一種基于確定度的決策概率轉換方法

趙玉新，賈韌鋒，劉廠

（哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001）

一種基于確定度的決策概率轉換方法

趙玉新，賈韌鋒，劉廠

（哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001）

針對現有將基本概率賦值轉換為決策概率方法的不足，提出一種基于確定度的決策概率轉換方法。該方法根據基本概率賦值的特點，將單子集命題的基本概率賦值之和作為系統對命題的確定度，并用其對比例信度轉換方法和比例似真度轉換方法進行線性組合，得出命題的決策概率。通過算例對比新方法與已有方法，結果表明新方法更加合理有效。

確定度；基本概率賦值；信度；似真度；決策概率

證據理論是Dempster［1］于1967年首先提出，后經他的學生Shafer［2］進一步擴充和完善，所以通常被稱作Dempster?Shafer理論（簡稱D?S證據理論）。由于D?S證據理論在處理不確定、不精確信息方面，具有較大的靈活性，因而被廣泛應用在威脅判斷［3］、故障診斷［4］、信息融合［5］、風險評估［6?7］等諸多領域。D?S證據理論在識別框架下用基本概率賦值（basic probability assignment，BPA）來對命題進行表示，這種表示方法不僅通過在單子集命題上分配概率來表示精確信息；也通過在多子集命題上分配概率來表示不精確信息，能夠比較全面地表達命題信息。在不確定決策系統中，為了能夠合理地做出決策，需要將多子集命題上的BPA分配給單子集命題，以便得到合適的決策概率，這就需要對BPA進行決策概率轉換。

目前，對BPA進行決策概率轉換的方法有很多［8?19］。Smets［8］在可轉移信度模型中提出了轉換方法，但該方法沒有很好地利用已知信息，將多子集命題上的BPA均分到單子集命題上，容易造成信息損失，不利于決策。Cuzzolin［9］的方法是將多子集命題上的BPA按照不確定比均分給單子集命題，該方法在Ai∩A＝?時，不能合理地分配不確定信息。例如已知識別框架Θ＝A，B，C{}，其中有m（A∪B）＞0，在計算C的決策概率時，TNSM中的m（A∪B），也會按照比例分給C，這明顯是不合理的，因為A∪B中不包括C。Cobb［10］提出了基于似真度函數的轉換，該方法僅僅將各個命題的似真度所占的比例作為它們的決策概率，而沒有考慮信度對轉換過程的影響，轉換過程比較保守。Sudano［14］在DST框架下，利用信度函數和似真度函數提出了一系列的轉換方法。蔣雯［15］利用命題的信度和似真度的特點，對多子集命題信息進行分配，但是當多子集命題和單子集命題沒有交集的時候，也會出現Cuzzolin方法中的不合理分配問題。Dezert［18］的方法是可轉移信度模型中轉換方法和比例信度轉換方法的非線性組合，通過調整參數ε來決定轉換態度，靈活度較好，但參數ε的選取不夠客觀。Daniel［19］的比例信度轉換方法利用單子集命題在多子集命題中的信度比來轉換決策概率，轉換時的態度比較樂觀，容易增大決策風險。而他的比例似真度轉換方法利用單子集命題在多子集命題中的似真度比來轉換決策概率，轉換時的態度又比較保守，不利于決策。

本文針對Daniel的比例轉換方法的不足，提出了一種基于確定度的決策概率轉換方法。該方法將單子集命題的基本概率賦值之和作為系統對命題的確定度，并用其對比例信度轉換方法和比例似真度轉換方法進行線性組合，得出命題的決策概率。

1 基于確定度的決策概率轉換方法

為了更好地發揮比例信度轉換方法和比例似真度轉換方法的優勢，克服它們的不足，本文對這2種方法進行線性組合，使轉換時的態度既不樂觀也不保守，得出合理的決策概率。

由于單子集命題的基本概率賦值反映了系統對命題的精確信任程度，單子集命題的基本概率賦值越大，說明系統對該命題的確定程度也就越高；單子集命題的基本概率賦值越小，說明系統對該命題的確定程度也就越低。所以，根據系統的局部與整體之間的相似性質，可以將單子集命題的基本概率賦值之和作為系統對命題的確定度，并將該確定度作為組合權重，用來對比例信度轉換方法和比例似真度轉換方法進行線性組合，得出命題的決策概率。當系統對命題的確定度大時，轉換過程的態度應該相對樂觀，反之，轉換時的態度應該保守一些。

