創意平板折疊桌的數學原理及其應用

盧 鵬，李 濤，張興元，徐昌貴

(1.西南交通大學峨眉校區 基礎課部 四川 峨眉 614202；2.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室 四川 成都 610031)

創意平板折疊桌的數學原理及其應用

盧 鵬1，李 濤2，張興元1，徐昌貴1

(1.西南交通大學峨眉校區 基礎課部 四川 峨眉 614202；2.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室 四川 成都 610031)

采用連續和離散的方式，建立了以直紋曲面方程的連續型變化模型和以幾何知識切入的離散化動態模型，通過交線投影的方法，利用幾何關系對開槽長度和桌腳邊緣線進行數學描述，并對2種方法的結果進行了分析.

創意折疊桌；直紋曲面；動態變化；連續與離散

桌子是人們日常生活的必需品，隨著社會經濟的迅速發展，人們生活水平日益提高，如今對桌子的需求不僅停留在功能上能盛放物品，更注重于其外形美觀性設計以及使用、存放方便性.目前有公司生產一種桌面呈圓形的可折疊桌子[1]，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板.桌腿由若干根木條組成，分成2組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度.這種木桌外形由直紋曲面構成，其獨特造型以及其外形設計很受人們喜愛,如圖1所示.

因此研究折疊桌展開的動態變化過程對其美觀設計很有必要.本文通過分析折疊桌的數學原理，研究了在給定長方形平板長、寬、厚、以及展開后桌面高度一定的情況下，折疊桌的動態變化過程描述，以及在此基礎上給出此折疊桌的桌腿木條開槽長度設計加工參數和桌腳邊緣線的數學描述，并進一步分析連續型和離散型變化過程，以及兩種研究的誤差.最后通過三維軟件SolidWorks[2-4]對給出的木板參數進行實物仿真.

1 問題分析

1.1 對直紋曲面的分析

1) 直紋曲面：由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面，這些直線稱為直紋面的直母線，如果曲面方程為r=a(u)+vb(u)，其中b(u)為單位向量，則稱此曲面為直紋面[5].

r=a(u)+vb(u).

其中：v線是直紋面的直母線，u線是與導線C平行的曲線.

1.2 對本文問題的分析

桌子外形由直紋曲面構成.首先，認為每根木條厚度足夠薄，利用直紋曲面方程可以求出理想化桌子外形的直紋曲面參數方程.其次，利用桌腿最外側木條與地面的夾角變化以及其高度限制，每根木條開槽長度方程，以及描述桌腳邊緣線方程，從而描述出此折疊桌面的動態變化過程.最后，再對連續化的直紋曲面方程離散化[9]，表述出實際折疊桌每根木條的動態變化過程以及桌腳邊緣線、開槽長度.

2 連續性模型的建立

2.1 直紋曲面動態變化模型建立

桌子折疊后以桌面為基準面，桌面中心為坐標中心，木板長度方向為x軸，寬度方向為y軸，垂直于桌面為z軸，建立如圖4所示空間直角坐標系.

由題意可知，桌腿形成的曲面為直紋面，在直紋面上取一條與所有直母線都相交的曲線作為直紋面的導線，桌子外形直紋面的參數方程為：

其中：r(u,v)表示直紋面上點的坐標；

OP表示直紋面導線上點的坐標；

v表示直紋面上的直母線；

當木桌折疊過程中，設木板最外邊緣與地面的夾角為θ，如圖5所示.由幾何關系得A(Icosθ,R,-lsinθ)、B(Icosθ,R,-lsinθ).

通過對向量OP分解可求OP=OB+BP=OB+u·BP0，

帶入OB、BP0，求得：

其中：u表示BP向量的長度；BP0表示向量BP的單位向量.

則P點坐標為(lcosθ,-R+u,-lsinθ)，而平面OPQ方程可表示為：

由于Q點滿足在圓桌表面，因此可以引入以下約束條件：

化簡得，木桌直紋面參數方程模型為：

2.2 桌腳邊緣線動態變化模型建立

對桌腳邊緣線描述，即是求解桌腳邊緣線坐標的表示，過QP交桌腿邊緣線與點，設其坐標，如圖4所示.

由于QP//QF，可求得直線的標準式方程為：

由上式解得：

代入上式，得出桌角邊緣線的參數方程模型為：

2.3 桌腿木條開槽長度的數學模型建立

代入前面F點的坐標，化簡可得：

3 離散性模型的建立

實際中連續性桌腿不可能進行加工，必須把桌腿進行離散化處理.某公司以長方形木板寬為直徑截取圓作為桌面[1]，將剩余面積切割成等寬的木條，如圖6所示.

