基于無失效數據的加權E-Bayes可靠性評估方法

蔡忠義，陳云翔，項華春，董驍雄

（空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，陜西西安710051）

基于無失效數據的加權E-Bayes可靠性評估方法

蔡忠義，陳云翔，項華春，董驍雄

（空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，陜西西安710051）

針對無失效數據情況下產品的可靠性評估問題，提出加權最小二乘法結合期望Bayes（expected-Bayesian，E-Bayes）可靠性評估方法與模型。根據工程經驗，構造出產品失效概率的先驗分布；運用Bayes理論與方法，給出產品失效概率的E-Bayes估計；在威布爾分布場合下，采用加權最小二乘法來擬合產品壽命分布參數，給出產品可靠性指標的點估計和區間估計；結合算例分析，探討模型的穩健性與方法的優越性，表明該方法具有較好的工程應用價值。

可靠性評估；無失效數據；先驗分布；失效概率；期望Bayes

0 引 言

定時截尾試驗方案廣泛運用于產品可靠性鑒定、驗收試驗中，不僅可以有效驗證產品可靠性是否達到規定要求，而且可以有效縮減試驗時間和經費。隨著科學技術的快速發展，產品的質量與可靠性水平不斷提高，在定時截尾試驗中某型高可靠性水平的產品會出現無故障數據的情況，即無一試驗樣品失效，導致傳統處理有失效數據定時截尾試驗的統計方法不再適用。如何在無失效數據情況下對產品的可靠性指標進行科學合理的評估，受到了工程界和統計學者的廣泛重視與研究，對這類問題的研究具有重要的理論和實用價值［1］。

關于無失效數據的研究分為兩類：一類是傳統的解析計算法，有修正似然函數法、樣本空間排序法等；另一類是Bayes方法，包括Bayes估計法、多層Bayes估計法以及期望Bayes（expected-Bayesian，E-Bayes）估計法等。兩者之間的主要差別在于是否利用先驗信息。經典方法在處理無失效數據時不包含失效信息，其結果往往偏于保守；而Bayes方法充分利用了產品的各類先驗信息，提高了估計的精度。

近年來，針對Bayes方法處理無失效數據的研究［26］，主要集中于如何在處理產品先驗信息（如工程經驗、主觀信息）過程中保持客觀公正，減少主觀干擾。文獻［2］和文獻［3］分別采用經典的Bayes估計法、多層Bayes估計法與最小二乘法相集成的方法對無失效數據條件下的火箭發動機可靠性進行了評估，通過對比分析，發現前者估計誤差較大，而后者計算十分復雜，工程上不便應用。文獻［6］運用EBayes方法對液體火箭發動機進行了可靠性分析，并結合算例驗證了方法的可行性。另外，文獻［7- 13］針對可靠性試驗中其他分布（如二項分布、指數分布等）場合下對無失效數據進行評估分析。

因此，本文在文獻［6］的基礎上，提出E-Bayes法與加權最小二乘法相集成的方法對無失效數據的產品可靠性指標進行估計。第1節描述了無失效數據問題，給出了統計模型；第2節根據工程經驗分析和Bayes理論，構造出產品失效概率的Beta分布，求出失效概率的E-Bayes估計；第3節根據加權最小二乘法，擬合產品壽命服從威布爾分布的參數，從而求出產品平均壽命和可靠度的點估計和區間估計；第4節通過算例分析，探討了方法的穩健性和適用性，并與現有方法進行對比分析。

1 問題描述

設產品壽命T的分布函數為F（t，θ），θ∈Θ，Θ為參數空間，截尾時間分別為t1，t2，…，tk（0＜t1＜t2＜…＜tk），在ti（i＝1，2，…，k）處共試驗ni個樣品，假設參與試驗的樣本無一失效，可認為所用樣本壽命都大于截尾時間ti，則可稱該定時截尾試驗數據屬于無失效數據，記作（ti，ni）。

