鉸接中心支撐鋼框架階形柱計算長度系數

于海豐，張文元

（1.河北科技大學建筑工程學院，河北石家莊050018；2.哈爾濱工業大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱150090）

鉸接中心支撐鋼框架階形柱計算長度系數

于海豐1，張文元2

（1.河北科技大學建筑工程學院，河北石家莊050018；2.哈爾濱工業大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱150090）

以某火力發電廠主廠房鉸接中心支撐鋼框架體系為研究背景，對該體系中階形柱計算長度系數進行了研究。基于小變形彈性穩定理論，推導了一端鉸接、一端彈性支承的雙階柱計算長度系數，采用特征值屈曲分析對推導的計算長度系數μ0進行了驗證，吻合程度較好。以廠房結構中橫向3軸框架為例，采用特征值屈曲分析、彈塑性屈曲分析對推導的μ0及柱的穩定承載力進行了驗證。結果表明，按數值計算得到的柱穩定承載力與理論計算值吻合程度較好。建議鉸接中心支撐鋼框架結構中柱的計算長度系數可按本文推導的公式計算。該方法的優點在于不必對結構的側移類型進行判斷，對于柱發生有側移失穩的情況，還可考慮上下層柱對所研究樓層柱的約束作用。

中心支撐鋼框架；階形柱；彈性支承；計算長度系數；穩定承載力；側移屬性

某大型火力發電廠主廠房為梁柱鉸接中心支撐鋼框架結構，因工藝、設備布置等原因，各別層高較大，存在階形柱。《鋼規》［1］給出了等截面柱和單層工業廠房柱腳剛性連接時階形柱的計算長度系數確定方法，王文明等［2?4］對單層門式剛架柱的計算長度系數進行了研究，吳懌哲［5］、童根樹［6?7］等對

考慮層間相互作用的柱計算長度系數進行了分析，Raftoyiannis等［8］考慮了初始缺陷對階形柱計算長度系數的影響。上述有關柱計算長度系數的研究，以梁柱剛接或半剛接為主，且或僅以單層門式剛架柱［2?4］、或無側移柱［5］、或有側移柱［6?7］為研究對象。對于梁柱鉸接中心支撐框架結構中的階形框架柱，不考慮上下層柱的影響時，可視為在柱頂受到其余柱、支撐的側向支承作用，相當于柱頂側向有一個剛度為KB的水平彈簧。若KB較大，其發生無側移失穩，若KB較小，其發生有側移失穩。但無論是有側移失穩還是無側移失穩，此多階柱的計算長度系數均有待研究。鑒于此，本文基于小變形彈性穩定理論，推導了一端鉸接、一端彈性支承雙階柱的計算長度系數μ0。采用特征值屈曲分析、彈塑性屈曲分析等數值方法對推導的計算長度系數μ0及穩定承載力進行了驗證。最后給出了相關的設計建議，結果可供工程設計參考。

1 一端鉸接、一端彈性支承雙階柱計算長度系數理論值

梁柱鉸接中心支撐鋼框架結構中典型階形柱如圖1所示。為推導該類柱的計算長度系數，特作如下假定：1）構件為理想壓桿，壓力沿構件的軸線作用，材料為彈性的；符合平截面假定；忽略剪切變形；2）梁柱鉸接，忽略上下層柱的相互作用；3）軸心荷載作用在柱頂。計算簡圖如圖2所示，圖中雙階柱下、中、上段的幾何長度分別為l1、l2、l3，慣性矩分別I1、I2、I3。

建立如圖所示xoy坐標系，在0≤x≤l1、l1≤x≤l1+ l2、l1+l2≤x≤l1+l2+l3的范圍內分別取隔離體，建立各自的平衡方程［9］，得到

式中：yi分別為下段（i＝1）、中段（i＝2）、上段（i＝3）柱任意截面處的撓度；＝P／EIi。

方程（1）的通解為

由邊界條件和變形連續條件可知：

若使方程（2）～（9）構成的齊次線性方程組有非零解，即Ai、Bi（i＝1，2，3）、不全為零，則必滿足：

解得：

式（11）稱為屈曲條件，是關于軸向臨界力P的超越方程，通過該式可以確定雙階柱的臨界承載力Pcr。上述公式是基于雙階柱推導的，對單階柱、等截面柱同樣也適用。下面對式（11）進行討論：

