帶Navier邊值條件的(p(x),q(x))-雙調和問題的多解性

繆 清

(云南民族大學 數學與計算機科學學院，云南 昆明 650500)

帶Navier邊值條件的(p(x),q(x))-雙調和問題的多解性

繆 清

(云南民族大學 數學與計算機科學學院，云南 昆明 650500)

研究了一類帶Navier 邊值條件的(p(x),q(x))雙調和問題的存在性和多解性，利用Ricceri’s三臨界點定理，得到問題至少存在3個弱解.

雙調和; Ricceri’s臨界點定理; 廣義Lebesgue-Sobolev空間

(1)

(2)

(3)

函數G(x,t,s),ep(x),eq(x)滿足以下條件：

(G):G:Ω×R×R→R為Ω上的可測函數，在R×R上是C1連續的且滿足

近年來，雙調和問題的解的存在性和多解性引起了許多學者的興趣[1-4]. 由于p(x)-雙調和算子是非齊次的，因此很多適用于p-雙調和算子的方法則不能直接應用于p(x)-雙調和算子.文獻[1]中，作者利用Ricceri’s三臨界點定理，推廣了文獻[3]的結果，研究了p(x)-雙調和問題多解的存在性.文獻[2]中，作者利用了等價的Ricceri’s三臨界點定理，推廣了文獻[4]的結果，研究了不同條件下帶Navier邊值條件的(p(x),q(x))-雙調和問題的多解性. 本文主要利用Ricceri’s三臨界點定理研究問題(1)的多解性. 首先給出Ricceri’s三臨界點定理.

定理1[5]令X是自反的Banach空間,Φ:X→R是連續的Gateaux 微分算子且序列弱下半連續的C1函數, 在X的任意有界子集上，存在著連續的逆算子.Ψ:X→R是C1連續的且具有緊的Gateaux 微分算子. 假設

(b)Φ(u0)

則存在開區間Λ?[0,+∞),ρ為正實數,C1連續函數J:X→R是緊的Gateaux 微分算子,使得?λ∈Λ,存在δ>0,?μ∈[0,δ], 在X中問題Φ′(x)+λΨ′(x)+μJ′(x)=0至少存在3個解并且范數不超過ρ.

1 p(x)-雙調和算子在空間 Lp(x)(Ω),Wm,p(x)(Ω)中的重要性質

為了討論問題 (1), 需要用到關于空間Lp(x)(Ω),Wm,p(x)(Ω)的一些性質. 記

當空間Lp(x)(Ω)空間賦如下范數時,

由文獻[6]可知Lp(x)(Ω),Wm,p(x)(Ω) 是可分的自反的Banach 空間.

賦予范數

由文獻[6]定理1.3，有不等式成立：

(4)

(5)

(6)

(7)

2 主要結果

引理1[2]令Φ:X→X*為

其中u,ν,φ,ψ∈X.

證明 令

則Ψ,J都是Gateaux可微的并且滿足

則Ψ′為緊算子. 接下來依次驗證滿足定理1的3個條件.

令

因為α(x)>0，則有lim|(u,ν)|→∞H(x,u,ν)=+∞.選取δ>1,?u,ν>δ使得H(x,u,ν)>0，因而

H(x,u,ν)≥0=H(x,0,0)≥H(x,t1,s1),?u,ν>δ,t1,s1∈(0,1).

因而可得

(8)

由(4)式和(5)式可知

結合(8)式可得

即定理1的條件(c)成立.

由γ1,γ2滿足定理1條件(b)，函數J(u,ν)滿足定理1的條件，由定理1可知，問題(1)至少存在3個弱解，定理2得證.

[1] YIN H, YANG Z.Three solutions for a Navier Boundary value system involving the(p(x);q(x))-Biharmonic operator [J]. British Journal of Mathematics and Computer Science, 2013, 3(3)：281-290.

[2] YIN H, XU M. Existence of three solutions for a Navier boundary value problem involving thep(x)-biharmonic operator[C]//Annales Polonici Mathematici. Sniadeckich 8, Po Box 21, 00-956 Warsaw 10, Poland：Polish Acad Sciences Inst Mathematics, 2013, 109(1)：47-58.

[3] LI C, TANG C L. Three solutions for a Navier boundary value problem involving the p-biharmonic[J]. Nonlinear Analysis：Theory, Methods & Applications, 2010, 72(3)：1339-1347.

[4] LI L, TANG C L. Existence of three solutions for (p, q)-biharmonic systems[J]. Nonlinear Analysis：Theory, Methods & Applications, 2010, 73(3)：796-805.

[5] RICCERI B.A three critical points theorem revisited[J].Nonlinear Anal,2009,70：3084-3089.

[6] FAN X, ZHAO D.On the spaces and [J] . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001, 263(2)：424-446.

[7] ZANG A, FU Y. Interpolation inequalities for derivatives in variable exponent Lebesgue-Sobolev spaces[J]. Nonlinear Analysis：Theory, Methods & Applications, 2008, 69(10)：3629-3636.

(責任編輯 梁志茂)

Multiplicity results of(p(x),q(x))biharmonicoperator with Navier boundary conditions

MIAO Qing

(School of Mathematics and Computer Science,Yunnan Minzu University,Kunming 650500,China)

This paper proves the existence of at least three solutions to a Navier boundary problem involving the(p(x),q(x))biharmonic operator.The main results are new.The technical approach is mainly based on a three critical points theorem of B.Ricceri.

(p(x),q(x))biharmonic;Ricceri′s critical points theorem;generalized Lebesgue-Sobolev spaces

2014-10-01.

國家自然科學基金(11461083，11361076)；云南省自然科學基金(2013FD031).

繆清(1984-)，女，博士，講師. 主要研究方向：偏微分方程及應用.

O175.6

A

1672-8513(2015)04-0285-05