拉伸-剪切耦合層合板優化設計及其應用*

李謹，唐國金(國防科技大學航天科學與工程學院，湖南長沙410073)

拉伸-剪切耦合層合板優化設計及其應用*

李謹，唐國金
(國防科技大學航天科學與工程學院，湖南長沙410073)

針對標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板耦合效應弱的缺點，提出利用優化法的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的設計方法。推導了只具有拉伸-剪切耦合效應的層合板應滿足的條件。優化得到了7～14層的自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板。對比分析了自由與標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強度與穩定性。采用自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板設計了拉伸-扭轉耦合結構。研究表明:自由鋪層的拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強度以及穩定性要顯著弱于標準鋪層層合板，但具有更強的耦合效應；隨著層數的增加，自由鋪層的拉伸-剪切耦合層合板的最大耦合效應逐漸減小。

拉伸-剪切耦合效應；層合板；優化設計；屈曲強度；拉伸-扭轉耦合

圖1 拉伸-剪切耦合效應Fig.1 Extension-shear coupling

利用復合材料層合板(以下簡稱層合板)的耦合效應可以設計多種類型的耦合結構［1-4］。其中，具有拉伸-剪切耦合效應的層合板(如圖1所示)被廣泛用于各種拉伸-扭轉、彎曲-扭轉耦合結構的設計。Nixon［5］采用具有拉伸-剪切耦合效應的對稱均衡層合板，設計了具有拉伸-扭轉耦合效應的傾轉旋翼機槳葉；然而這種對稱均衡層合板不僅具有拉伸-剪切耦合效應，還具有顯著的彎曲-扭轉耦合效應，彎曲-扭轉耦合效應不但會顯著降低層合板的屈曲強度［6］，還會使結構的耦合行為變得復雜。Baker［7］采用對稱非均衡的拉伸-剪切耦合層合板，設計了具有彎曲-扭轉耦合效應的機翼結構；類似的，這種對稱非均衡的拉伸-剪切耦合層合板也具有顯著的彎曲-扭轉耦合效應。針對上述不足，York［8］設計了一種采用標準鋪層(鋪層角為±45°，0°，90°)的拉伸-剪切耦合非對稱層合板，這種類型的層合板只具有拉伸-剪切耦合效應而不具有其他耦合效應，從而避免了彎曲-扭轉耦合效應對層合板屈曲強度和結構耦合行為的不良影響；然而此種類型層合板的拉伸-剪切耦合效應較弱，制約了其在耦合結構中的應用。

1 拉伸-剪切耦合層合板設計

基于經典層合板理論，層合板的剛度方程可寫為

式中，Nx，Ny，Nxy與Mx，My，Mxy分別為層合板單位寬度的內力以及內力矩，εx，εy，γxy為層合板中面應變，κx，κy，κxy為層合板中面彎曲曲率和扭曲率。Aij，Bij，Dij分別為拉伸剛度系數、耦合剛度系數和彎曲剛度系數。層合板的剛度系數可用兩組相互獨立的參數表示:僅與單層板材料屬性相關的材料常數(Ui)和僅與鋪層規律相關的幾何因子(ξi)［10］。如式(2)～(4)所示。

其中，幾何因子與材料常數的表達式如式(5)～ Qij為單層板材料主方向上的剛度系數，θk為第k層單層板的鋪層角，zk為第k層單層板到中面的距離(中面以上為負，中面以下為正)，H為層合板厚度。

根據定義，拉伸-剪切耦合層合板的剛度系數應滿足:拉伸剛度矩陣A中的所有元素都不為零，耦合剛度矩陣B等于零，彎曲剛度矩陣D中的彎曲-扭轉耦合項(D16，D26)等于零。即拉伸-剪切耦合層合板的剛度方程應滿足

依據式(2)～(4)，可以得到拉伸-剪切耦合層合板的鋪層規律應滿足的充要條件為

根據式(5)幾何因子的定義，式(9)可以表示為

理論上，求解式(10)所列的由6個方程組成的方程組就可以得到拉伸-剪切耦合層合板的鋪層規律。但這要求方程組中未知量(即每一層單層板的鋪層角度)的個數必須不超過6個，否則方程難以求解。顯然，在實際設計過程中難以通過直接求解方程的方法來得到滿足設計要求的拉伸-剪切耦合層合板。

考慮到自由鋪層層合板的鋪層角度是區間(-90°，90°］上的連續變量，引入優化設計的方法來求解拉伸-剪切耦合層合板的鋪層規律。以層合板每一層的鋪層角度作為優化設計變量，以拉伸-剪切耦合效應最大作為優化目標，以式(9)所示的拉伸-剪切耦合層合板應滿足的條件作為優化約束條件，將層合板的鋪層設計問題轉化為帶約束的優化設計問題。層合板的拉伸-剪切耦合效應最大可等效為其拉伸-剪切耦合柔度系數最大。故此優化問題可表示為

