錦囊妙計 成竹在胸

范洪雷

對于分式求值的問題，一般都是先化簡后代入，但有一些求值題，特別是隱含條件的求值題，用這種辦法非常麻煩，或者根本做不出來，這時需用整體代入或者將所給條件恒等變形等方法，使問題得以解決.

1. 整體代入法

例1 已知：+=4，則=______.

【妙解】由已知條件，得a+b=4ab.

====1.

【點評】分式化簡求值中經常運用整體代換思想——整體代換是指在解決某些問題時，把一些組合式子看作一個“整體”，并把這個“整體”直接代入另一個式子，從而可避免局部運算的麻煩和困難. 有些問題，從表面上看需要局部求出各有關量，但實質上，若從整體上把握這些量之間的關系，則思路更為明朗，解法更為巧妙.

2. 倒數法

例2 已知=，求÷

-x-2的值.

【妙解】因為=，

所以=++1，

所以1-=++1，

所以-=+.

又因為÷

-x-2=÷

-=÷=·=.

所以原式=

-=（+）=.

【點評】此題運用的方法主要是倒數法.

3. 參數求值法

例3 已知==，abc≠0，則=_______.

【妙解】令===k（k≠0），

則a=2k，b=3k，c=4k，所以

=

=

==.

【點評】當已知條件形如==（xyz≠0），所要求的分式是一個含x，y，z，a，b，c而又不易化簡的分式時，通常設===k（k≠0），然后將其變形為x=ka，y=kb，z=kc，代入所求分式，從而得解，這種解題方法叫參數求值法.

4. 遞進相加法

例4 化簡+++.

【妙解】原式=+++

=++

=+=.

【點評】本題如果直接通分計算太復雜，觀察發現：前兩個分式的分母之積可運用平方差公式且分子相同，所以可先將前兩個分式通分，發現計算所得分式的分母與第三個分式的分母又符合平方差公式，因而依次類推可解此題.

5. 裂項相消法

例5 計算：+++…+.

【妙解】原式=-+-+-…-+=-+=.

【點評】由于=-+，=-+，…，所以考慮用裂項相消法解本題.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）