在線能力相對較弱。文獻[3]將非平穩時間按序列轉化為平穩時間序列的方法對于含有突變等特點的復雜非平穩時間序列預測能力較弱。文獻[4]將灰色預測與自回歸滑動平均模型 (autoregressive moving average，簡稱ARMA)結合起來，針對陀螺退化進行了建模預測，指出采用混合方法比單一方法的預測精度高。文獻[5]針對陀螺漂移預測比較了卡爾曼濾波和小波分析分別與ARMA結合起來預測的優缺點。文獻[6]采用小波和ARMA組合的方法對糧食產量進行了預測，但在線能力較弱。Zheng等[7]提出的小波和卡爾曼濾波相結合的方法(wavelet-Kalman filtering hybrid estimating and forecasting algorithm，簡稱WKHEFA)是將小波分析的多尺度特性、在時域和頻域均具有多分辨率分析的特點和卡爾曼濾波的實時性、遞歸性和易實現等特點結合起來的預測方法，對于負荷等周期性較強的數據有較好的預測能力，但當非平穩時間序列周期性不明顯，且含有突變和較強趨勢項等特點時會表現出模型建立不準、預測精度不高的問題。文獻[8]加入了帶單重次優漸消因子的強跟蹤濾波，仿真驗證了其有效性，但其單通道的強跟蹤特性對于陀螺漂移一次項系數等工程實例仍有放大誤差的不足，不能達到預期的預測結果。

筆者針對陀螺儀一次項漂移系數具有較強趨勢項和突變的特點，結合強跟蹤濾波對于突變狀態的強跟蹤特性，在小波和卡爾曼濾波混合預測方法的基礎上進行了改進，將小波分解和強跟蹤濾波算法中多重次優漸消因子的思想相結合，提出一種同時具有實時性、遞歸性、多通道強跟蹤性和多尺度分析特性的在線預測方法，并對陀螺儀漂移一次項系數進行了預測。實驗結果表明，該方法有效改善了數據突變和較強趨勢項突變所帶來的狀態估計不準，進而造成預測不準的問題，提高了預測精度。

1 問題描述

對于某一非平穩時間序列數據

z(t)=s(t)+v(t)

(1)

其中：s(t)為非隨機部分；v(t)為隨機干擾項。

s(t)中經常含有趨勢項、季節項即周期項等，WKHEFA方法對周期性強的非平穩時間序列進行離散小波變換,使小波系數構成的新序列具有隨機游走特性。該方法將小波和卡爾曼濾波結合起來，對具有周期性的負荷數據有較好的預測結果，但對于含有突變和趨勢項較強的非平穩時間序列數據采用該方法并不能很好的進行預測，主要問題：a. WKHEFA方法所建模型不能很好地匹配含有突變或趨勢項較強的非平穩時間序列，即模型建立不準，從而導致卡爾曼濾波出現預測不準確或者發散的情況；b. WKHEFA方法在預測具有周期性特點的數據時，周期是已知或易于得到的，即小波分析所選數據段長度是易于得到的，而對于周期性不強的數據，小波分析所選的數據段長度難以把握。

針對第1個問題，筆者采用帶多重次優漸消因子的強跟蹤濾波代替卡爾曼濾波進行預測并在數據段內進行狀態更新。陀螺漂移系數等非平穩時間序列發生突變時，其各系統狀態分量即小波系數的突變程度是不同的，需采用具有多通道強跟蹤能力的帶多重次優漸消因子強跟蹤濾波對系統狀態進行跟蹤。雖然和采用單重次優漸消因子相比，在一定程度上提高了算法的復雜度，但對于抑制采用單重次優漸消因子引起的非突變通道的誤差有很好的效果，同時仍然能夠改善模型建立不準所帶來的狀態估計值偏離系統狀態的現象。針對第2個問題，筆者在其他條件不變、所選數據段長度不同的情況下進行了實例驗證，得出了陀螺一次項漂移系數預測時應選取的數據段長度。最后對涉及算法的實時性進行了對比分析。