通過分析，可以得到以下試驗信息：

（1）產品壽命T服從分布函數F（t，θ），記為F（t）；

（2）產品在ti時刻的失效概率記為pi＝P（T≤ti），則p0＜p1＜…＜pk；

（3）t＝0時，產品的失效概率p0＝P（T≤0）＝0；

（4）記si＝ni＋ni＋1＋…＋nk表示在ti時刻有si個樣本還未失效，即有si個樣品的壽命大于ti。

因此，本文要解決的問題是如何利用上述定時截尾試驗中的無失效數據（ti，ni）信息對產品的可靠性指標進行科學評估。文獻［1］最早提出采用配分布曲線法，在定時截尾時間ti處獲得失效概率pi的估計＾pi，然后在壽命分布類型已知的情況下，利用＾pi給出壽命分布參數的最小二乘估計值，從而求出產品的可靠度估計值。在此基礎上，本文運用Bayes理論與方法，提出E-Bayes與加權最小二乘法相集成的可靠性估計方法。

2 失效概率估計

在確定失效概率pi的E-Bayes估計前，必須先確定其先驗分布。

2.1 先驗分布類型確定

根據工程經驗，由于各樣品獨立試驗且試驗結果只有正常和失效兩個可能結果，可推斷樣本總體服從二項分布，此時可選Beta分布作為失效概率pi的共軛先驗分布［14］。

若pi的先驗分布為Beta分布（參數為a和b），記為B（a，b），其密度函數為

由于π（pi／a，b）必須是pi的減函數，才能作為pi的先驗密度函數，對其求導得

當0＜a≤1，b＞1時，dπ（pi／a，b）／d pi＜0，此時π（pi／a，b）是pi的減函數。

2.2 失效概率E-Bayes估計

先驗分布中所含的未知參數稱為超參數，如何利用先驗信息來確定超參數是使用Bayes方法必須研究的問題。根據先驗信息，可假設pi的先驗分布中超參數服從均勻分布，以下分兩個超參數和一個超參數的情況，分別給出pi的E-Bayes估計的定義和估計［1516］。

（1）兩個超參數都為均勻分布的情況

超參數a和b的先驗分布服從均勻分布U（0，1）和U（1，c），其中c為大于1的常數（通常由專家結合歷史數據和經驗給出）。

是pi的Bayes估計對超參數a和b的數學期望。

定理1 對某產品進行k次定時截尾試驗，結果所用樣品無一失效，獲得的無失效數據為（ti，ni） ，記

若pi的先驗密度函數π（pi／a，b）由式（1）給出，在平方損失下pi的E-Bayes估計為

式中

（2）一個超參數為均勻分布的情況

當超參數a＝1時，pi先驗密度函數為式中，0＜pi＜1；超參數b的先驗分布服從均勻U（1，c），c為大于1的常數。

文獻［6］提出在先驗分布為Beta分布且a＝1時，b越大，其分布密度函數的尾部越細，Bayes估計模型的穩健性越差，因而c的取值不宜過大。

從上述定義可以看出，pi的E-Bayes估計

是pi的Bayes估計對超參數b的數學期望。

定理2 對產品進行k次定時截尾試驗，結果所用樣品無一失效，獲得數據為（ti，ni），記

若pi的先驗密度函數π（pi／b）由式（8）給出，在平方損失下，pi的E-Bayes估計為

3 可靠性指標估計

假設產品的壽命T服從威布爾分布，其分布函數表示為

式中，m表示形狀參數；η表示尺度參數（也稱特征壽命）。在工程實踐中，一般可知威布爾分布的形狀參數在1～10之間。

產品在t時刻的可靠度函數表示為

3.1 可靠性指標點估計

根據文獻［1］的最小二乘估計法，提出威布爾分布參數m和η的加權最小二乘估計為

式中

其中，wi為權重值。加權的方式多種多樣，常見的有兩種：一是簡單的試驗時間加權；二是試驗時間與對應的樣本量相融合的復合加權。文獻［6］的結論指出第二種加權方法得出的估計值誤差較小。因此，本文采用此結論，即按各試驗時間以及對應的試驗樣品數加權，表示為

根據上述表達式，可知產品的平均壽命θ的點估計為

產品在t時刻的可靠度R（t）的點估計為

3.2 可靠性指標區間估計

文獻［17- 18］研究產品在壽命服從威布爾分布且形狀參數已知的情況下，令θ＝ηm，l＝tm，則威布爾分布改寫為指數分布，即分布函數為

從而將威布爾分布轉化為指數分布來處理，給出了可靠度的單側置信下限。通過上文分析可知，威布爾分布參數可以通過加權最小二乘法求出?；诖耍疚慕o出產品服從威布爾分布的可靠性指標（平均壽命和可靠度）的雙側置信區間。