其中，a16為層合板的拉伸-剪切耦合柔度系數，可以由式(12)求得。需要說明的是，在此優化過程中僅以層合板的耦合效應為優化目標，但在實際結構設計時還應根據需要引入其他設計指標，例如屈曲強度、剛度等，以確保得到的鋪層規律滿足結構設計要求。

為了減少優化變量，將優化對象限定為對稱層合板。采用序列二次規劃法求解此優化問題。序列二次規劃法是一種依賴于目標梯度的優化算法，而作為優化目標的拉伸-剪切耦合柔度系數并不是一個單峰函數。為了避免優化得到的僅是局部最優解，采用隨機生成初值進行多次優化，再從多次優化的結果中選取最優解的方法來確保最終得到的優化結果是全局最優解。求解過程中選用的單層板材料參數見表1。

表1 材料參數Tab.1 Material properties

表2給出了優化得到的7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板的鋪層規律。考慮到實際工藝的精度，將表2中所列鋪層的鋪層角圓整到小數點后1位，圓整的結果見表3。需要說明的是，由于對優化得到的精確結果進行了圓整處理，表3中的部分鋪層規律并不能嚴格滿足拉伸-剪切耦合層合板的條件。從表3中可以看出，隨著層數的增加，自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的最大拉伸-剪切耦合效應在逐漸減小。這是由于隨著層合板的厚度增加，層合板的剪切剛度也在逐漸增大。

表2 自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板Tab.2 Free-form laminates with extension-shear coupling

表3 圓整后的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板Tab.3 Rounding free-form laminates with extension-shear coupling

文獻［8］得到了4種14層的標準鋪層拉伸-剪切耦合非對稱層合板，見表4。計算發現，表4中編號1，2和編號3，4的標準鋪層層合板分別具有相同的剛度系數，分別將其命名為S1和S2。對比表3與表4可以發現，自由鋪層層合板的拉伸-剪切耦合效應要顯著強于標準鋪層層合板。

表4 標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板Tab.4 Standard-form laminateswith extension-shear coupling

2 屈曲強度分析

為了對比自由與標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強度，選取表3中的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板與表4中的標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板進行分析。

考慮均布單向平面壓力下的簡支矩形層合板，如圖2所示，其四邊簡支，沿x方向受到均勻平面力的作用。

圖2 均布單向平面壓力下的簡支矩形層合板Fig.2 Simply supported laminated rectangular plate under uniform uniaxial in-plane compression

拉伸-剪切耦合層合板的屈曲方程［9］可表示為

但是，式(16)中的彎曲剛度系數D22會隨著鋪層角度的變化而變化，這會影響不同層合板的屈曲強度的對比結果。因此引入和鋪層角無關的等效彎曲剛度DIso［11］代替D22，則式(16)可以表示為

圖3給出了標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板與7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷隨板長寬比的變化曲線。由于7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷曲線區別很小，所以圖3中只標示出其上、下邊界。從圖3中可以看出:自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強度要顯著弱于標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板的；7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板中，11層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷最大，9層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷最小。

圖3 拉伸-剪切耦合層合板屈曲載荷Fig.3 Buckling load for laminateswith extension-shear coupling

3 穩定性分析

由于拉伸-剪切耦合層合板的耦合剛度矩陣B等于零，所以不論采用對稱鋪層還是非對稱鋪層，理論上其在固化時均不會因為溫/濕度變化而產生翹曲變形。然而實際鋪層角與理論設計值之間不可避免地會存在偏差，從而會導致拉伸-剪切耦合層合板發生固化翹曲變形。為了確保設計出的拉伸-剪切耦合層合板具有實用性，實際鋪層角與理論設計值間的細微偏差不應導致層合板發生顯著的固化翹曲變形。為此下面采用Monte Carlo法分析鋪層角度存在偏差時拉伸-剪切耦合層合板的固化翹曲變形。利用Monte Carlo法分析層合板穩定性的途徑可歸納為三個基本步驟:

1)隨機參數抽樣，根據隨機參數的已知概率分布進行隨機抽樣；

2)層合板響應求解，針對每個抽取樣本，基于經典層合板理論求解層合板的響應(如溫度改變時層合板的翹曲變形等)；

3)響應量的統計分布。

分別選取表3中14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板和表4中14層標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板為例進行對比分析。

為了直觀描述層合板固化翹曲變形的程度，采用文獻［10］提出的方法，用溫度變化引起的層合板撓度變化表征層合板的固化翹曲變形的程度。設某矩形層合板的長度與寬度分別為a，b，建立如圖4所示的坐標系。層合板在(0，0)、(a，0)、(0，b)三個角點處簡支，在角點(a，b)處自由。當溫度變化時，層合板上任一點的撓度可表示為

圖4 矩形層合板的熱撓度Fig.4 Deflection of a rectangular laminate

則溫度變化引起的層合板自由角點處的撓度可表示為

用層合板的厚度H對撓度進行無量綱化處理，可以得到

采用式(22)計算溫度改變時層合板自由角點處的撓度。計算過程中選取典型高溫固化過程的溫度改變量ΔΤ=-180℃［11］。假定實際鋪層角與理論設計值之間的偏差隨機分布在區間［-1°，1°］上，每次抽取10 000組偏差樣本進行分析。

