基于灰色加權馬爾可夫的備件需求預測

王鐵寧， 朱 域， 陳曉晨

(1. 裝甲兵工程學院技術保障工程系， 北京 100072； 2. 65527部隊， 遼寧 沈陽 110112)

基于灰色加權馬爾可夫的備件需求預測

王鐵寧1， 朱 域1， 陳曉晨2

(1. 裝甲兵工程學院技術保障工程系， 北京 100072； 2. 65527部隊， 遼寧 沈陽 110112)

針對備件需求預測中數據波動性大，且多集中于較低數量水平，使得預測值偏差較大的特點，首先應用備件需求量的歷史統計數據，建立備件灰色預測模型，并根據數據的實際趨勢提出了狀態動態劃分方法，然后運用加權馬爾科夫方法對灰色預測模型的預測結果進行了修正，并通過實例進行了驗證，結果表明：應用灰色加權馬爾可夫預測方法預測備件需求是可行的。

備件；需求預測；灰色預測模型；加權馬爾可夫預測模型

備件需求預測是通過對備件需求量歷史數據的統計與分析，建立合適的預測模型，進而推算出下一周期中所需備件需求量的過程[1]。它是裝備保障的重要環節，也是實現備件精確保障的前提。

傳統的備件需求預測方法主要有基于可靠性的預測方法[1]、基于歷史數據的預測方法[2]和基于仿真的預測方法?；诳煽啃缘膫浼枨箢A測方法是根據備件失效機理的不同，即不同的備件具有不同的壽命分布(主要有指數分布類型、正態分布類型和威布爾分布類型等),其對備件的壽命分布有比較嚴格的假設，因此，在實際應用過程中限制很多。基于歷史數據的備件需求預測方法是以歷史需求數據為樣本，通過時間序列法、回歸預測法等方法，得到備件需求的變化趨勢，進而預測將來一段時間內的備件需求量；或者引入支持向量機[3]、人工神經網絡[4]等智能算法，通過分析影響備件需求的因素，以歷史需求數據為樣本，實現對備件需求的預測。基于歷史數據的預測方法需要以大量的歷史數據為依據，適用范圍受到很大限制，同時在確定影響因素和設定權重值時帶有一定的主觀性和隨機性?；诜抡娴膫浼枨箢A測方法是在對備件需求影響因素進行一系列假設的基礎上，對備件的使用過程進行仿真，其對實際情況進行了大量的簡化，對預測的準確性有較大影響。

備件需求預測影響因素很多，其規律性不是很強，且現階段積累的歷史數據也較少，使得樣本數列的波動性較大。灰色模型GM(1,1)預測方法能夠較好地處理“小樣本”、“貧信息”等不確定性系統的預測問題，已被廣泛應用到經濟、社會、氣象等領域[5-7]，但是，灰色預測對隨機波動較大的樣本數列的擬合性較差[8]，造成預測誤差較大[9]，需要對灰色預測的結果加以優化，以取得更好的預測效果。研究[10-14]發現：與回歸預測、BP神經網絡以及決策支持向量機等方法相比，馬爾可夫預測方法能夠有效地處理隨機波動較大的數列。因此，將灰色預測與馬爾可夫預測方法進行組合能有效彌補灰色預測方法的不足，得到更加精確的預測結果[15]。但是目前所建立的馬爾可夫預測模型對狀態劃分缺乏有效的手段，忽視了狀態劃分對預測結果的影響，也沒有考慮各階(各種步長)馬爾可夫的絕對分布在預測中所起的作用，即各狀態關系的強弱。本文根據預測數列的升降程度來劃分若干動態的狀態區間，通過對不同步長的轉移概率加權來有效解決這一問題。

利用灰色加權馬爾可夫組合預測方法研究備件需求預測的思路是：先建立灰色預測模型GM(1,1)，求出預測曲線；然后以其為基準，根據預測數列的升降程度來劃分若干動態的狀態區間；最后通過馬爾可夫加權預測未來狀態，確定預測值區間，并選取狀態區間中點，得到最終的預測結果。