若給定木板尺寸為120cm×50cm×3cm，木條寬度2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，將木板離散為寬2.5cm的20根木條，直接截出最外桌面長度達21.8cm，是不美觀的，如圖7所示，可通過將圓放大或縮小2種方法處理.本文采用縮小圓直徑的方法.

假設圓距最外側木板邊緣距離為，則邊緣鋸齒高度為，桌腿最外側木條長度為任意2木條間長度差為，可得：

3.1 腳角邊緣線離散點模型建立

以鋼筋所在直線為軸，水平面上垂直于鋼筋的直線為軸，豎直直線為軸，鋼筋與最外側桌腿鉸接點為原點，建立如圖9所示的空間直角坐標系.將每根桌腿中心視為在軸上做平移加旋轉的直線.完全展開后，以最外側桌腿所在位置為初始位置，夾角為θ0.之后依次以間距2.5cm沿軸發生平移、旋轉.若直線與水平面夾角為θi，由前面知木條長度為2l，對于該桌腿坐標為：M(x,2lncosθi,2lnsinθi).第i根木條與水平面夾角為：

桌腿展開后的離散點方程為：

3.2 開槽長度計算模型建立

取任意一根木條與最外側木條投影至垂直于鋼筋的平面上，得到如圖10所示.

桌腿與桌面連接位置到鋼筋距離為s1，由幾何關系求得

而s2為木板展開時，鋼筋到桌腿另一端距離，根據題意，此值恒定為：s2=0.5l0.

根據以上分析可得s1，s2重合部分即為滑槽長度s，則第n根木條的滑槽長度滿足：

4 模型的求解

若給定木板尺寸為120cm×50cm×3cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm,運用Matlab軟件求解出連續性結果[10-12]，為了得到離散型(實際)結果，把木板離散為等寬的20根木條[13-15]，運用三維軟件SolidWorks對給出的木板參數進行實物仿真.

1) 連續與離散不同角度直紋曲面對比動態變化圖,如圖11.圖中可以看出，從整體外觀上來講，不同角度下連續與離散變化不大.

2) 連續與離散不同角度桌腳邊緣線對比動態變化圖.如圖12,從左到右，分別是角度為15°,30°,45°,60°的情況，圖中可以看出，2種情況不同角度下的桌腳邊緣線最大誤差接近4cm，經分析產生此誤差的原因在于存在圓桌邊緣鋸齒高度h0及桌面圓縮小，使鋼筋位置發生變化，從而造成桌腳邊緣線誤差.

3) 連續與離散桌腿木條開槽長度.由于同側和對側木桌具有對稱性，所以總共40根木條只需要計算出一側的10根木條的開槽長度，從外到內計算，如表1所示.

表1 各木條開槽長度表 cm

5 結語

本文通過直紋曲面參數方程解釋了平板折疊桌的形成原理，同時將其進行離散化處理，得出實際桌面展開過程.建立了桌腿木桌腳邊緣線、開槽長度的計算模型.從桌腿木桌腳邊緣線動態變化圖以及開槽長度可以看出，連續與離散有一定差距.當最終高度一定時由于圓桌邊緣鋸齒高度h0存在及桌面圓縮小使得最外側桌腿坐標點在水平方向上有一定位移，同時鋼筋位置也會發生變化，從而造成桌腳邊緣線以及開槽長度的誤差.

在離散情況下通過減小桌腿木條寬度從而減小圓桌邊緣鋸齒高度，或在連續情況下使木板最外側與圓桌面內接從而增大桌邊緣鋸齒高度.在這2種情況下，可以減小連續型模型與離散型模型的桌角邊緣線以及開槽長度間的差別.

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(責任編輯 梁志茂)

Mathematical principles and applications of the creative flat folding table

LU Peng1,LI Tao2,ZHANG Xin-yuan1,XU Chang-gui1

(1.Emei Campus,Southwest Jiaotong University,Emei 614202,China; 2.State Key Laboratory of Traction Power,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

This paper adopts the continuous and discrete approach,and establishes the continuous change model of ruled surface equation and the discrete dynamic model with geometrical knowledge. Lengths of the socket slot and edges of table legs are used for describing quantitatively by the geometrical relationship through the method of the projection of intersection curve. Meanwhile, it analyzes the results of the two methods.

creative flat folding table;ruled surface equation;dynamic change;continuous and discrete

2015-01-23.

國家自然科學基金(61203175).

盧鵬(1983-)，男，碩士，講師.主要研究方向：數學建模與粗糙集.

O29

A

1672-8513(2015)04-0294-06