1）若KB較小，隨著軸力P的增加，首先滿足KB（l1+l2+l3）-P＝0，屈曲荷載為Pcr＝KB（l1+l2+ l3），此時構件如同彈性支承剛性桿一樣發生側移屈曲，變形曲線為其計算長度系數μ0（使用上柱的軸力和截面，采用整個柱高l1+l2+l3作為幾何長度進行穩定承載力計算時用到的柱計算長度系數）可按下式計算：

2）若KB較大，隨著軸力P的增加，首先滿足

構件將發生面內無側移的彎曲屈曲。令下、中、上3段的計算長度系數為μ1、μ2、μ3，則雙階柱失穩時（下、中、上柱同時失穩），有

圖1 階形柱Fig.1 Stepped columns

圖2 一端鉸接、一端彈性支承雙階柱Fig.2 Two?stepped column with one side pinned and another place elastic support

利用上式即可求得兩端鉸接雙階柱的計算長度系數μ0。式（15）為超越方程，需使用數值算法求解。因篇幅所限，本文不給相應表格。圖3給出了μ0隨K1、K2、α、β變化規律曲線，可見，μ0≤1.0，證實了以上柱為基準計算μ0時兩段截面較大的下柱的有利影響。當K1、K2趨近于1.0時，即變截面桿件趨近于等截面時，無論α、β取值如何，μ0均趨近于1.0，相當于兩端鉸接的等截面直桿，表明上述公式及其結果與等截面桿件的結果是連續的，也驗證了公式及結果的正確性。當β值較大、α較小時，μ0也基本接近于1.0，說明較短的中、下段柱剛度的增加對整個柱穩定影響不大。

圖3 計算長度系數μ0Fig.3 Effective length factor μ0

2 一端鉸接、一端彈性支承雙階柱計算長度系數數值驗證

采用ABAQUS 6.10.1［10］的B32梁單元建立一端鉸接、一端彈性支撐的工字形截面雙階柱數值模型，研究其繞強軸的軸壓失穩問題，取KB＝1.0× 106N／m。通過特征值屈曲分析計算變截面柱的計算長度系數，具體步驟如下：在柱頂施加豎直向下單位力，通過特征值屈曲分析，提取該柱失穩時對應的一階模態特征值，該值與單位力的乘積即為歐拉臨界力Pcr，用式（13）或式（14）反算柱的計算長度系數。工字形截面雙階柱基本參數如下，下段截面為300 mm×200 mm×10 mm×10 mm，l1＝1 m，中段和上段截面分別為200 mm×200 mm× 10 mm×10 mm和150 mm×150 mm×10 mm×10 mm，長度隨α和β的變化而變化。

表1給出了雙階柱計算長度系數理論值μ0與計算值的對比關系，總體上，理論值與計算值吻合較好。這既證實了理論推導的正確性，也證實了數值模擬分析的可行性、可信性，為后續采用數值分析的方法計算柱的計算長度系數提供了依據。

表1 計算長度系數計算值與理論值μ0對比Table1 Comparison of the calculated and theoretical effective length factor

α＝0.4α＝1.2α＝2α＝5α＝10 μ0μei0μ0μei0μ0μei0μ0μei0μ0μei0β＝0.4數值2.4252.4251.3971.3970.9340.9340.6350.6340.6360.638側移有有有無無β＝1.2數值1.3971.3970.9340.9340.7040.6990.6500.6510.6390.641側移有有無無無β＝2數值0.9340.9340.8390.8340.7860.7830.6850.6860.6480.649側移無無無無無β＝10數值0.9980.9960.9910.9890.9810.9800.9290.9280.8410.841側移有無無無無β＝5數值0.9840.9800.9580.9560.9290.9270.8260.8260.7240.726側移無無無無無

3 工程實例檢驗

上述計算長度系數推導及數值驗證過程中，沒有考慮梁柱鉸接的框架支撐結構中豎向連續的上下層柱對所研究樓層柱變形約束的有利作用。對于多層梁柱鉸接支撐框架結構來說，該約束作用對計算長度系數有多大的影響尚需確定。本節以某電廠廠房橫向3軸框架為例（圖4），通過特征值屈曲分析、彈塑性分析對等截面柱、變截面柱的計算長度系數進行了驗證。

