帶有反應擴散項的食餌-捕食系統的Hopf分支

張建強，張 旻，邵瑞鋒

(蘭州交通大學 數理與軟件工程學院，蘭州 730070)

帶有反應擴散項的食餌-捕食系統的Hopf分支

張建強，張 旻，邵瑞鋒

(蘭州交通大學 數理與軟件工程學院，蘭州 730070)

研究了帶有反應擴散項和比率依賴功能反應函數的Holling-Tanner食餌-捕食系統的Hopf分支, 分支方向以及分支周期解的穩定性.

比率依賴功能反應函數；Holling-Tanner食餌-捕食系統；Hopf分支

在文獻[1]中，May提出了Holling-Tanner食餌-捕食系統.就生態學來講，該系統可以用來描述麻雀和食雀鷹等生態系統中種群間的相互作用[2-3]，因此受到了廣泛的關注.

Holliing-Tanner 食餌-捕食系統如下：

(1)

其中,U(x,t)和 V(x,t) 分別代表食餌和捕食者在t時刻的種群密度；R和H分別代表內稟增長率；K為食餌的最大環境容納量；U/C為捕食者依賴于食物的容納量；1/C可以表示食餌轉化為捕食者食物的轉化率 M代表單位時間內單位捕食者消耗食餌的最大數量；D代表1/C達到一半時對應于食餌的飽和率.

Holliing-Tanner食餌-捕食系統具有豐富的動力學行為，比如正常數平衡解的全局穩定性，周期解，穩定的極限環，半穩定的極限環等[2-3].在大多數情況下，當食餌捕食理論建立在所謂的比率依賴理論上時更符合實際情況.比率依賴系統如下

(2)

還有一種情況我們應當考慮，如果種群在空間上是非均勻分布的，且棲息在固定的有界區域Ω∈Rn，我們就可以得到以下反應擴散系統

(3)

其中Δ表示Laplace算子；D1,D2分別表示食餌和捕食者的反應擴散系數； 邊界條件為齊次Neumann邊界條件，這說明系統 (3) 是自封閉的，食餌和捕食者都離不開棲息地.對于帶有反應擴散項的Holliing-Tanner食餌-捕食系統已有很多的研究，例如它的全局穩定性,Hopf分支，穩態分支等[7-8].對于帶有反應擴散項和比率依賴功能反應函數的食餌-捕食系統也有很多的研究，例如全局穩定性以及局部穩定性等.

本文主要利用文獻[4]中的方法，在定義的Sobolev空間中將無窮維算子的特征值問題轉化為可列個矩陣的特征值問題，通過分析線性化算子的特征值，以及中心流行和規范型理論.得到了系統(5)的空間齊次和非齊次周期解的Hopf分支值，并且推導出了系統空間齊次Hopf分支值的分支方向和穩定性條件.

1 帶有反應擴散系統的空間齊次和非齊次Hopf分支值

對系統 (3) 做無量綱化變換. 令

我們仍然用t代表s，得到與系統 (3) 等價的以下系統

(4)

為了后面討論的方便以及得到更好的結果，我們假設空間Ω=(0,lπ),l∈R+，是空間一維的.并且由[5],我們可以假設d1=1,d2=1, 并且通過選擇適當的比例使a=1,

接下來為了討論系統(4)間齊次和非齊次Hopf分叉的存在性，我們固定參數h,讓λ作為分支參數.

(5)

這就將系統 (4)價的轉化為系統 (5)的(0,0) 解.

定義實的Sobolev空間為

同時定義X復化空間為

可得系統 (5)在(0,0)點的線性化算子為

(6)

眾所周知

-ψ″=γψ,x∈(0,lπ),ψ′(0)=ψ′(lπ)=0.

為L(λ) 對應的特征值 γ(λ) 的特征函數，也就是L(λ)(θ1,θ2)T=γ(λ)(θ1,θ2)T. 通過分析可得

其中

由此可知，L(λ) 的特征值可以由 Ln(λ) 的特征值給出，其中n∈N0,Ln(λ) 的特征方程為

μ2-μTn(λ)+Dn(λ)=0,n∈N0,

其中

(7)

因此，特征值為

下面將考慮系統可能發生Hopf分支的分支值λH.從而存在n∈N0使得

Tn(λH)=0,Dn(λH)>0, 對m≠n滿足Tm(λH)≠0,Dm(λH)≠0,

(8)

并且在唯一的一對純虛根α(λ)±iω(λ)附近滿足α′(λ)≠0.

其中，

從而，可能發生Hopf分支的任何分支值一定在區間[λ*,2)，對區間[λ*,2)它的任一Hopf分支值λH,α(λH)±iω(λH)是L(λ)的特征值.則

并且

(9)

根據以上分析，我們可以用以下集合來考慮Hopf分支值問題

ΛH:={λH∈[λ*,2):對于某個 n∈N0,(9)式成立}.

定義

(10)

(11)

通過以上分析，我們得到以下結論.

2 帶有反應擴散系統的空間齊次周期解的分支方向和穩定性

證明:以下證明主要采用文獻[7]中的標記. 記

系統(5)在正常數平衡點E*=(u*,v*)處可以寫成以下形式

其中

其中

從而可得

c0:=C1+C2iω0, d0:=D1+D2iω0, e0:=E1+E2iω0,

f0:=F1+F2iω0, g0:==G1+G2iω0, h0:=H1+H2iω0.

其中

則

因此

由此計算可得H20=0, H11=0.

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(責任編輯 梁志茂)

Hopf bifurcation in the reaction-diffusion prey-predator system

ZHANG Jian-qiang,ZHANG Min,SHAO Rui-feng

(School of Mathematics, Physics, and Software Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

The Hopf bifurcation of Holling-Tanner prey-predator system which contains reaction-diffusion and ratio-dependent functional response,the bifurcation direction and the bifurcation periodical stability ate studied.

ratio-dependent functional;Holling-Tanner prey-predator system;Hopf bifurcation

2014-09-29.

張建強(1986-)，男，碩士研究生.主要研究方向：非線性動力學與模擬控制.

O175.13

A

1672-8513(2015)04-0304-06