根據前面所述，本文方法的轉換公式如下：

式中：

因為A是單子集命題，所以式（1）也可以寫成：

Daniel在文獻［20］中給出了決策概率轉換函數PT（·）的定義，下面通過該定義對本文方法的合理性進行說明。

式（3）可以轉化為

定理1 PT（·）需滿足上下邊界一致性，即

所以，Bel（A）≤P1（A）≤Pl（A），同理可證，Bel（A）≤P2（A）≤Pl（A），又因為，NewP（A）是P1（A）和P2（A）的線性組合，所以，Bel（A）≤NewP（A）≤Pl（A）。

推論1 針對貝葉斯BPA，PT（·）需滿足概率一致性，即

證明：因為，m（A）是貝葉斯BPA，所以，m（X）＝0，所以，由式（4）可得，NewP（A）＝m（A）。

推論2 對于不可能事件A，PT（·）需滿足：

證明：因為，A為不可能事件，

所以，Bel（A）＝0，Pl（A）＝0，

所以，由Bel（A）≤NewP（A）≤Pl（A）可得，NewP（A）＝0。

即Θ中的元素A經過排列函數R作用后的像R（A）的決策概率PT?（R（A）），和A在排列函數R作用前的決策概率PT（A）相等。

證明：因為，R為從Θ→Θ?的排列函數，

所以，R（A）＝A，

所以，R（A）的基本概率賦值m?（R（A））＝m（A），所以，NewP?（R（A））＝m?（R（A））+g（A）］m（X）＝NewP（A）。

綜上所述，本文方法滿足Daniel給出的決策概率轉換函數定義。

2 決策概率轉換評價標準

由于多子集命題是對單子集命題支持的一種表現，決策概率轉換是將這種表現給予了量化。所以可以利用它們之間的這種內在聯系，來評價轉換方法的優劣。本文引入隨機變量的關聯系數的概念［21］，將單子集命題的BPA和轉換后的決策概率之間的關聯系數，用于度量轉換后的決策概率與原BPA之間的關聯程度，也依此作為評價轉換方法好壞的標準。關聯系數越大，說明轉換后的決策概率與原BPA之間的關聯程度也就越好，也就越能反映原BPA的信息，轉換方法也就越好。

定義1設隨機變量X與Y的分布為

隨機變量X關于隨機變量Y的偏熵定義為

定義2 隨機變量X與Y之間的關聯熵定義為它們的偏熵之和，即

定義3 隨機變量X與Y的偏關聯系數與關聯系數分別定義為

3 實例分析

例1 現用一雷達傳感器觀測空中的飛行目標，其觀測到的結果可能有F?15和Mig?27，則它們構成的識別框架Θ＝｛θ1，θ2｝，其中θ1、θ2分別代表F?15、Mig?27，根據觀測數據可知它們的基本概率賦值如下：

根據本文的方法進行如下計算：

1）根據比例信度轉換決策概率的方法，分別計算θ1、θ2的決策概率P1（θ1）、P1（θ2）：

2）根據比例似真度轉換決策概率的方法，分別計算θ1、θ2的決策概率P2（θ1）、P2（θ2）：

3）分別對P1（θ1）和P2（θ1）、P1（θ2）和P2（θ2）進行線性組合，得出θ1、θ2最終的決策概率P（θ1）、P（θ2）。

首先，按照式（2）計算α＝0.2+0.1＝0.3。

然后，按照式（1）計算θ1、θ2最終的決策概率P（θ1）＝0.599 4， P（θ2）＝0.400 6。

例2 和例1在同一識別框架Θ＝｛θ1，θ2｝下，另有一組通過ESM傳感器獲得的基本概率賦值如下：

m（θ1）＝0.8， m（θ2）＝0.1， m（θ1∪θ2）＝0.1

按照本文方法計算結果如表1所示，并在表1中將例1的結果和例2的結果進行對比。

表1 例1結果和例2結果對比Table 1 The comparison between example 1 and example 2

例1和例2雖屬于同一識別框架，但由于傳感器的精度不同，得到的結果也不同。通過計算m（θ1∪θ2）在θ1和θ2上的分配比，很容易看到例1中的分配比（0.5994-0.2）／（0.4006-0.1）＝1.3287，小于例2的（0.8882-0.8）／（0.1118-0.1）＝7.474 6。那是因為例2中確定度α＝0.9，大于例1中的確定度α＝0.3?？梢姡斚到y對命題的確定度越高，轉換結果就較為樂觀，分配多子集命題上的BPA也就越多；當系統對命題的確定度越低，轉換結果就較為保守，分配多子集命題上的BPA也就越少。