圖4 橫向3軸框架立面圖Fig.4 Elevation view of 3?axis transverse frame

按式（11）計算柱的計算長度系數時，需首先計算KB。側移剛度KB計算方法如下，通過Etabs9.7.4建立有限元模型，在模型的頂層施加單位力1，提取第i層層間側移Δi，則該層任意柱側移剛度KB為

對于有側移失穩，此式可近似考慮上下層柱對所研究樓層柱失穩的有利約束作用。原因如圖5所示，上下層柱對所研究樓層柱的約束作用可用2個彈簧鉸代替，轉動剛度分別為rA、rB，側向剛度為KBi。假設柱發生有側移失穩時，其變形曲線與單位側向力作用下的變形曲線形狀基本一致。單位力作用下，由平衡關系可知：

失穩時：

圖5 帶彈簧鉸柱Fig.5 Column with spring hinges

按本文第1部分理論推導公式計算后知，橫向3軸框架22根柱（柱序號見圖4）中，僅柱1、柱2發生有側移屈曲，其余柱發生無側移屈曲。

借助ABAQUS 6.10.1［10］軟件建立數值分析模型。模型中梁、柱、支撐等構件采用B32梁單元建立，梁-柱、柱-支撐的鉸接點通過Hinge接頭單元模擬，經網格優化分析后，網格尺寸取為0.5 m。約束梁柱構件的出平面位移。材料屬性定義時，鋼材的彈性模量E按2.06×1011N／m2取值，泊松比μ按0.3計算。彈塑性屈曲分析時，采用雙線性隨動強化準則考慮梁、柱、支撐鋼材材料非線性，屈服后的切線模量E2＝0.01E。

圖6 橫向3軸框架柱1、柱9失穩模態示意圖Fig.6 Schematic diagram of columns 1 and 9 for 3?ax?is transverse frame

彈塑性屈曲分析通過Riks方法實現。通過特征值屈曲分析取柱失穩時對應的第一階模態引入初始幾何缺陷，我國現行《鋼結構設計規范》中初始幾何缺陷最大值按1／1 000桿長考慮，因本文分析時未考慮殘余應力，略微提高了初彎曲，偏安全取1／750桿長［11］。分析時，僅在所研究柱的柱頂施加豎向位移荷載，提取該柱的軸向力以及變形，柱失穩時的最大荷載即為彈塑性穩定承載力。將該彈塑性穩定承載力除以屈服承載力，即得穩定系數，進而反推出長細比和計算長度，將計算長度除以桿件幾何長度，即得計算長度系數μpl0。

圖7 基于μ0的歸一化的計算長度系數Fig.7 Normalized effective length factors based on μ0

圖8 基于P的歸一化的穩定承載力Fig.8 Normalized stability bearing capacity based on P

4 結論

1）以某大型火力發電廠主廠房梁柱鉸接中心支撐鋼框架體系為研究背景，推導了一端鉸接、一端彈性支承的雙階柱計算長度系數。基于特征值屈曲分析對推導的計算長度系數μ0進行了驗證，吻合程度較好。

2）以該電廠橫向3軸框架為例，采用特征值屈曲分析、彈塑性屈曲分析對推導的μ0及柱的穩定承載力進行了驗證。結果表明，按數值計算得到的柱穩定承載力與理論計算值吻合較好。建議鉸接中心支撐鋼框架結構中柱的計算長度系數可按本文推導的公式計算。

3）此種方法的優點在于不必事先判斷結構的側移屬性，柱的計算長度系數取式（13）、（15）的較大值即可。對于柱發生有側移失穩的情況，還可考慮上下層柱對所研究樓層柱的約束作用。

［1］中華人民共和國建設部.GB 50017—2003鋼結構設計規范［S］.北京：中國計劃出版社，2003：53?55.Ministry of Housing and Urban?Rural Construction of the People's Republic of China.GB 50017—2003 Code for de?sign of steel structures［S］.Beijing：China Planning Press，2003：53?55.

［2］王文明，郭彥林，趙熙元.變截面門式鋼剛架結構體系平面內穩定研究［J］.建筑結構學報，1999，20（4）：25?33.WANG Wenming，GUO Yanlin，ZHAO Xiyuan.In?plane buckling behavior of steel portal frame with tapered members［J］.Journal of Building Structures，1999，20（4）：25?33.

