平面連桿機構軌跡輸出的小波分析

蒼 鵬， 劉文瑞， 孫建偉

（長春工業大學 機電工程學院，吉林 長春 130012）

0 引 言

按給定設計要求，可將平面四桿機構多位置軌跡綜合問題分為開區間給定設計要求軌跡綜合問題和整周期給定設計要求軌跡綜合問題兩大類。基于數值圖譜法的解題思想，傅里葉級數可以較好地實現整周期給定設計要求的平面四桿機構軌跡綜合問題的求解［1－3］。但是由于傅里葉級數本身的缺陷（不能準確地描述非周期函數的特點），對于開區間給定設計要求的平面四桿機構軌跡綜合問題的求解，無法保證設計區間的綜合精度。

小波函數作為一個新興理論，在短短的幾十年里已經發展迅猛，其主要思想是從不同的頻帶提取函數的“平均”和“細節”特征，從而在描述平面四桿機構非整周期軌跡輸出特點時具有傅里葉級數無法比擬的優勢。因此它可以快速并精確的提取出開區間連桿軌跡的特點［4］。王成志［5］應用Haar小波多分辨率分析理論，實現了整周期連桿軌跡特征參數的提取。進而建立了相應的軌跡評價和軌跡復演模型，實現了整周期給定設計條件的平面四桿機構軌跡綜合。Gloria［6］基于該理論也對尺度綜合問題進行了研究［7］。吳鑫［8］提出了應用小波函數對平面四桿機構函數綜合的方法，應用Mallat算法對給定函數進行小波變換，將經典尺寸型函數轉換為小波特征參數，并應用模糊識別理論找出近似給定函數的尺寸型。文中通過對平面四桿機構開區間軌跡輸出函數的小波分析，揭示具有相同基本尺寸型四桿機構小波特征參數之間的關系，為利用該關系實現開區間給定設計要求的連桿機構軌跡奠定理論基礎［9］。

1 連桿曲線的小波特征參數描述

平面四桿機構模型如圖1所示。

圖1 平面四桿機構模型

其中O為坐標原點，AD為機架，AB、CD為連架桿，BC為連桿，P為連桿上任意一點，BP與BC的夾角為α，機架AD與x軸的夾角為θE，AO與x軸的夾角為β，桿AB、BC、CD、AD和BP所對應的桿長分別為L1、L2、L3、L4和LP，AO長度為Lβ，θ1為輸入角，θ2為桿BC與AD的夾角。P點軌跡可以表示為復平面上的一組點的集合，機構處于一般位置時，可以用輸入角θ1為自變量的函數表示：

根據Haar小波理論對平面四桿機構輸出軌跡進行離散化采樣及預處理，采樣點數為2j＋1（j為小波分解級數），根據式（1），其中第m（m＝0，1，…，2j）個采樣點可以表示為：

j——小波分解級數；

θ——設計區間；

通過對輸出軌跡的離散化處理可以利用采樣點描述平面四桿機構輸出軌跡的特點，隨著小波分解級數j的增加，采樣點數也隨之增加，對軌跡曲線的描述也更加精確。從式（2）可以看出，機構連桿曲線表達式包括機構參數Lβ，β，θ0，Lp和α。平面四桿機構軌跡輸出函數的小波級數表達式可寫為：

式中：f0——小波平均數；

wn——小波細節數。

f0和wn可由下式得到：

式中：θt——時間參數t的函數（θt＝ωt，ω為輸入曲柄的角速度）；

φ——尺度函數；

Ψ——小波函數。

小波平均數和小波細節數定義為小波參數。

對式（5）進行無量綱標準化處理，即小波細節數的所有項除以小波細節數的第1項，得到：

式中：

經過歸一化處理后的小波細節數定義為小波特征參數［10］。通過對式（6）的分析可知，對于平面四桿機構的非正周期軌跡輸出、機架旋轉、P點位置和桿長的等比例縮放不影響預處理后的機構輸出軌跡特征參數的Haar小波細節數。

2 驗證算例

基本尺寸型相同的機構輸出軌跡如圖2所示。

圖2 基本尺寸型相同的機構輸出軌跡

為驗證上一節得到的結論，首先定義平面四桿機構的實際尺寸和安裝參數為：L1＝61mm、L2＝104mm、L3＝155mm、L4＝184mm、LP＝72mm、θ0＝78°、α＝48°、Lβ＝43mm和β＝56°。該機構的輸出區間為θ1∈［47°，200°］（機構輸出連桿曲線見圖2（a））。小波分解級數為j＝5，此時機構輸出連桿曲線對應的小波級數平均數和細節數見表1。接下來通過將機構安裝位置旋轉θ0＝96°、連桿上任一點P的位置改變為LP＝105mm和α＝73°，將機構各桿長尺寸同時擴大為原機構尺寸的兩倍，可以得到3組新的平面四桿機構。這3組機構的連桿軌跡曲線見圖2（b）、（c）、（d）。

3組新機構輸出連桿曲線對應的小波級數平均數和細節數見表1。

表1 基本尺寸型相同的不同機構小波特征參數

通過表1可以發現，雖然4組機構的尺寸不同，輸出的連桿軌跡也不相同，但由于具有相同的基本尺寸型，所對應的機構輸出小波特征參數完全相同（從而證明了第2節得出的結論）。

3 結 語

文中在復平面上建立了平面四桿機構軌跡輸出的數學模型，通過預處理及小波變換對四桿機構輸出軌跡進行分析，發現了同源四桿機構小波特征參數之間的關系。并通過算例對這一發現進行了驗證。從算例的對比可以看出文中發現規律的正確性。該發現為利用小波級數理論進行平面四桿機構的開區間軌跡綜合問題奠定了理論基礎。

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