例3現對一風力發電機組進行故障診斷，通過分析可知該發電機組可能發生的故障有主軸故障θ1、發電機故障θ2、葉片故障θ3、齒輪箱故障θ4，它們構成的識別框架Θ＝｛θ1，θ2，θ3，θ4｝，經專家測評得到該框架下的基本概率賦值如下：

按照本文方法計算的結果如表2所示，并且在表2中將本文方法與其他常用方法進行了對比，由于DSmP方法中參數ε的選取不易確定，這里取中間值ε＝0.5。

從表2的結果可以看出，該例中的幾種方法得到的結果都是主軸故障的決策概率最大。PFT方法和PrNPl方法得到主軸故障的決策概率P（θ1）＝0.454 5＜m（θ1）＝0.6，這明顯是不合理的。Prop?BelP方法和PrBel方法得到的結果，看起來是最理想的，但是由于不確定度的存在，θ1∪θ2∪θ3∪θ4上的BPA不應該全分配給故障θ1，也應該分配給故障θ2、θ3和θ4一些，所以這2種方法得到的結果也不合理。本文方法的關聯系數高于其他常用方法的關聯系數，說明本文方法得到的轉換結果和原BPA之間的關聯程度更大，更能反映原BPA中的信息。并且本文方法得到主軸故障的決策概率P（θ1）＝0.912 7，要遠大于其他故障的決策概率P（θ2）＝P（θ3）＝P（θ4）＝0.029 1，比其他常用方法得到的結果更一目了然，更利于決策。

表2 本文方法與其他常用方法對比Table 2 The comparison of different methods

4 結束語

本文提出的決策概率轉換方法充分利用了已知信息，將系統對命題的確定度作為組合權重，能夠客觀地、合理地分配多子集命題上的信息，使轉換時的態度既不樂觀也不保守，得到的轉換結果更加合理有效。該方法能夠增加決策的準確度，降低決策風險，便于決策者做出合理的決策，可以較好地應用到信息融合、故障診斷等諸多的輔助決策系統中。

［1］DEMPSTER A P.Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping［J］.Annals of Mathematical Statis?tics，1967，38（2）：325?339.

［2］SHAFER G.A mathematical theory of evidence［M］.［S.l.］：Princeton University Press，1976：815?90.

［3］黃文斌，陳顏輝.基于D?S證據理論的潛艇威脅判斷方法研究［J］.哈爾濱工程大學學報，2005，26（2）：164?168.HUANG Wenbin，CHEN Yanhui.Research on methods in submarine threat estimation based on D?S evidence theory［J］.Journal of Harbin Engineering University，2005，26（2）：164?168.

［4］LUO H，YANG S L，HU X J，et al.Agent oriented intelli?gent fault diagnosis system using evidence theory［J］.Expert Systems with Applications，2012，39（3）：2524?2531.

［5］LEUNG Y，JI N N，MA J H.An integrated information fusion approach based on the theory of evidence and group decision?making［J］.Information Fusion，2013，14（4）：410?422.

［6］LI B，PANG F W.An approach of vessel collision risk as?sessment based on the D?S evidence theory［J］.Ocean Engi?neering，2013，74：16?21.

［7］YANG J P，HUANG H Z，HE L P，et al.Risk evaluation in failure mode and effects analysis of aircraft turbine rotor blades using Dempster?Shafer evidence theory under uncer?tainty［J］.Engineering Failure Analysis，2011，18（8）：2084?2092.

［8］SMETS P，KENNES R.The transferable belief model［J］.Artificial Intelligence，1994，66（24）：191?234.

［9］CUZZOLIN F.On the properties of the intersection probabili?ty［EB／OL］.（2007）［2014?03?01］.http：／／perception.inri?alpes.fr／people／Cuzzolin.

［10］COBB B R，SHENOY P P.On the plausibility transforma?tion method for translating belief function models to proba?bility models［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2006，41（3）：314?330.