1 灰色預測模型

1.1 備件需求預測初始數列構造與級比檢驗

設初始數列為

X(0)={x(0)(t),t=1,2,…,n}，

(1)

式中：x(0)(t)為第t個周期的備件需求量;n為數列長度。

對數列進行級比檢驗，判斷數列建模的可行性。將數列X(0)進行級比轉換，得到級比數列

σ={σ(m)，m=2,3,…,n}，

(2)

若對式(2)中任意的σ(m)都有

(3)

則數列X(0)可利用GM(1,1)模型進行預測；若級比檢驗不合格，則需要對數列做變換處理，使得變換后的數列符合級比檢驗，通常數列變換方法有對數變換、平移變換和方根變換。

1.2 GM(1,1)建模

為削弱時間序列的隨機性，采用一次累加，得到弱隨機數列：

(4)

采用線性動態模型來模擬和逼近數據累加后的數列，建立一階灰色微分方程GM(1,1)預測模型：

(5)

式中：a、b分別為發展系數和灰色作用量，為待定參數。通常a越大，灰色預測誤差也越大，GM(1，1)模型的適用范圍也不同，具體如下：

當|a|<0.3時，GM(1,1)可用于中長期預測；

當0.3<|a|≤0.5時，GM(1,1)可用于短期預測，對中長期預測應慎用；

本文采用傳統的最小二乘法來求解模型，即

[ab]T=(BΤB)-1BΤyn，

(6)

式中：

yn=(x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(t))Τ。

將各參數代入式(5)，求得時間響應函數為

(7)

1.3 還原預測數列

還原預測數據，得到還原模型：

(8)

將式(7)代入式(8),可得

(9)

t=1,2,…,n。

根據式(8)生成備件需求預測還原數列：

(10)

2 加權馬爾可夫修正模型

2.1 變化區間狀態劃分

備件需求的變化過程是隨機上升或下降的非穩定隨機過程，其符合n階馬爾科夫非平穩隨機序列

(11)

以式(11)為基準，根據備件需求量預測情況，可將預測序列劃分為若干個狀態區間，記為

Ei=[E1i,E2i],i=1,2,…,n，

(12)

2.2 狀態轉移矩陣建立

統計收集到的數據，得到狀態i向狀態j轉移的概率為pij,i,j∈E，E={E1,E2,…,En}，為狀態集合，則狀態轉移矩陣為

(13)

2.3 權值確定

1) 計算各階自相關系數，并確定權重。自相關系數計算公式為

(14)

(15)

式中:wk為第k階的權重；J為階數的集合。

2) 對不同步長的轉移概率進行加權，得到新的概率分布。利用所得到的權重對不同步長的狀態轉移概率進行加權，即

(16)

根據式(16)可得到在狀態空間E中所有狀態的概率，形成新的概率分布P={pj|j∈E}。

2.4 預測值計算

在pj中選擇最大的概率值來確定系統未來狀態的轉向Ei，進而確定預測值的變動區間[E1i,E2i]，則預測值為該區間的中點，即

(17)

3 實例分析

某戰術保障點的備件S在2004-2013年的需求量如表1所示。

表1 備件S在2004-2013年的需求量件

3.1 備件S的灰色預測

采用2004-2013年備件S需求量的實際統計值作為原始數列：

級比區間為

(e-2/(10+1)，e2/(10+1))=(0.833 8，1.199)。

級比序列為

σ(S)={ 0.95,0.89,1.12,0.88,1.02,1.09,

0.99,0.88,1.08}。

可見:σ(S)(m)∈(0.833 8，1.199)，符合級比檢驗要求，無需對數據進行處理。由式(2)-(7)可得預測曲線為

利用Matlab軟件得到備件S需求量的灰色預測曲線和預測值，分別如圖1和表2所示。

3.2 狀態區間劃分

根據表2中殘差和相對誤差來劃分狀態區間、確定數列的實際狀態，分別如表3、4所示。根據劃分的狀態區間和預測精確度要求，選取0.93，0.96，1.04和1.08為相對誤差閾值,則可得以下結果。

