三角函數恒等變換七字訣

唐興隆

眾所周知，三角函數是高考中的必考題之一。而考試題型一般有兩種，一是考查三角函數的圖像和性質，二是考查三角形中的三角函數問題。而無論是哪一種，都離不開三角恒等變換，而三角恒等變換又是以三角函數定義和眾多公式的理解和記憶為基礎的，能否熟練理解和記憶公式、應用公式成為能否得滿分的關鍵。而我在教學中發現學生在學習過程中有兩個難點：一是在記憶公式時，只能死記硬背。二是應用公式時只能堆砌公式，不能將公式用活。那么如何解決這個問題呢？教學中應從哪幾個方面下工夫呢？下面結合自己的教學體會談兩點看法。

一、記憶公式三字訣：順、逆、變

要記憶公式，首先要搞清公式的來龍去脈，理解其推導過程。教學中要求每個同學都能自己推出公式，因為推導過程中有很多思維方法在后面解題時還會用到。然后從順用、逆用、變用三個方面加深對公式的認識和理解，避免死記硬背。

例一：（2013·江西高考文科）若sin=，則cos a=（ ）

A.- B.- C. D.

【解題指南】直接利用二倍角的余弦公式即可.

【解析】選C.cos α=1-2sin2=1-=.

例二：（2013·新課標全國Ⅱ高考文科）已知sin 2α=，則

cos2（α+）=（ ）

A. B. C. D.

【解題指南】利用“降冪公式”將cos2（α+）化簡，建立與

sin 2α的關系，可得結果.

【解析】選A.因為cos2（α+）===，所以cos2（α+）===，選A.

二、解題的思維方向四統一：角、名、冪、形

在解題時如何應用公式？如何思考呢？要在教學中給學生創設情景，引導學生觀察題目中的角有哪些，函數名稱有哪些，每一項的次數是多少，結構是怎樣的。特別是角的差異，名稱的差異，冪的差異，結構的差異。然后考慮如何應用公式逐漸縮小差異，最終形成統一，即統一角，統一名稱，統一次數，統一結構。最終完成恒等變換，化繁為簡。

例三：化簡：sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-cos2α·cos2β= .

方法一：（從“角”入手，復角→單角）

原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·（2cos2α-1）·（2cos2β-1）

=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·（4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1）

=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-

=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-

=sin2β+cos2β-=1-=

方法二：（從“名”入手，異名化同名）

原式=sin2α·sin2β+（1-sin2α）·cos2β-cos2α·cos2β

=cos2β-sin2α（cos2β-sin2β）-cos2α·cos2β

=cos2β-sin2α·cos2β-cos2α·cos2β

=cos2β-cos2β·（sin2α+cos2α）

=-cos2β·[sin2α+（1-2sin2α）]

=-cos2β=.

方法三：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）

原式=·+·-cos2α·cos2β=（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+（1+cos2α·cos2β+

cos2α+cos2β）-cos2α·cos2β=.

方法四：（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）

原式=（sinα·sinβ-cosα·cosβ）2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-cos2α·cos2β

=cos2（α+β）+sin2α·sin2β-cos2α·cos2β

=cos2（α+β）-·cos（2α+2β）

=cos2（α+β）-·[2cos2（α+β）-1]=.

答案：

綜上所述，若想學生全面把握三角恒等變換的技巧和方法，首先必須要求學生從順、逆、變三個方面牢記公式，然后從角、名、冪、形四個思維方向加強對學生的指導和訓練，方能完美。

編輯 王團蘭