［11］許培達，韓德強，鄧勇.一種基本概率賦值轉換為概率的最優化方法［J］.電子學報，2011，39（3A）：121?125.XU Peida，HAN Deqiang，DENG Yong.An optimal trans?formation of basic probability assignment to probability［J］.Acta Electronica Sinica，2011，39（3A）：121?125.

［12］HU L F，HE Y，GUAN X，et al.A new probabilistic trans?formation in generalized power space［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2011，24（4）：449?460.

［13］王萬請，趙擁軍，黃潔，等.基于不確定度的基本概率賦值概率轉換方法［J］.控制與決策，2013，28（8）：1214?1218.WANG Wanqing，ZHAO Yongjun，HUANG Jie，et al.Transformation of basic probability assignment to probability based on uncertainty degree［J］.Control and Decision，2013，28（8），1214?1218.

［14］SUDANO J J，MARTIN L.Pignistic probability transforms for mixs of low?and high?probability events［C］／／Fourth In?ternational Conference on Information Fusion 2001.Montre?al，Canada，2001：23?27.

［15］蔣雯，吳翠翠，賈佳，等.D?S證據理論中的基本概率賦值轉換概率方法研究［J］.西北工業大學學報，2013，31（2）：295?299.JIANG Wen，WU Cuicui，JIA Jia，et al.A probabilistic transformation of basic probability assignment（BPA）in D?Sevidence theory［J］.Journal of Northwestern Polytech?nical University，2013，31（2），295?299.

［16］HU L F，HE Y，GUAN X，et al.New probabilistic trans?formation of imprecise belief structure［J］.Journal of Sys?tems Engineering and Electronics，2011，22（5）：721?729.

［17］SUDANO J J，MARTIN L.Yet another paradigm illustra?ting evidence fusion（YAPIEF）［C］／／9th International Conference on Information Fusion.Florence，2006.

［18］DEZERT J，SMARANDACHE F.A new probabilistic trans?formation of belief mass assignment［C］／／11th International Conference on Information Fusion.Cologne，2008.

［19］DANIEL M.Consistency of probabilistic transformations of belief functions［C］／／Proceedings of the Tenth Internation?al Conference IPMU.Perugia，2004：1135?1142.

［20］DANIEL M.Probabilistic transformations of belief functions［C］／／Symbolic and Quantitative Approaches to Reasoning with Uncertainty.Perugia，2005：539?551.

［21］吳敏金，白治江.關聯熵及其應用［J］.華東師范大學學報：自然科學版，1998（2）：28?35.WU Minjin，BAI Zhijiang.Relative entropy and its applica?tion［J］.Journal of East China Normal University：Natural Science，1998（2）：28?35.

［22］鄧勇，王棟，李齊，等.一種新的證據沖突分析方法［J］.控制理論與應用，2011，28（6）：839?844.DENG Yong，WANG Dong，LI Qi，et al.A new method to analyze evidence conflict［J］.Control Theory and Applica?tions，2011，28（6）：839?844.

Transformation method of decision-making probability based on the certainty degree

ZHAO Yuxin，JIA Renfeng，LIU Chang

（College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

In order to overcome the drawbacks in current transformation methods of basic probability assignment to decision?making probability，a decision?making probability transformation method based on the certainty degree is proposed.According to the characteristic of basic probability assignment，the sum of each the Singleton proposition' s basic probability assignments is regarded as the certainty degree of the system in this paper，and the decision?making probability of each proposition was achieved by linear combination，which is the transformation method of decision?making probability based on proportional belief and proportional plausibility.The proposed method was compared to the other usual methods with examples.The experimental results show that the proposed method is more reasonable and effective.

certainty degree；basic probability assignment；belief；plausibility；decision?making probability

但是，當有變量值為0的時候，上述計算就會出現log0＝-∞的情況，為此鄧勇等人在文獻［22］中提出了一種類熵的概念，較好地解決了這個問題。即隨機變量X關于隨機變量Y的類偏熵定義為

10.3969／j.issn.1006?7043.201404042

TP391

：A

：1006?7043（2015）06?0801?05

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.u.20150428.1115.016.html

2014?04?12.網絡出版時間：2015?04?28.

國家自然科學基金資助項目（51379049）；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目（HEUCFX41302，HEUCF041410）；黑龍江省留學歸國人員科學基金資助項目（LC2013C21）.

趙玉新（1980?），男，教授，博士生導師；賈韌鋒（1987?），男，博士研究生.

賈韌鋒，E?mail：jiarenfeng＠hrbeu.edu.cn.