［3］田興運.鉸接門式剛架柱的計算長度系數［J］.力學與實踐，2010，32（2）：108?111.TIAN Xingyun.Effective length factors of gabled frames col?umn with hinges［J］.Mechanics in Engineering，2010，32（2）：108?111.

［4］趙光明.半剛性連接門式剛架三階柱計算長度系數的研究［D］.鄭州：河南工業大學，2011：46?54.ZHAO Guangming.Study on effective length coefficient of three?stepped columns in semi?rigid connection gabled portal rigid frames［D］.Zhengzhou：Henan University of Technol?ogy，2011：46?54.

［5］吳懌哲，蔡偉明，翁來峰.考慮柱間相互作用的無側移柱計算長度系數求解［J］.工程建設與設計，2011（5）：64?67.WU Yizhe，CAI Weiming，WENG Laifeng.Effective?length factor calculation of non?sideway columns in consideration of their interaction［J］.Construction＆Design for Project，2011（5）：64?67.

［6］童根樹，王金鵬.考慮層與層相互支援的框架柱計算長度系數［J］.建筑鋼結構進展，2004，6（4）：9?14.TONG Genshu，WANG Jinpeng.Column effective length considering the inter?story interaction［J］.Progress in Steel Building Structures.2004，6（4）：9?14.

［7］TONG G S，WANG J P.Column effective lengths consider?ing inter?story and inter?column interactions in sway?permit?ted frames［J］.Journal of Constructional Steel Research，2006，62（5）：413?423.

［8］RAFTOYIANNISIG，ERMOPOULOS J C.Stability of taper?ed and stepped steel columns with initial imperfections［J］.Engineering Structures，2005，27：1248?1257.

［9］陳驥.鋼結構穩定理論與設計［M］.6版.北京：科學出版社，2014：30?40.CHEN Ji.Stability of steel structures theory and design［M］，6thed.Beijing：Science Press，2014：30?40.

［10］ABAQUS，Inc.ABAQUS Scripting User's Manual Ver?sion6.10.1［M］.Pawtucket，USA：ABAQUS，Inc 2010.

［11］趙金友，張耀春，張文元.隨機初始幾何缺陷對柱列支撐受力的影響［J］.工程力學，2008，25（suppl2）：134?138.ZHAO Jinyou，ZHANG Yaochun，ZHANG Wenyuan.In?fluence of the initial random imperfection on the horizontal inter?column bracing forces［J］.Engineering Mechanics，2008，25（suppl2）：134?138.

Effective length factors of stepped columns in the concentrically braced steel frame with pinned connections

YU Haifeng1，ZHANG Wenyuan2
（1.School of Civil Engineering，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang 050018，China；2.School of Civil Engi?neering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China）

With the research background of the concentrically braced steel frame with pinned connections for a typical main factory building of a large thermal power plant，the effective length factors for stepped columns were studied.Based on the small?deformation elastic stability theory，the effective length factor for the two?stepped column with one side pinned and another placed elastic support was derived and verified in comparison with the value calculated by the eigenvalue buckling analysis.The derived and calculated results are in good a?greement.Taking the 3?axis transverse frame selected from the large thermal power plant as an example，the effective length factor and stability bearing capacity for columns were verified by the eigenvalue buckling analy?sis and elasto?plastic buckling analysis.The results showed that the stability bearing capacity calculated by the numerical analysis is in good agreement with the theoretical value.For the columns in the concentrically braced steel frame with pinned connections，it is suggested that the effective length factor should be calculated by the derived formulas in this paper.The advantages are that the lateral displacement type of frame does not need to be judged firstly，and that the restriction effect of the upper and lower columns on the research column can be considered for the sideway columns.

concentrically braced steel frame；stepped column；elastic support；effective length factor；stability bearing capacity；lateral displacement type

10.3969／j.issn.1006?7043.201310070

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20150109.1715.025.html

TU313；TU391

A

1006?7043（2015）03?0327?06

2013?10?24網絡出版時間：2015?01?09.

國家自然科學基金資助項目（51208169，51178145）；河北省自然科學基金資助項目（E2014208115）；河北科技大學五大平臺開放基金資助項目（2014PT36）.

于海豐（1980?），男，副教授，博士，碩士生導師；

張文元（1972?），男，教授，博士，博士生導師.

于海豐，E?mail：skipperyhf＠163.com.