水下圓錐殼臨界載荷-頻率特性分析

李天勻，郭文杰，朱翔，陳忱

（1.華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074；2.船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430074）

水下圓錐殼臨界載荷-頻率特性分析

李天勻1，2，郭文杰1，2，朱翔1，2，陳忱1，2

（1.華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074；2.船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430074）

針對(duì)基于振動(dòng)的數(shù)值仿真、振動(dòng)實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)方法的不足，基于振動(dòng)的水下圓錐殼臨界載荷預(yù)報(bào)具有結(jié)構(gòu)無損的優(yōu)勢(shì)，提出了基于波傳播法的水下圓錐殼失穩(wěn)載荷的理論求解方法。通過建立靜水壓力下圓錐殼聲-固耦合振動(dòng)方程，并使用波傳播法和Galerkin法求解不同靜水壓下的頻率特性。在處理耦合面處流體聲載荷時(shí)將錐殼分解為多個(gè)柱殼微段的流體載荷的疊加。通過對(duì)水下圓錐殼的固有頻率和靜水壓力的關(guān)系研究，得出靜壓與固有頻率平方近似呈線性關(guān)系這一重要結(jié)論，并通過線性擬合求出臨界載荷。結(jié)果對(duì)比證實(shí)了方法的正確性，且具有簡(jiǎn)便、計(jì)算量小、易于參數(shù)優(yōu)化的優(yōu)點(diǎn)。

圓錐殼；波傳播法；臨界載荷；Galerkin法；無損預(yù)報(bào)

圓錐殼在實(shí)際工程中十分常用，比如潛艇的艉段就可以等效看作是圓錐殼。與圓柱殼的幾何特性相比，圓錐殼主要特征是橫截面半徑隨母線長(zhǎng)度線性變化，這給求解圓錐殼振動(dòng)特性帶來了很大的難度。

水下圓錐殼體的聲振特性研究涉及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、聲學(xué)等多個(gè)學(xué)科，屬于典型的多學(xué)科交叉研究領(lǐng)域，其本身具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值。圓錐殼振動(dòng)特性的研究工作不多，O.E.Crenwelge［1］用能量法計(jì)算簡(jiǎn)支環(huán)肋圓錐殼的自由振動(dòng)Caresta等［2?3］用冪級(jí)數(shù)法求解了流體作用下圓錐殼的動(dòng)力響應(yīng)。由于圓錐坐標(biāo)系下的聲波Helmholtz方程目前沒有對(duì)應(yīng)的解析解形式，文獻(xiàn)［2］在處理聲固耦合時(shí)采用的是近似方法：將錐殼分解為若干小圓柱殼微段，然后將微段受到的流體聲載荷進(jìn)行疊加。Irie.T［4］用傳遞矩陣法研究圓錐殼的固有頻率，Guo［5］利用多尺度技術(shù)研究了流體載荷作用下彈性波在圓錐殼中的傳播，曹雄濤等［6］用波傳播法求解了正交各向異性錐殼在流場(chǎng)作用下的固有頻率。WANG Yongjun等［7］利用冪級(jí)數(shù)法計(jì)算了圓錐殼平衡微分方程的通解，通過構(gòu)造變形函數(shù)利用Galekin法確定特解，從而對(duì)靜水壓力作用下的圓錐殼進(jìn)行了強(qiáng)度分析。

受壓結(jié)構(gòu)穩(wěn)性的無損檢測(cè)研究對(duì)實(shí)際工程問題具有重大的意義，李范春［8］等基于軸壓屈曲實(shí)驗(yàn)提出了受壓結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的無損檢測(cè)分析方法，陳忱等［9?10］等提出了基于波傳播法圓柱殼的臨界載荷預(yù)報(bào)。

本文將靜水壓力帶來的薄膜預(yù)應(yīng)力計(jì)及到振動(dòng)平衡方程中，研究了聲固耦合對(duì)圓錐殼固有頻率的影響，靜水壓力與固有頻率的關(guān)系，提出了預(yù)測(cè)臨界載荷理論值的新方法。

1 理論分析

1.1 物理模型

設(shè)一截頂錐殼小、大端半徑分別R1和R2，殼長(zhǎng)L，小端母線方向長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，殼厚為h，半錐角為α，質(zhì)量密度為ρ；坐標(biāo)s、θ、z分別代表圓錐殼的母線方向、圓周方向和法線方向，相對(duì)應(yīng)的位移分別為u、v、w；q是靜水壓力（外壓取負(fù)值）。

圖1 圓錐殼坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of conical shell

1.2 殼體方程

根據(jù)Flügge殼體理論［11］，計(jì)及靜水壓力的平衡方程可以寫成如下形式：

式中：F1、F2、F3為軸向、周向和法向載荷，Nθ、Ns、Nsθ、Nθs為單元內(nèi)面力，為軸向和周向的薄膜預(yù)應(yīng)力，Mθ、Ms、Msθ、Mθs為殼體單元內(nèi)彎矩，Qθ、Qs為周向、軸向剪力，Pf為流體聲載荷，ρ為殼體密度。

