求解常微分方程組初值問題的函數(shù)逼近法

常麗娜，秦 楠

(長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011)

求解常微分方程組初值問題的函數(shù)逼近法

常麗娜，秦 楠

(長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011)

提出了求解一階常微分方程組初值問題的一種新的數(shù)值方法——函數(shù)逼近法，并給出了數(shù)值試驗(yàn)，以具體實(shí)例驗(yàn)證該方法有效.

常微分方程組；函數(shù)逼近法；數(shù)值方法；初值問題

常微分方程是解決工程實(shí)例的常用工具，其數(shù)學(xué)模型常用來描述客觀現(xiàn)實(shí)世界的運(yùn)動(dòng)過程.然而在科學(xué)和工程問題中，遇到的常微分方程往往很復(fù)雜，尤其是常微分方程組，在許多情況下都不能求出解的表達(dá)式.另一方面，在許多實(shí)際問題中，并不需要方程解的表達(dá)式，而僅僅需要獲得解在若干點(diǎn)的近似值即可.因此，研究常微分方程組的數(shù)值解法就很有必要.對(duì)于常微分方程組比較有效且常用的數(shù)值方法主要有Euler法、Runge-Kutta法等[1-2]，但是為取得較高的精度同時(shí)又兼顧解的穩(wěn)定性，采用一般的數(shù)值方法會(huì)使得計(jì)算時(shí)間過長.

文獻(xiàn)[3]中提出用函數(shù)逼近法求解一階常微分方程初值問題的數(shù)值方法,文獻(xiàn)[4]中提出利用exp(z)的多個(gè)代數(shù)函數(shù)逼近式來構(gòu)造常微分方程初值問題及某些偏微分方程定解問題的若干線性與非線性差分格式.本文利用函數(shù)逼近的思想，提出了利用多項(xiàng)式函數(shù)逼近來求解一階常微分方程組初值問題，給出了數(shù)值試驗(yàn)，并與歐拉法進(jìn)行了精確度比較，以具體實(shí)例說明該方法精確度較高.

1 求解一階常微分方程組的逼近算法

考慮如下一階常微分方程組的初值問題，

(1)

將(1)向量化，記

則微分方程組(1)的向量形式為

(2)

假設(shè)條件如下：

為了簡單起見，只就區(qū)間t0≤t≤t0+h進(jìn)行討論，對(duì)于t0-h≤t≤t0的討論完全一樣.

定理1[6](Weierstrass定理)設(shè)f(x)∈C[a,b]，則對(duì)任何ε>0，總存在一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式p(x)，使

在[a,b]上一致成立.

定理1說明C[a,b]上的函數(shù)均可用有限維的p(x)∈Hm逼近，其中Hm表示多項(xiàng)式空間.

若選一組基φm+1=(1,t,t2,…,tm)，設(shè)

pk(t)=ak0+ak1t+ak2t2+ak3t3+…+akmtm,t0≤t≤t0+h，k=1,2,…,n.

則

將區(qū)間[t0,t0+h]平均分成m段，各點(diǎn)分別記做t0,t1,t2,…,tm，其中tm=t0+h.

(3)

這樣就把一階常微分方程組的初值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)逼近問題.

(4)

若f(t;Y)只是關(guān)于t的函數(shù)，則(4)就是一個(gè)線性最小二乘擬合問題，解下面n個(gè)方程(5)，求出ak0,ak1,ak2,…,akm，即可得到pk(t)(k=1,2,…,n).

(5)

若f(t;Y)不只是關(guān)于t的函數(shù)，則式(4)就是非線性最小二乘擬合問題.首先，根據(jù)初值條件求出ak0，然后利用求函數(shù)極值的方法可解出ak1,ak2,ak3,…,akm，即可得到pk(t)(k=1,2,…,n).這樣就利用函數(shù)逼近法求出了一階常微分方程組的近似解.

2 數(shù)值試驗(yàn)

2.1 應(yīng)用實(shí)例

考慮方程組

解：該問題即為求解方程組

現(xiàn)利用函數(shù)逼近法來求方程組的近似解，設(shè)P(t)=(p1(t),p2(t))T為方程組的近似解.

先考慮區(qū)間[0,0.2]上的近似解，取φ4={1,t,t2,t3}，設(shè)

pk(t)=ak0+ak1t+ak2t2+ak3t3,t∈[0,0.2],k=1,2.

則

pk′(t)=ak1+2ak2t+3ak3t2,t∈[0,0.2],k=1,2.

利用初始條件y1(0)=0,y2(0)=1，而p1(t),p2(t)作為y1(t),y2(t)的逼近函數(shù)，所以p1(0)=0,p2(0)=1，可得a10=0,a20=1.

函數(shù)Δ1的自變量為a11,a12,a13,a21,a22,a23，函數(shù)Δ2的自變量為a21,a22,a23，利用函數(shù)求極值的方法并借助Maple軟件可求得a11,a12,a13,a21,a22,a23，分別為a11=1，a12=0.992 429 297 0,a13=0.572 568 456 3,a21=1,a22=0.498 154 981 5,a23=0.184 501 845 0，a13=0.572 568 456 3，a21=1，a22=0.498 154 981 5，a23=0.184 501 845 0.這樣就求出了P(t)=(p1(t),p2(t))T，得到了對(duì)應(yīng)的近似值.

再把t2作為初始值，求出區(qū)間[0.2,0.4]的近似值，同樣方法可求出區(qū)間[0.4,0.6]上的近似值Y(i)，計(jì)算結(jié)果見表1.

2.2 精確度比較

一階微分方程組常見的數(shù)值解法有歐拉法、龍格-庫塔法等解法，本文采用歐拉法求此例的數(shù)值解，并與函數(shù)逼近法得到的數(shù)值解進(jìn)行比較.

一階微分方程組(1)的歐拉公式為

yk,i+1=yk,i+hfk(ti;y1,i,y2,i,…,yn,i),k=1,2,…,n

將上述例子采用歐拉法來求解，歐拉公式的具體形式為

取步長h=0.1，利用歐拉法得到的近似解用Yi表示，結(jié)果見表1.為方便比較，表1中還列出了精確解在各點(diǎn)ti處的值Y(ti)，以及利用函數(shù)逼近法與歐拉法分別得到的近似解與精確解在各點(diǎn)處的誤差Y(ti)-Y(i)與Y(ti)-Yi.

由表1可見函數(shù)逼近法的精度是較高的，通過比較，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)逼近法較歐拉法精度更高，誤差更小.

表1 函數(shù)逼近法與歐拉法的數(shù)值結(jié)果及誤差比較

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(責(zé)任編輯 梁志茂)

Function-approaching method for solving initial value problems of ordinary differential equations

CHANG Li-na,QIN Nan

(Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi 046011,China)

A new numerical method is proposed to solve the ordinary differential equations,that is, a function-approaching method,and a numerical experiment is carried out to verify the validity of the method.

ordinary differential equations; function-approaching method；numerical method；initial value problem

2014-11-05.

長治學(xué)院科學(xué)研究基金(201413).

常麗娜(1985-)，女，碩士，助教.主要研究方向：博弈論.

O175.1

A

1672-8513(2015)04-0290-04