2 帶多重次優漸消因子的小波-強跟蹤濾波的非平穩時間序列在線預測

提出的帶多重次優漸消因子的小波-強跟蹤濾波的非平穩時間序列在線預測方法的整個算法流程如圖1所示。其中：Hi為小波重構矩陣的第i行；l為數據段長度；Z(m)為第m個觀測值；m=k·l+i-1。從圖1可以看出，該算法主要包括3步：a.小波分析信號分解，建立系統模型；b.強跟蹤濾波在線更新的一步狀態預測；c.利用小波重構矩陣對狀態進行重構，得到預測結果。

圖1 預測算法流程圖Fig.1 Flow chart of the prediction method

2.1 基于小波分析的信號分解

設{Vj}j∈Z為L2(R)的一個多分辨分析，φ(x)為{Vj}中的尺度函數。φ(x)為{Vj}中的正交尺度函數，在最細尺度M上，z(t)，s(t)，v(t)在選定長度的數據段內[7]可分別表示為

(2)

對s(t)進行離散小波變換,帶入式(2)可得

(3)

對式(3)兩端同時與φM,r(t)做內積，有

(4)

式(4)可整理為

z(r)=HrWs+v(r)

(5)

其中:Hr為小波重構矩陣的第r行[9]；Ws為小波系數；r=1,2,…,2M。

把整個所選數據段各個時刻的采樣值寫成向量形式，并假設將小波系數看作狀態變量，則將z(k)描述為狀態方程形式

(6)

其中：A，F為l×l的單位陣；H為l×l的觀測陣即小波重構矩陣；k表示數據段的序號；X(k)為l維狀態變量即小波系數。

W，V分別為l維系統和觀測噪聲，并假設其滿足以下統計特性

(7)

其中：Q(k)為對稱非負定陣；R(k)為對稱正定陣。

2.2 強跟蹤濾波算法

強跟蹤濾波(strong tracking filter，簡稱STF)的代表算法是引入次優漸消因子進行強跟蹤[10-11]，描述的系統中狀態變量是小波系數。文獻[8]中強跟蹤濾波采用的是單重次優漸消因子對其進行強跟蹤，但小波系數是由一個逼近系數和其他細節系數構成。當趨勢項較強的測量數據發生突變時，主要是逼近系數發生了突變，所以為了實現對小波逼近系數的強跟蹤，弱化其他系數對預測造成的影響，不適宜采用帶單重次優漸消因子的卡爾曼濾波(suboptimal fading Kalman filter, 簡稱SFKF)，而應采用帶多重次優漸消因子的卡爾曼濾波(suboptimal multiple fading Kalman filter,簡稱SMFKF)[12]進行強跟蹤。

多重次優漸消因子主要思想是：采用多個次優漸消因子分別對不同的數據通道(狀態分量)進行漸消，為了進一步提高濾波器的跟蹤能力，通過引入漸消記憶矩陣L(m+1)實時調整狀態預報誤差的協方差陣以及增益來實現。當由先驗知識得到狀態X(m+1)的某分量Xi(m+1)易于突變時，可相應增大與其對應的次優漸消因子的比例系數，這樣有助于實現對此分量的快速跟蹤。

P(m+1|m)=L(m+1)AP(m|m)AT+FQFT

(8)

X(m+1)可由下面的方法[12]計算得到

(9)

V0(m+1)=

(10)

N(m+1)=V0(m+1)-

Hi+1(m)FQFTHi+1(m)T-βRi+1(m)

(11)

M(m+1)=Hi+1(m)AP(m|m)ATHi+1(m)T

(12)

(13)

(14)

L(m+1)=

(15)

其中：λi(m+1)=αic(m+1),i=1,2,…,l；β≥1為選定的弱化因子，可以避免過調節，β可以由經驗得到，也可以仿真得到；0<ρ≤1為遺忘因子，一般取ρ=0.95。

