感悟中點

朱泓宇

如圖1，E，F，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點. 四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？

觀察圖形，顯然是正方形. 聯想到有關正方形的性質，可以得證：

因為AE=EB=AB，

AH=AD，BF=BC，AD=BC=AB，

∴AH=BF=AE=BE，

∴Rt△AEH≌Rt△BEF，

∴∠AEH=∠BEF=45°，

∴∠HEF=180-2×45°=90°，EH=EF.

同理Rt△AEH≌Rt△DGH≌Rt△CGF，

∴EH=HG=GF=EF.

∴四邊形EFGH是正方形.

這一題應用了有一個角是直角的菱形是正方形的定義，如果將正方形ABCD改為平行四邊形ABCD，可以得到什么呢？

如圖2，E，F，G，H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，四邊形EFGH是怎樣的四邊形呢？

首先觀察圖形，四邊形EFGH是平行四邊形. 于是我首先畫了AC，BD兩條輔助線. 利用三角形兩條邊中點的連線平行第三邊，并且等于第三邊的一半的道理，EH和GF都平行于BD，并且都等于BD的一半.

∴EH和FG平行并且相等.

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

同樣也可以這樣證：HG和EF都平行于AC，并且都等于AC的一半.

∴EF和HG平行并且相等.

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

如果將正方形ABCD改為任意四邊形ABCD，那么四條邊中點的連線組成的四邊形又可以得到什么呢？

如圖3，E，F，G，H分別是任意四邊形ABCD各邊的中點，四邊形EFGH是怎樣的四邊形？

同樣，畫對角線AC，BD，仍然得出四邊形EFGH是平行四邊形.

因為EH平行并且等于BD，FG平行并且等于BD，∴EH=FG，EH∥FG.

同樣HG和EF都平行于AC，并且都等于AC的一半，∴EF=HG，EF∥HG.

用上面兩組推理的任一組，即可判定四邊形EFGH是平行四邊形.

由此可見四邊形四條邊的中點連線組成的四邊形是平行四邊形. （正方形是特殊的平行四邊形.）

教師點評：學生利用三角形的中位線的性質得出中點四邊形與原四邊形的關系，由一般到特殊，研究得很透徹.

（指導老師：王玉芹）