集中荷載作用下雙向板等效荷載的簡捷計算方法

劉文浩

(深圳市建筑設計研究總院有限公司， 廣東深圳 518000)

集中荷載作用下雙向板等效荷載的簡捷計算方法

劉文浩

(深圳市建筑設計研究總院有限公司， 廣東深圳 518000)

依據四邊簡支的雙向板彎矩系數與板跨比大致成線性比例關系，利用一元線性回歸分析法近似得到彎矩計算公式，最后依據彎矩等值的原則得到集中荷載作用下的等效均布荷載公式。最后通過算例分析表明可得到滿意的結果，此方法可供類似工程設計參考。

雙向板; 彎矩系數; 線性回歸; 等效均布荷載

在建筑設計中雙向板樓面經常會遇到板上有設備等其他集中荷載作用于板面的情況，為方便此種情況的樓面設計，可將此集中荷載按照《建筑結構荷載設計規范》[1](GB 50009-2012)附錄C中提出的內力、變形等值等效為均布荷載，但規范中并不明確其具體的計算方法。本文利用線性回歸的相關原理，通過對文獻[2]有關集中荷載、均布荷載作用的彎矩系數表進行回歸分析，最后得出將集中荷載等效為均布荷載的近似計算公式。

1 一元線性回歸分析法的原理

一元線性回歸分析法[3]是在考慮預測對象發展變化本質的基礎上，分析因變量隨一個自變量變化而變化的關聯形態，借助回歸分析建立它們因果關系的回歸方程式，描述它們之間的平均變化數量的關系，據此進行預測或控制。

假設預測目標因變量為K，影響它變化的一個自變量為X，因變量隨自變量的變化大致呈線性關系，那么可采用一條直線來近似表示兩者的關系，而任意一條直線方程可寫成

(1)

為避免n個考察點的誤差Ri的總和在總誤差中的正負抵消，采用誤差的平方和作為總誤差，即：

(2)

為使誤差平方和R達到最小值，則回歸直線方程的系數b0，b1有：

(3)

(4)

解上兩式得：

(5)

(6)

2 樣本回歸分析

按彈性理論荷載作用下四邊支承的雙向板，板的跨中彎矩[2]可按下式計算：

當均布荷載作用時：

Mx=(系數)xql2，My=(系數)yql2(鋼筋混凝土板ν=0，l為雙向板的短邊)；

當集中荷載作用于板跨中時：

Mx=(系數)xP，My=(系數)yP(鋼筋混凝土板ν=0，l為雙向板的短邊)；

式中(系數)x、(系數)y一般情況下可以查表[2]且有時需用一次或者兩次插值公式得到，不方便進行快速計算。因此本文把均布荷載作用下的四邊簡支雙向板的彎矩系數(表1)、集中荷載作用板跨中下的四邊簡支雙向板的彎矩系數(表2)作為樣本，根據一元線性回歸的原理，假定(系數)x、(系數)y為因變量K，lx/ly為自變量X，分別對其進行回歸分析，最終分別得到如下圖1～圖4中的直線回歸方程，圖中的散點(表1、表2的彎矩系數)分別落在一元線性回歸方程的兩側且隨著X的增加保持相同的增減性，又有相關系數最大的為0.9923，最小的為0.9308，所以認為這四條回歸方程是合適的。

因此，均布荷載作用于四邊簡支雙向板的跨中彎矩方程可由式(7)表示，式中l01為短邊。

(7)

表1 均布荷載作用四邊簡支雙向板的彎矩系數

表2 集中荷載作用于四邊簡支雙向板跨中的彎矩系數

圖1 mx彎矩系數回歸分析(均布荷載)

圖2 my 彎矩系數回歸分析(均布荷載)

圖3 mx彎矩系數回歸分析(集中荷載)

圖4 my彎矩系數回歸分析(集中荷載)

集中荷載作用于四邊簡支雙向板跨中的彎矩方程可由式(8)表示：

(0.5≤x≤1)

(8)

3 等效荷載的確定

(9)

公式中僅含x=lx/ly，p，l01三個未知量，其中ν為混凝土泊松比(1/6≤ν≤0.2),由此在三個未知量都已知的情況便可快速求出等效荷載值，而不需反復查表計算，便于工程設計及運用。

4 算例分析

假設某建筑工程有6塊雙向板，分別為板1：lx=1 750 mm，ly=3 500 mm；板2：lx=2 100 mm，ly=3 500 mm；板3：lx=2 450 mm，ly=3 500 mm；板4：lx=2 800 mm，ly=3 500 mm；板5：lx=3 150 mm，ly=3 500 mm；板6：lx=3 500 mm，ly=3 500 mm；板的厚度均為h=130 mm，板跨中有一集中荷載42 kN，試求此集中荷載的等效均布荷載(混凝土泊松比ν=0.2)？

如表3可以看出，用本文的計算方法與查結構靜力手冊彎矩系數的方法所得結果誤差很小，滿足工程設計的要求。

表3 兩種計算方法所得等效均布荷載的比較

5 結論

由于集中荷載、均布荷載作用下的四邊簡支雙向板的彎矩系數變化呈現一定的線性關系，因此分別對其進行一元線性回歸分析，以這些簡單的直線方程重新揭示按彈性理論計算的彎矩系數和彎矩的變化規律，最后得到集中荷載等效為均布荷載的近似計算公式。計算時不必事先反復查系數表、插值計算，而是直接使用比插值公式更加簡單的方程計算出等效荷載。通過例題計算分析可以看出，本文方法非常方便、快捷、直觀且能很好的滿足工程要求，可供參考。

[1] GB 50009-2012建筑結構荷載設計規范[S].

[2] 國振喜,張樹義.實用建筑結構靜力計算手冊[M]. 北京:機械工業出版社,2009:357-378.

[3] 吳勇明.鋼筋混凝土雙向板彎矩系數的簡捷計算方法[J].華南理工大學學報,1995(1):76-82.

劉文浩(1982～)，男，碩士研究生，工程師，從事建筑工程結構設計。

TU311.4

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[定稿日期]2015-01-28