2.3 帶多重次優漸消因子的小波-強跟蹤濾波在線預測算法

帶多重次優漸消因子的小波-強跟蹤濾波在線預測算法(suboptimal multiple fading-wavelet-Kalman filtering hybrid estimating and forecasting algorithm，簡稱SM-WKHEFA)是將強跟蹤濾波和小波分解結合起來，利用小波分解得出的數據多尺度特征，將分解出的小波系數作為狀態變量，同時利用強跟蹤濾波進行實時多通道強跟蹤和動態預測的一種同時具有遞歸性、實時性、多通道強跟蹤性和多尺度分析特性的方法。

(16)

(17)

其中：Hi(m)為觀測矩陣即小波重構矩陣第i行。

(18)

(19)

(20)

(21)

令m=m+1，重復以上運算即可實現對每個測量值的一步預報。

綜合以上思想，總結整個SM-WKHEFA算法步驟如下。

1) 初始化，計算X(0|0)，給定l，Q,R,P(0|0)，狀態分量權值和所選用小波。由小波重構矩陣計算X(0|0)=H×Z(0)。給定數據段長度l=2n，n為小波分解層數。

(22)

4) 令m=m+1，返回步驟2，可實現一步預測。

這里n的選取根據不同數據的特點取值不同，本研究由實驗方法得到。

3 實例驗證

3.1 問題描述

筆者采用某型號單自由度液浮陀螺儀一次項漂移系數作為實例驗證，如圖2所示。陀螺漂移一次項系數測量序列具有較強趨勢項且存在幾個明顯的跳變，且數據周期特性并不明顯。針對此問題，首先，采用SM-WKHEFA對陀螺儀一次項漂移系數進行預測；然后，討論此算法針對陀螺一次項漂移系數應選取的數據段長度；最后，分別將改進前后的算法用于陀螺一次項漂移系數預測進行對比，得出結論。

圖2 陀螺儀一次項漂移系數曲線Fig.2 Graph of gyro drift 1-order coefficient

3.2 在線預測

如圖3所示，采用SM-WKHEFA對陀螺儀一次項漂移系數進行在線預測。由于Haar小波結構簡單，便于計算，是小波分析中最早用到的具有緊支撐的正交小波函數，故這里選取Haar小波為例。選取n=2，Q=1×10-10×Il×l，R=1×10-9×Il×l，l=2n=4，P=1×10-6×Il×l，λ1(m+1)∶…∶λn(m+1)=α1∶…∶αn=100∶1∶…∶1。

圖3 SM-WKHEFA在線預測結果Fig.3 Predict results of online SM-WKHFA

為評價預測結果，引入評價指標。絕對誤差均值為

(23)

其中：L為數據總長度。

誤差標準差為

(24)

從圖3(b)中可得到MAE=0.804 4×10-2，SDE=1.039 0×10-2。可見，所提算法能夠較好地對陀螺儀一次項漂移系數進行預測，并在原數據發生突變時能較快跟蹤并進行預測。

3.3 數據段長度的選取

在SM-WKHEFA中，n表示進行小波分解的層數，l=2n表示所選數據段的長度。當n較大時，小波分解可以提取更純凈的趨勢項，但也有可能去掉有用信息，同時強跟蹤濾波在進行預測時由于間隔長度過長會導致精度下降。當n較小時，強跟蹤濾波進行預測各數據段長度比較短，相鄰數據段之間變化較小，但此時小波分解并不能很好地分解出較為純凈的趨勢項，也會影響建模精度。可見，n的選取很重要，根據不同數據，n的選取也會不同。針對陀螺儀漂移系數數據，分別選取n為不同值進行建模預測，對比結果如表1所示。可以看出，當n=1,2時，預測結果相差不大；但當n>2時，預測誤差明顯增大。同時，由于小波分解在層數相對較多的情況下分離趨勢項的作用和抑制高頻干擾均較好，故對陀螺儀一次項漂移系數進行預測時取n=2，即每一數據段長度為l=2n=4。