根據(jù)彈性力學(xué)理論，與靜水壓力q相關(guān)的力學(xué)分量滿足如下物理方程：

其余各力學(xué)分量滿足：

式中：E是彈性模量，μ是泊松比，εs、εθ為軸向和周向應(yīng)變，εsθ為剪應(yīng)變，χs、χθ為軸向和周向拉伸引起的曲率變化，χsθ為扭轉(zhuǎn)引起的曲率變化。ωs、ωθ、γs、γθ為微元軸向與周向切線繞坐標(biāo)方向的轉(zhuǎn)角。

1.3 方程的求解

根據(jù)曲面的變形協(xié)調(diào)條件，方程（1）可以簡(jiǎn)化成如下表達(dá)形式：

方程（4）尚無解析解，本文利用Galerkin法近似求解。首先假定一個(gè)只滿足邊界條件而不滿足平衡方程的位移型函數(shù)。

邊界條件為簡(jiǎn)支且無軸向約束時(shí)，在兩端有v＝w＝Ns＝Ms＝0，滿足條件的位移型函數(shù)可以設(shè)為

式中：n為周向波數(shù)，m為軸向振動(dòng)的波數(shù)，U、V、W分別是軸向、周向和法向的廣義位移幅值。

將型函數(shù)（5）代入方程（4）中可以得到：

然后選取殘值函數(shù)與權(quán)函數(shù)，其中式（6）中等式左邊的函數(shù)可以設(shè)為殘值函數(shù)，權(quán)函數(shù)與型函數(shù)是相似的，只是去掉了廣義位移幅值U、V、W。

運(yùn)用Galerkin法進(jìn)行積分，采用文獻(xiàn)［12］的積分方式，過程如下：

由于該積分表達(dá)式很難通過解析積分方式得到結(jié)果，所以本文采用數(shù)值積分方式。將流體聲載荷項(xiàng)分解為多段圓柱殼微段的流體聲載荷貢獻(xiàn)項(xiàng)的疊加。

柱坐標(biāo)下理想流體的Helmholtz波動(dòng)方程：

式中：Cf是流體中的聲速。

流體與殼體在接觸面上必須滿足二者徑向速度相等：

式中：ρf為流體密度，Rj為第j個(gè)圓柱殼微段。

采用文獻(xiàn)［9?10］的處理方法，可由式（9）、（10）解出第j個(gè)圓柱殼微段流體聲載荷Pf：

其中流體中壓縮波數(shù)kf＝ω／Cf，結(jié)構(gòu)中軸向波數(shù)k＝ mπ／L，kR2＝︱k2-kf2︱。如果kf＞k，則Zn（）＝為第一類漢克爾函數(shù)。如果，則（）＝Kn（），為第二類貝塞爾函數(shù)。

此時(shí)流體聲載荷積分貢獻(xiàn)項(xiàng)FL可以表示為疊加形式：

其中將圓錐殼分解為a個(gè)小圓柱殼微段，通過計(jì)算表明取20個(gè)微段時(shí)收斂性已經(jīng)很好，故lj＝

式中：Hij的表達(dá)式較復(fù)雜，限于篇幅本文從略。

2 數(shù)值分析

2.1 真空中錐殼自由振動(dòng)

真空中簡(jiǎn)支圓錐殼體參數(shù)取自文獻(xiàn)［10］：h／R2＝0.01，μ＝0.03，E＝2.1×1011Pa，Lsin α／R2＝0.25，軸向波數(shù)m＝1，材料密度ρ＝7 850 kg／m3，表中值為無量綱頻率

表1 真空中各階無量綱頻率ΩTable 1 Dimensionless frequency Ω of each order in vacuum

本文計(jì)算的無量綱頻率值和文獻(xiàn)［13］對(duì)比最大誤差不超過2%。驗(yàn)證了方法的可靠性和程序的準(zhǔn)確性。

從表1中可以看出圓錐殼結(jié)構(gòu)固有頻率的特征：當(dāng)半錐角一定時(shí)，圓錐殼的固有頻率隨著周向半波數(shù)的增加，開始時(shí)逐漸下降，然后逐漸上升，取得最小固有頻率時(shí)的n值不同，如半錐角為30°時(shí)，最小固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)為m＝1、n＝16。當(dāng)周向半波數(shù)n一定時(shí)，若周向半波數(shù)較小，無量綱頻率隨半錐角增大而減??；若周向半波數(shù)中等，無量綱頻率隨半錐角增大呈先增后減趨勢(shì)；若周向半波數(shù)偏大，無量綱頻率隨半錐角增大而增大。

2.2 靜水壓力與頻率的關(guān)系

簡(jiǎn)支殼體參數(shù)如下所示：h／R1＝0.01，μ＝0.03，E＝2.1×1011Pa，α＝30°，ρ＝7 850 kg／m3，ρf＝1 000 kg／m3，h＝0.01 m，Cf＝1 500 m／s，L／R1＝2，qcr為臨界載荷。