圖1 備件S需求量的灰色預測曲線

表2 備件S需求量的灰色預測值

年份實際值/件預測值/件殘差相對誤差/%200486860020059195-4-4.4020061029665.8820079196-5-5.4920081039765.8320091019833.0620109399-6-6.4520119499-5-5.32201210710076.54201399101-2-2.022014—102——

表3 數列狀態區間

表4 數列實際狀態劃分

狀態1：A1=0.96,B1=0.93，

狀態2：A2=1.04,B2=0.96，

狀態3：A3=1.08,B3=1.04，

3.3 馬氏檢驗

對上面所求的相對變化率進行馬氏檢驗，即用χ2統計量來檢驗數據是否能采用馬爾科夫預測模型。根據表4可得：頻數矩陣為

轉移概率矩陣為

邊際概率為p*1=4/9,p*2=2/9,p*3=1/3。進而得到χ2統計量，如表5所示。由表5可計算出

表統計量

3.4 馬爾科夫修正

由式(11)-(17)可進一步得到經Markov修正后的灰色預測值，并對灰色預測結果及其馬爾科夫修正結果進行對比分析，如表6所示。表7為2種預測模型的預測效果及預測精度等級。

由表6、7可以看出：GM-Markov組合預測模型的預測精度高，效果較好，可用來預測2014年備件S的需求量。

表6 2004-2013年備件S的GM(1,1)預測與GM-Markov預測結果比較

表7 2種預測方法的預測效果與精度等級

3.5 灰色加權馬爾科夫備件需求預測

根據一步狀態轉移概率矩陣p(1)，利用切普曼-柯爾莫哥方程，可求得2、3階狀態轉移概率矩陣：

根據式(14)計算各階自相關系數：

r1=-0.441 8，r2=-0.164 7，r3=0.108 4。

根據式(15)對各階自相關系數進行歸一化處理，得到各階權重：

w1=0.618 0，w2=0.230 4，w3=0.151 6。

則備件S需求量預測的過程參數如表8所示。

對表8中各狀態轉移概率進行加權求和，得到2014年備件S需求量的各狀態概率：p1=0.887 9，p2=0.018 95，p3=0.093 1。

故max(p1,p2,p3)=0.887 9,狀態E1的累積轉

表8 備件S需求量GM-Markov的預測過程參數

移概率最大，可認為2014年備件S需求量的最優狀態是E1，利用GM(1,1)模型得到的預測值為102，應用灰色加權馬爾可夫預測模型得到的結果為97。

4 結論

通過選取相對誤差、關聯度、均方差比值和小誤差概率4個指標進行對比分析，可以看出:灰色加權馬爾可夫需求預測綜合了灰色預測與馬爾可夫預測的優點，預測精度有了較大的提高，取得了較好的預測效果，具有較強的科學性和實用性。但是，灰色加權馬爾科夫預測模型的預測結果在很大程度上受狀態區間劃分的影響，狀態區間劃分的標準不一，其合理性將直接影響灰色馬爾科夫預測模型的精確度。下一步將重點對預測模型的狀態區間劃分進行深入研究，通過多次試驗制定合理的劃分標準，取得更好的預測結果。

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(責任編輯: 王生鳳)

Spare Parts Demand Forecasting Based on the Gray Weighted Markov Method

WANG Tie-ning1, ZHU Yu1, CHEN Xiao-chen2

(1. Department of Technology Support Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China;2. Troop No.65527 of PLA, Shenyang 110112, China)

When forecasting the demand of the spare parts, it can clearly understand the demand data with the characteristics of large fluctuation, focusing on the low number, which can easily lead to great deviation between the predicted and the actual value. So, in view of the characteristics and the law of the historical demand data, according to the demand of equipment of the historical statistical data, it firstly establishes grey forecasting model, and made the division method of the state according to the real trend of the data, then, uses the weighted Markov prediction model to modify the results, to get a more accurate prediction results. Through the example, it proves that the grey weighted Markov prediction method is feasible to be used for spare parts demand forecasting.

spare part; demand forecasting; grey forecasting model; weighted Markov prediction model

1672-1497(2015)03-0008-06

2015-03-14

軍隊科研計劃項目

王鐵寧(1962-)，男，教授，博士。

E92

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.03.003