定理3［5］對壽命服從威布爾分布的產品進行k次定時截尾試驗，所用樣品無一失效，獲取的數據為（ti，ni）（i＝1，2，…，k），若形狀參數m已知，則有：

（1）平均壽命θ的置信水平為1－α的置信區間為

（2）可靠度R（t）的置信水平為1－α的置信區間為

可靠度雙側置信區間的長度用Δ＾R（t）表示，可靠度雙側置信區間的平均長度用Δ表示，則有

4 算例分析

假設某產品在其可靠性鑒定試驗中，樣本都沒有發現故障，數據經收集整理如表1所示［19］。依據工程實踐經驗，可認為產品壽命服從威布爾分布。

表1 某航空產品的無失效數據

假設產品先驗分布參數a＝1，b服從于均勻分布。依據工程經驗，取置信水平為0.9。首先，討論c取值的合理性，分別取c＝2，3，4，5，相關參數的計算結果如表2所示。在相同的置信水平下，Δ越短，估計誤差越小，c取值越優，則該方法的穩健性越好。從表2中可以看出，當c取2時，Δ的值最小，得出的結論比較合理，這與工程實踐做法相符。

然后，通過與現有方法（即經典Bayes法、多層Bayes法和無加權E-Bayes法）［3-4］對比分析可知，本文提出的EBayes可靠性指標估計的總體誤差最?。ㄒ姳?），充分說明了該方法的優越性。

最后，當c＝2時，產品在t時刻可靠度的點估計與區間估計結果見表4。

表2 在c取值不同情況下產品可靠度估計誤差

表3 當c=2時本文方法與現有方法的估計結果對比

表4 產品在t時刻可靠度的點估計與區間估計

5 結 論

在工程實踐活動中，工程技術人員對于產品可靠性經驗認識豐富，本文正是針對此類先驗信息，推斷樣本總體分布，并以Beta分布作為失效概率共軛先驗分布，給出了產品失效概率E-Bayes估計值；采用加權最小二乘法擬合產品威布爾分布參數；結合算例表明，對壽命服從威布爾分布的某航空產品在無失效數據條件下的可靠性指標進行評估是可行的。

與現有的經典Bayes、多層Bayes以及無加權E-Bayes方法相比，本文提出的加權最小二乘法結合E-Bayes可靠性評估方法，在加工經驗和主觀信息過程中，不僅充分利用了各類先驗信息，盡可能減少了主觀因素的干擾，而且計算過程清晰明了，給出的可靠性指標估計誤差較小，具有較好的工程應用價值。

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Method for evaluation of weight expected-Bayesian reliability based on zero-failure data

CAI Zhong-yi，CHEN Yun-xiang，XIANG Hua-chun，DONG Xiao-xiong（Equipment Management&Safety Engineering College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Aiming at the problem of product reliability evaluation in condition of zero-failure data，a method combining the weight-least-square method with expected-Bayesian（E-Bayes）reliability evaluation is put forward．According to the engineering experience，the prior distribution of product failure probability is constructed．Then the E-Bayes estimation of product failure probability is given by using the theory and method of Bayesian．In condition of Weibull distribution，the weight-least-square method is used to seek out the parameter of Weibull distribution，and obtain the reliability indexes’point and interval estimation．At last the robustness of the model and the superiority of the method are discussed by an example which shows the value of the method in engineering application．

reliability evaluation；zero-failure data；prior distribution；failure probability；expected-Bayesian（EBayes）

TB 114

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．35

蔡忠義（1988-），男，博士研究生，主要研究方向為裝備可靠性與系統工程。

E-mail：afeuczy＠163．com

陳云翔（1962-），男，教授，博士，主要研究方向為裝備管理與決策、裝備維修保障。

E-mail：cyx87793＠163．com

項華春（1980-），男，副教授，博士，主要研究方向為裝備可靠性與系統工程。

E-mail：646297491＠qq．com

董驍雄（1990-），男，碩士研究生，主要研究方向為裝備維修保障。

E-mail：zzz_699699＠126．com

1001-506X（2015）01-0219-05

網址：www．sys-ele．com

2013- 11- 01；

2014- 05- 19；網絡優先出版日期：2014- 07- 30。

網絡優先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140730．1050．003．html

總裝“十二五”國防預先研究項目資助課題