圖5與圖6分別給出了溫差為-180℃時，14層自由和標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板的撓度等距頻率直方圖。由圖5、圖6可以得出如下結論:鋪層角存在偏差時，14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的熱撓度分布在區間［-1.6H，1.6H］上；鋪層角存在偏差時，14層標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板的熱撓度分布在區間［-0.4H，0.4H］上；相比于自由鋪層，存在鋪層偏差的標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板產生的熱撓度更小，即標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板具有更好的濕熱翹曲變形穩定性。

圖5 14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板存在鋪層角度偏差時的熱撓度等距頻率直方圖Fig.5 Histograms of thermal deflection because of layup errors for 14-ply free-form extension-shear coupled laminate

圖6 14層標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板存在鋪層角度偏差時的熱撓度等距頻率直方圖Fig.6 Histograms of thermal deflection because of layup errors for14-ply standard-form extension-shear coupled laminate

4 拉伸-扭轉耦合結構設計

拉伸-剪切耦合層合板可以用于多種耦合結構的設計，例如拉伸-扭轉耦合傾轉旋翼機槳葉［5］、拉伸-扭轉耦合自適應風力發電機葉片［3］等。下面采用本文得到的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板設計拉伸-扭轉耦合結構，并運用有限元法對懸臂梁的耦合效應進行驗證。

不論是風機葉片還是傾轉旋翼機槳葉，都可以將其簡化為盒形懸臂梁模型。將得到的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板布置為懸臂梁的上面板，懸臂梁下面板的鋪層角與上面板的互為相反數，這樣就可以確保上、下面板在方向相同的軸向力的作用下產生方向相反的剪切變形。左、右腹板為各向同性材料。當懸臂梁受到軸向力作用時，上、下面板發生方向相反的剪切變形，如圖7所示，進而引起整個梁的扭轉變形，如圖8所示。

圖7 上下面板變形Fig.7 Deformation of the top and bottom skins

圖8 拉伸-扭轉耦合變形Fig.8 Extension-twist coupled deformation

采用有限元法對上述盒型懸臂梁的拉伸-扭轉耦合效應進行數值仿真。采用四節點殼單元建立盒型懸臂梁有限元模型，梁長3m，矩形截面尺寸為0.3m×0.13m，如圖9所示。將表3中7層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板布置為懸臂梁的上面板，懸臂梁下面板的鋪層角與上面板的互為相反數。懸臂梁一端固支，自由端施加5kN的軸向拉力。仿真過程選用表1所示的單層板材料參數。

圖10給出了懸臂梁在自由端軸向拉力作用下的位移云圖。從圖10中可以看出，在軸向拉力作用下，盒型梁發生了顯著的扭轉變形，梁的自由端轉角約為0.21°，從而驗證了結構的拉伸-扭轉耦合效應。

圖9 盒型懸臂梁有限元模型Fig.9 Finite elementmodel of a cantilever box-beam

圖10 盒型懸臂梁拉力作用下的變形示意圖Fig.10 Deformation of a cantilever box-beam relating an applied axial force

5 結論

1)存在自由鋪層的拉伸-剪切耦合對稱層合板，其最大拉伸-剪切耦合效應要顯著強于標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板。

2)自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的最大拉伸-剪切耦合效應隨著層數的增加逐漸減小。

3)通過最優化耦合效應得到的自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板的屈曲強度與穩定性要顯著弱于標準鋪層拉伸-剪切耦合層合板。因此實際應用中應根據需要引入其他設計指標，例如屈曲強度、剛度等，以確保得到的鋪層滿足結構設計要求。

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Optim ization design of extension-shear coup led lam inates and application in extension-tw ist coup led structure

LIJin，TANG Guojin
(College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

Focusing on the deficiencies of standard-form laminate with extension-shear coupling，such as weak extension-shear coupling，the design method for free-form laminatewith extension-shear coupling using themethod of optimization design was proposed.Necessary and sufficient material-independent conditions were derived for extension-shear coupled laminates.The stacking sequences of 7-ply to 14-ply free-form laminates with extension-shear couplingwere derived.Comparisonsweremade on buckling strength and robustness of extension-shear coupled laminates.The free-form laminate with extension-shear coupling was used to design structure with extension-twist coupling.Compared to the standard-form laminate，the free-form laminate with extension-shear coupling is worse in buckling strength and robustness，while it’s stronger in coupling.The results also indicate that with an increase in the number of plies，the maximum extension-shear coupling flexibility coefficient of the free-form laminate decreases.

extension-shear coupling；laminate；optimization design；buckling strength；extension-twist coupling

TB330.1

A

1001-2486(2015)05-121-07

10.11887/j.cn.201505019

http://journal.nudt.edu.cn

2014-11-25

國家自然科學基金資助項目(11472003)

李謹(1986—)，男，江蘇連云港人，博士研究生，E-mail:lijin@nudt.edu.cn；唐國金(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail:tanggj@nudt.edu.cn