隨機利息力ARCH模型下的遞增定期壽險

李 婷， 劉凌晨

（1.山西大學商務學院，山西 太原 030031；2.南開大學 經濟學院，天津 300071）

0 引 言

人壽保險是一項長期性的業(yè)務，利率和死亡率是壽險精算業(yè)務中要考慮的最重要的因素。在傳統(tǒng)的精算當中，利率假定是一個常數，但利率具有很強的隨機性，會隨著經濟、政策等一系列因素發(fā)生變化。對于保險公司，如果假定利息力是一個常數，其隨機性帶來的風險將會消失，在這種假設情況下，存在的只有死亡風險。縱觀目前金融市場，這一假定完全不符合現(xiàn)實情況，所以，研究利息力的隨機性具有重要的理論意義和實際意義。

傳統(tǒng)的精算模型當中，假定利率是一個常數，但實際上利率具有很強的隨機性。1971年，Pollard J.H.［1］首次把隨機利率引入精算領域，將利率作為隨機變量引入精算函數進行研究。1976年，Boyle［2］假設利息力產生自白噪聲，研究了隨機利息力對精算函數的影響，結果表明，利息力在連續(xù)期間上存在相關性。1990年，F(xiàn)rees［3］研究了隨機利息力MA（1）模型，推導出了利息力的期望和方差。1994年，Haberman［4］把文獻［3］的可逆的一階平均移動模型推廣到隨機利息力MA（2）模型，推導出了生存年金的一階、二階矩，但仍有其不足。1997年，Haberman［5］對隨機利息力移動平均模型改進，研究了隨機利息力AR（1）模型的矩母函數。1998年，Dhaene［6］在Haberman的一階自回歸模型基礎上進一步研究了利息力AR（2）模型的矩母函數及其性質，但該模型的主要不足是利息力的方差為一常數。2001年，Perry等［7］進一步研究了AR（p）利息力模型下生存年金精算現(xiàn)值。國內學者師應來和蔡超［8］、解強和李秀芳［9］研究了隨機利息力ARMA（p，q）模型下的企業(yè)年金精算現(xiàn)值和生存年金精算現(xiàn)值問題，其不足是假定利息力的殘差序列相互獨立且方差是定值。郭芳［10］建立隨機利息力ARCH模型，彌補了ARMA（p，q）模型的不足。文中基于隨機利息力ARCH模型，推導出遞增n年死亡保險保費公式、準備金計提公式指出了隨機利息力ARCH模型在保險精算業(yè)務中的應用性。

1 預備知識

設δt是區(qū)間（t－1，t］上的利息力，則自回歸條件異方差ARCH模型為：

其中a0，a1，…，at和l1，l2，…，lq為已知。

引理1 未來k時刻單位價格1在0時刻的精算現(xiàn)值為：

引理2 在隨機利息力ARCH模型下，未來k時刻1單位價值的精算現(xiàn)值為：

其中

2 基于隨機利息力ARCH模型下的遞增n年定期壽險

假設x歲的人（x）投保離散型的按算術數列遞增的n年期定期壽險，即若保險人在第k＋1個保單年度內死亡，則在該年年度末支付保單受益人（k＋1）元（k＝0，1，2，…，n－1），假定均衡純保費P，每期期初繳納，δk是（k－1，k］年度的利息力，為方便計算，定義兩個隨機變量：

則遞增定期壽險的損失變量為：

定理1 假設死亡率與利息力相互獨立，則遞增的n年期定期死亡保險投保人的均衡純保費P為

證明 由等價定理及隨機利率與隨機死亡率相互獨立得：

得

將引理2代入上式，并整理得

定理2 假設在遞增的n年期定期壽險中，隨機死亡率與隨機利率相互獨立，投保人的均衡純保費為P，則保險公司對該保單在第k年的責任準備金：

證明 保險人在k時的未來隨機損失變量為：

記kV＝E（kL），則由引理2可得：

將定理1得到的均衡保費P代入上式，并整理得

3 結 語

傳統(tǒng)的精算模型當中，假定利率是一個常數，但利率具有隨機性。自回歸移動平均模型用殘差來代替一系列因素對利率產生的波動影響，是較為符合實際情況的一種方法，比假定利率是常數更有說服力。而隨機利息力ARCH模型主要考慮到異方差性，該因素比ARMA模型更加符合現(xiàn)實情況。文中正是基于隨機利息力ARCH模型給出更為符合客觀結果的遞增n年死亡保險保費公式、準備金計提公式。保險公司根據更為符合客觀結果的ARCH模型厘定保費和計提準備金，從而盡可能降低風險，穩(wěn)定經營。

［1］ Pollard J H.On fluctuating interest rates［J］.Bull.Assoc.Roy.Actuaires Belge，1971，66：68－97.

［2］ Boyle P P.Rates return as random variables［J］.Journal of Risk and Insurance，1976，43（4）：693－713.

［3］ Frees E W.Stochastic life contingencies with solvency considerat ions［J］.Transaction of Societies of Actuaries，1990（42）：91－148.

［4］ Haberman S，Sung J H.Dynamic approaches to pension funding［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1994，15（23）：151－162.

［5］ Haberman S.Stochastic investment returns and contribution rate risk in a defined benefit pension scheme［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1997，19（2）：127－139.

［6］ Dhaene J.On approximating distribution by their de pril transforms［J］.Scandinavian Actuarial Journal，1998（1）：1－27.

［7］ Perry D，Stadje W.Long－Termstochastic interest rate models［J］.Insurance Mathematics Economics，2001（29）：73－82.

［8］ 師應來，蔡超.基于ARMA（p，q）模型的企業(yè)年金精算研究［J］.數量經濟技術經濟研究，2008（11）：127－136.

［9］ 解強，李秀芳.基于ARMA（p，q）利息力生存年金精算現(xiàn)值模型［J］.數學的實踐與認識，2009（3）：74－79.

［10］ 郭芳.隨機利率下的壽險精算模型研究［D］.北京：北京交通大學，2008.