Rikitake雙盤發電機系統的狀態反饋控制

雷騰飛 ，尹勁松 ，陳 恒 ，任林政

（1.西京學院 控制工程學院，陜西 西安 710123；2.山東泰開自動化有限公司，山東 泰安 271000）

1 引言

1963年，美國科學家lorenz在天氣預報的模型中發現了“蝴蝶效應”，從此許多科研工作者走進了有關混沌領域的研究[1].隨著人們對混沌的深入研究探索，混沌理論在圖像數據加密[2]、信號檢測與處理[3]、機電控制系統[4]等領域得到了廣泛應用.

地磁場長期變化中的極性反轉是地磁理論中需要且最難說明的問題之一.對此地磁學家們提出了反轉電機、統計、圓盤發電機等模型描述，其中雙盤發電機模型為地磁學家們解釋地磁起源提供了理論依據.該模型在1958年被地磁學家Rikitake提出[5]，文[5]驗證了該模型含有豐富的混沌現象；文[6]對該系統采用比例微分方法對雙盤發電機進行了控制，文[7]采用了自適應方法對系統進行了控制，但由于每個狀態量都含有控制器，則很難在工程與實際系統中實現.張濟仕等研究了此模型的分數階模型并進行了控制[8]，但在工程中分數階模型用的較少.自從Ott、Grbogi及Yorker提出混沌控制方法與理論以來，運用于永磁同步電機的控制方法已有很多文獻研究[9-11]，雷騰飛等對非均勻氣隙的電機進行了分析與控制[12]，但對于雙盤發電機混沌系統有效的控制方法報道卻不多.因此在眾多的控制方法中采用一種有效的控制方法，使系統避免混沌產生顯得極其重要且具有現實意義.

本文針對雙盤發電機混沌系統，利用相位圖、分岔圖，Lyapunov指數等分析了雙盤耦合發電機系統的動力學行為，研究了耦合發電機系統對參數的敏感性；在考慮控制方法能夠有效的應用到工程及實際背景下，采用線性狀態反饋控制方法對Rikitak發電機混沌行為進行了控制，使得系統快速準確的達到了控制的目標.

2 雙盤發電機的數學模型與混沌特性

20世紀50年代，日本地磁學家Rikitake年提出了發電機的模型，雙盤發電機由兩個圓盤與兩個相互耦合在一起的線圈組成.經過時間尺度變化與映射得到模型的無量綱方程如下[6]

其中x1,x2表示無量綱的發電機電流，x3表示兩兩個圓盤的角速度，μ和σ表示正的控制參數.

2.1 耗散性

雙盤耦合發電機系統的耗散性可由（1）導出：

這就意味著系統（1）具有耗散性，且以指數速率e-2t收斂，當t→∝時，包含系統軌線的每個體積元以指數速率收縮到零.則雙盤耦合發電機系統漸近固定在一個吸引子上，即說明混沌吸收引子存在性.

2.2 雙盤耦合發電機系統平衡點的分析

設系統（1）的平衡點為 E0=(x10,x20,x30)，可以得到：x10=±σ,x20=±σ-1,x30=μσ2.

為了分析平衡點的穩定性，得到平衡點E0的Jacobian矩陣：

將平衡點E0=(x10,x20,x30)代入式（3），求出在此平衡點處的Jacobian矩陣的特征方程：

圖1 系統的相位圖

2.3 參數 μ對系統的影響

雙盤發電機正參數 μ受工作環境，噪聲等因素影響比較大，隨著參數 μ的變化，可以看出系統出現了極為豐富的混沌現象，當 μ∈[0.5,2.5]時，系統處于混沌狀態；當μ∈[1,0.5]?[2.5,4]時，系統處于周期狀態.如圖2所示.

當系統處于混沌運動時，發電機發出的電流與電壓忽高忽低，電流與電壓的這種突變很容易引起系統的崩潰，因此須找出一種合適有效的方法消除或抑制系統中的混沌行為.

3 狀態反饋控制器的設計

3.1 非線性系統控制理論

考慮如下不受控的非線性自治系統

其中X為系統狀態變量，α為系統參數；在平衡點附近E0處對系統線性化，則系統（5）近似為：

其中可取B為對角矩陣，u為控制器，且

式中，K為反饋增益矩陣.

本文利用控制論中極點配置的方法來確定反饋增益矩陣K，從而使系統迅速達到穩定狀態.

圖2 系統的分岔圖

3.2 控制器設計

根據上述理論，考慮系統（1）加入反饋控制器，u=K(X-E0)，則系統（1）的受控系統為：

根據（7）可以簡化B，取 B=diag(1,1,1).

則系統（9）在系統（1）平衡點E0下的Jacbian矩陣為：

則受控系統的特征方程：

其中，A1、A2,、A0都是與 k1、k2、k3有關的系數.

取希望配置的極點(-1,-1,-10)，則極點構成的特征多項式為：

極點的特征多項式（12）與受控系統的特征多項式（11）相同，求出k1=9,k2=0,k3=1.當系統運行到20 s時，加入狀態反饋控制器，運用Matlab仿真，仿真系統結果見圖3.從圖3可以發現，在接入控制器后，系統迅速達到穩定狀態，且響應速度快魯棒性好.

圖3 受控系統的運動狀態

4 結論

本文研究了Rikitake雙盤發電機模型，研究表明模型具有混沌運動，此外，還進行了Rikitake雙盤發電機模型混沌機理研究.針對該發電機非線性特性，設計狀態反饋控制器并應用于本系統.仿真結果表明系統在控制器的作用下能夠迅速達到穩定狀態，理論分析與數值仿真結果相一致.仿真結果進一步驗證了所用控制方法的有效性，對機電與電機系統控制提供了理論參考價值.

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[7]王春梅，常璐璐，申玉靜.不確定變形禍合發電機系統的參數辨識與自適應同步[J].濱州學院學報，2008，40（3）：85-90.

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[12]雷騰飛，陳恒，王榮.等，非均勻氣隙永磁同步電機混沌系統的分析與控制[J].云南民族大學學報（自然科學版），2014，23（6）：443-446.