分式方程的增根與無解

趙密密

分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，同學們在學習分式方程后，常常會對這兩個概念混淆不清. 分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程轉化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數的取值范圍而產生的未知數的值；而分式方程無解則是指不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等. 它包含兩種情形：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解.

例1 （2014·山東聊城）解分式方程：+=-1.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2，

去括號得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

經檢驗x=2是增根，分式方程無解.

【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解，當求得的x值恰好使最簡公分母為零時，x的值就是增根. 本題轉化的整式方程的解是x=2，恰好使公分母為零，所以x=2是原方程的增根，原方程無解.

例2 解分式方程：=+2.

【解析】去分母后化為x-1=3-x+2（2+x）.

整理得0x=8.

因為此方程無解，所以原分式方程無解.

【點評】本題化為整式方程后，本身就無解，當然原分式方程肯定就無解了. 由此可見，分式方程無解不一定就是產生增根.

例3 （2013·山東威海）若關于x的方程=無解，則m=_______.

【解析】原方程可化為=.

方程兩邊都乘2（x-5），

得2（x-1）=-m.

解這個方程，得x=.

因為原方程無解，所以這個解應是原方程的增根. 即x=5，

解得m=-8.

【點評】本題考查了分式方程的解. 方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值.因為同學們目前所學的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個根，所以如果這個根是原方程的增根，那么原方程無解. 但是同學們并不能因此認為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學知識的加深，同學們便會明白其中的道理，這里不再舉例.

例4 （2005·江蘇揚州）

若方程-=1有增根，則它的增根是（ ）.

A. 0 B. 1

C. -1 D. 1或-1

【解析】原方程化成整式方程：

6-m（x+1）=x2-1，

整理得：m（x+1）=7-x2，

當x=-1時，此時m無解；

當x=1時，解得m=3.

【答案】B.

【點評】增根除滿足最簡公分母為零以外，還必須是所化整式方程的根.

例5 當a為何值時，關于x的方程+=會產生增根？

【解析】方程兩邊都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2），

整理得（a-1）x=-10， ①

若原分式方程有增根，則x=2或-2是方程①的根.

把x=2或-2代入方程①中，解得a=-4或6.

【點評】此類題首先將分式方程轉化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數的值即為增根，最后將增根代入轉化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.

例6 當a為何值時，關于x的方程+=無解？

【解析】方程兩邊都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）.

整理得（a-1）x=-10， ①

若原方程無解，則有兩種情形：

（1）當a-1=0（即a=1）時，

方程①為0x=-10，此方程無解，

所以原方程無解.

（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解.

原方程若有增根，增根為x=2或-2，

把x=2或-2代入方程①中，

求出a=-4或6.

綜上所述，a=1或a=-4或a=6時，原分式方程無解.

【點評】本題弄清分式方程的增根與無解的區別和聯系，能幫助我們提高解分式方程的正確率，對判斷方程解的情況有一定的指導意義.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）