表1 SM-WKHEFA選取不同n時預測誤差比較

3.4 改進前后方法比較

為進一步檢驗本研究方法的有效性，將改進前后的方法用于陀螺一次項漂移系數，比較其預測結果。選取基本WKHEFA方法、WKHEFA方法[7]、帶單重次優漸消因子的小波-強跟蹤濾波預測方法(suboptimal fading-wavelet-Kalman filtering hybrid estimating and forecasting algorithm，簡稱SF-WKHEFA)[8]以及筆者所提的SM-WKHEFA方法分別對陀螺儀一次項漂移系數進行一步預測。其中，基本WKHEFA方法是指不進行一步更新的方法，后3種方法都是一步更新預測。針對在線預測算法對實時性的要求，對以上方法的計算時間進行統計，如表2所示。所有方法的數據長度l=2n=4，初始值選取相同，運行環境為windows xp，Intel core (TM) 2 Duo CPU T6570 雙核，2 GB內存。

如圖4，5為所得結果，基本WKHEFA沒有一步更新，其他3種是一步更新后的結果。可見，WKHEFA預測結果明顯好于基本WKHEFA預測，這是因為加入新信息的更新，使得狀態較未更新之前有所改善；SF-WKHEFA預測結果并沒有WKHEFA預測結果好，這是因為強跟蹤在更新狀態時，單重次優漸消因子對除小波逼近系數以外的細節系數影響也進行了放大，而細節系數是高頻部分，多含有噪聲，不能很好地跟蹤結果，進而不能很好地預測；筆者采取的SM-WKHEFA預測方法得到的結果相比于WKHEFA預測結果能夠較好地對原數據進行預測，且當數據發生較大變化即突變時能夠很好地進行跟蹤，保證了其后數據預測的精度，這也驗證了筆者采用多重次優漸消因子而不采用單重次優漸消因子的分析正確。

由表2可知，SM-WKHEFA預測方法在預測絕對誤差均值和誤差標準差時能有效提高精度，驗證了本研究方法的有效性。在線能力方面，雖然幾種方法的實驗用時隨著算法復雜度的增加而增加，但都不超過0.1 s，且在線能力和預測精度兩者互相矛盾，在相同數量級的用時下，可以根據測試要求選擇更合適的算法。陀螺儀漂移系數標定需要6位置測試才能完成，遠遠大于算法計算所需要的時間，因此本研究算法能夠達到在線能力的要求。

圖4 改進前后預測方法結果比較Fig.4 Predict results comparison of the improved and original algorithm

圖5 改進前后預測方法誤差比較Fig.5 Predict error comparison of the improved and original algorithm

表2 改進前后預測方法誤差比較

研究模型是建立在小波系數的隨機游走性質前提下的[7]，狀態轉移矩陣A為單位陣，而強跟蹤濾波在多步預測時只是簡單的用狀態轉移矩陣進行迭代，多步預測結果效果較差。因此當需要進行多步預測時，可考慮對狀態轉移矩陣進行改進，使其能夠反映狀態之間的關系。

4 結束語

結合具有較強趨勢項非平穩性時間序列數據的特點，將多重次優漸消因子強跟蹤濾波引入小波-卡爾曼濾波預測方法中，提出一種同時具有遞歸性、實時性、多通道強跟蹤性和多尺度分析特性的小波和強跟蹤濾波在線預測方法，并針對陀螺儀一次項漂移系數進行分析預測。實驗證明，SM-WKHEFA能有效抑制陀螺漂移系數建模不準的缺陷，增強了對數據突變的跟蹤能力，使得預測結果與傳統小波-卡爾曼濾波方法相比, 絕對誤差均值和誤差標準差都更小，提高了預測精度。但是，SM-WKHEFA只是緩解了模型建立不準帶來的缺陷，在進行多步預測時預測精度會降低，所以對所建模型進行改進，提高建模精度是下一步研究的重點。

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*國家杰出青年科學基金資助項目(61025014)；國家自然科學青年基金資助項目(61004069)；陜西省自然科學基金資助項目(2011JQ8007)

2013-01-24；

2013-03-31

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.013

TP273 ; TN713 ; V241.5; TH17

張偉，女，1966年4月生，博士、副教授。主要研究方向為故障診斷與預測、智能計算。 E-mail：zhang1966wei@163.com