軸向波數(shù)m和周向半波數(shù)n理論上可以有無窮多種取法，臨界載荷值是不同模態(tài)下失穩(wěn)載荷的最小值，在基頻處取。故本文需要研究的是基頻處模態(tài)，當(dāng)α＝30°時(shí)，此時(shí)的基頻模態(tài)為m＝1、n＝16。

從圖2中可以看出，靜水壓力與固有頻率的平方近似呈線性關(guān)系，而且本文通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)任意模態(tài)（m、n）靜水壓力與固有頻率的平方也會(huì)近似呈線性關(guān)系。

圖2 固有頻率與靜水壓力的關(guān)系Fig.2 The relationship between natural frequencies and hydrostatic pressure

圓錐殼失穩(wěn)時(shí)，結(jié)構(gòu)體的剛度喪失，固有頻率為零，若能求出頻率為零時(shí)的靜水壓力（圖3中直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），則此壓力即可認(rèn)為是圓錐殼臨界載荷的彈性理論解。對(duì)圖2中的直線進(jìn)行線性擬合，如圖3所示，求出直線與橫軸的交點(diǎn)，求得的臨界載荷值為0.467 8 MPa。

圖3 圓錐殼臨界載荷的求解Fig.3 Solution of the critical load of conical shell

當(dāng)半錐角α分別取10°、30°、50°，而其余殼體參數(shù)不變時(shí)，同理可得圓錐殼的臨界載荷。圓錐殼最小的無量綱臨界載荷見表2所示（對(duì)應(yīng)軸向波數(shù)m＝1，括號(hào)內(nèi)的值表示對(duì)應(yīng)的周向半波數(shù)n）。

表2 無量綱臨界載荷Table 2 Dimensionless critical load

表中文獻(xiàn)［12］是基于扁殼理論，而本文采用的是Flügge理論，所以與本文相比存在一定的誤差，最大誤差小于4%。從表中可以看出在其他條件不變時(shí)，臨界載荷隨錐角增大而顯著下降，隨殼長(zhǎng)變小而顯著增大。以上計(jì)算得到的是靜壓下錐殼在兩端簡(jiǎn)支時(shí)臨界載荷的彈性理論解，要經(jīng)過幾何非線性修正和物理非線性修正［14?15］，臨界載荷值才可運(yùn)用于工程設(shè)計(jì)中。

3 結(jié)束語

本文提出了基于波傳播法的水下圓錐殼失穩(wěn)載荷的理論預(yù)報(bào)方法，在建立計(jì)及靜水壓力影響的水下圓錐殼振動(dòng)方程后，采用Galerkin法計(jì)算固有頻率。通過線性擬合的方法求出水下圓柱殼臨界載荷的彈性理論解。計(jì)算結(jié)果表明任意模態(tài)下的固有頻率平方與靜水壓力成正比，利用固有頻率平方與靜水壓力的線性關(guān)系可擬合求出臨界載荷，修正后可運(yùn)用到流體中圓錐類工程結(jié)構(gòu)的臨界載荷值的預(yù)報(bào)。結(jié)果對(duì)比表明了本文方法的可靠性，為水下圓錐殼臨界載荷的無損預(yù)報(bào)提供了新的方法與思路。

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Frequency characteristic analysis of
critical loads for a submerged conical shell

LI Tianyun1，2，GUO Wenjie1，2，ZHU Xiang1，2，CHEN Chen1，2

（1.School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China；2.Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics，Wuhan 430074，China）

In regard to the deficiencies in numerical simulation based on vibration and the method to predict vibra?tion experiment，by taking advantage of the prediction for clinical load of vibration-based submerged conical shell that is nondestructive，this paper proposes a theoretical method to solve the collapsing load of a submerged conical shell based on wave propagation approach.It first establishes the acoustic?solid coupling vibration equation under the hydrostatic pressure，and solves the frequency characteristics under different hydrostatic pressure by wave prop?agation approach and Galerkin method.The data of natural frequencies of the system under different hydrostatic pressures is obtained after solving the coupled equation.Simultaneously，conical shell is divided into several micro?sections of cylindrical shells which are superposed when dealing with fluid acoustic loading on the coupling surface.An important conclusion is obtained by the study of relationship between natural frequencies and hydrostatic pres?sures，which indicate that there is an approximate linear relationship between squared natural frequencies and hy?drostatic pressures.In addition，critical load can be solved by linear fitting.The result obtained from present ap?proach is correct，showing good consistency with those from classical theory.Furthermore，present approach has the advantages of simpleness，less calculation and easy to optimize parameter.

conical shell；wave propagation approach；critical load；Galerkin method；nondestructive prediction

10.3969／j.issn.1006?7043.201401038

U661.44

：A

：1006?7043（2015）06?0746?05

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.u.20150428.0911.014.html

2014?01?17.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014?04?28.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51379083，51479079）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目（20120142110051）.

李天勻（1969?），男，教授，博士生導(dǎo)師；郭文杰（1992?），男，博士研究生.

郭文杰，E?mail：739633869＠qq.com