是巧合還是必然

第五河清

在一次高三練考中，一道試題引起大家的討論，試題是這樣的：對某籃球運動員在100場比賽中的得分情況進行統計，得分統計表如下：

在所進行的100場比賽中，按表格中各分值區間的場數分布采用分層抽樣法取出10場比賽，再從這10場比賽中隨機選出2場作進一步分析，記這2場比賽中得分不低于30分的場數為，求的分布列和數學期望。

考試中出現了兩種不同的解法：

解法一：按照分層抽樣法，在[0，10），[10，20），[20，30），[30，40）內抽出的比賽場數分別為1，2，3，4，的取值為0，1，2，按超幾何分布建立的分布列，

求得E=0·+1·+2·=

解法二：的取值為0，1，2，按照二項分布的分布列，求得E=0·+1·+2·=

分布列不一樣，為什么期望卻一致？是巧合還是必然？我們嘗試改變數據進行檢驗。

改變1：將隨機選出2場改為隨機選出3場，所得期望分別如下：

二項分布：=np=3×=，超幾何分布：

改變2：將隨機選出2場改為隨機選出4場，所得期望分別如下：

二項分布：E=，超幾何分布：E=

結果是期望依然相等，而且，隨著數據的增大，兩種不同分布列對應概率之間的差距逐漸縮小，我們做出這樣的猜想：樣本個數越大二項分布和超幾何分布的對應概率之間的差距越小，當樣本個數無窮大時，二項分布和超幾何分布的對應概率相等，換言之，超幾何分布的極限就是二項分布，即=Cnkpk（1-p）n-k。參考有關資料，證明我們的直觀思想正確，當產品總數很大而抽出的產品較少時，每次抽出產品后，次品率近似不變。這樣就可以近似看成每次抽樣的結果是相互獨立的，抽出產品中的次品件數近似服從二項分布，人們在實際工作中常利用這一點，把抽取對象數量較大時的無放回抽樣（例如破壞性試驗發射炮彈，產品的壽命試驗等），當作有放回來處理。

編輯 謝尾合