內(nèi)余分裂李代數(shù)的唯一性

沈彩霞

（江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013）

內(nèi)余分裂李代數(shù)的唯一性

沈彩霞

（江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013）

復(fù)數(shù)域上的有限維李代數(shù)L是弱余分裂的當(dāng)且僅當(dāng)［L，L］＝L，而當(dāng)L半單一定是余分裂的.但復(fù)數(shù)域上余分裂李代數(shù)是否一定半單仍然是開問題.證明了復(fù)數(shù)域C上的有限維李代數(shù)是內(nèi)余分裂李代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它是半單的，而且它的內(nèi)余分裂結(jié)構(gòu)是唯一的.

余分裂；內(nèi)余分裂；唯一性

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)［1］介紹了一種新的“李代數(shù)-李余代數(shù)”結(jié)構(gòu)，稱為余分裂李代數(shù)，即一個李代數(shù)（L，μ）上被賦予一個李余代數(shù)結(jié)構(gòu)（L，δ），使得μ?δ等于恒等變換.當(dāng)μ?δ在某組基下為非退化對角變換時，稱（L，μ，δ）是一個弱余分裂李代數(shù).

定義1.1［1］一個余分裂李代數(shù)是一個在F-向量空間L上賦予兩個F-線性映射，μ：L?FL→L，δ：L→L?FL，使得下列條件成立：

（1）（L，μ）是一個李代數(shù)；

（2）（L，δ）是一個李余代數(shù)；

（3）μ?δ＝idL.

文獻(xiàn)［1］中的一個重要結(jié)果是任意有限維復(fù)單李代數(shù)有一個余分裂結(jié)構(gòu).其給出的δ的結(jié)構(gòu)在文獻(xiàn)［2］中被解釋為某個L-模同態(tài)，并且將其結(jié)果推廣到更大的范圍.文獻(xiàn)［2］中的余乘結(jié)構(gòu)是算子

的某個常數(shù)倍數(shù)，這里是伴隨表示的Casimir算子.

顯然，任意的（弱）余分裂李代數(shù)L一定滿足條件［L，L］＝L.文獻(xiàn)［3］證明了復(fù)數(shù)域上任意有限維李代數(shù)L＝［L，L］一定是一個弱余分裂李代數(shù)，反之亦然.文獻(xiàn)［3］還給出了正特征域上的一類非半單的余分裂李代數(shù)的例子.文獻(xiàn)［4-6］則對余分裂李代數(shù)的相關(guān)內(nèi)容做了研究.

在復(fù)數(shù)域C上，任意的有限維半單李代數(shù)都是余分裂的，而我們還沒能發(fā)現(xiàn)C上的非半單余分裂李代數(shù)的例子.同時，目前所知道的域F（特征charF＝p＞0）上的非半單余分裂李代數(shù)都是通過半單李代數(shù)的Casimir元素構(gòu)造的.對這一問題，我們做出如下猜想：

猜想1.1 設(shè)L是一個復(fù)數(shù)域C上的有限維李代數(shù)，則L是余分裂的當(dāng)且僅當(dāng)L是半單的.

如果這一猜想成立，則復(fù)數(shù)域C上的半單李代數(shù)就有了一個新的簡單的等價定義.因此這一問題對于李代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論來說是非常有趣的.

本文證明一個比較弱的結(jié)論.我們希望這一結(jié)論將有助于猜想1.1的研究.

定義1.2 假設(shè)（L，μ，δ）是一個余分裂李代數(shù).如果存在

對所有x∈L成立，則稱（L，μ，δ）（或L）是一個內(nèi)余分裂李代數(shù).

通常情況下，把μ（a?b）記為［a，b］，這不會引起任何混淆.下面是本文的主要結(jié)果.

定理1.1 設(shè)L是復(fù)數(shù)域C上的有限維李代數(shù)，則L是一個內(nèi)余分裂李代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)L是半單的.特別地，對任意的復(fù)李代數(shù)L來說，它的內(nèi)余分裂結(jié)構(gòu)是唯一的.

2 內(nèi)余分裂李代數(shù)

為方便起見，固定L的一組基元素x1，…，xn，其中n＝dimL，則對一個內(nèi)余分裂李代數(shù)L，可以假設(shè)它的余乘法為

其中z1，…，zn∈L.

特別地，復(fù)數(shù)域C上的任意有限維半單李代數(shù)都是內(nèi)余分裂的，這可以由文獻(xiàn)［1-2］的結(jié)果得到.

證明 由余分裂李代數(shù)及余乘δ的定義，我們有

則對任意的x∈L，

因此

對所有的zi，可以得到

引理2.1 如果L是內(nèi)余分裂李代數(shù)，則L是半單的.

證明 設(shè)L＝S＋I(xiàn)是L的Levi分解，其中S是半單李代數(shù)，I可解并且是一個S-模.由于L余分裂，可推出I是冪零的.

若I≠0，設(shè)δ＝δ1＋δ2＋δ3＋δ4，其中

對

任意的x∈I，由

的反對稱性可知

則

從而對任意的x∈I，有x＝∈（μ?（δ2＋δ4））（x）∈［I，I］，這與I的可解性矛盾.

所以I＝0，進(jìn)而L＝S是半單的.

引理2.2 如果L有非平凡的直和分解L＝L1⊕L2，并且（L，μ，δ）是內(nèi)余分裂李代數(shù)，則（Li，μ｜Li?Li，δ｜Li）也是內(nèi)余分裂李代數(shù).

證明 假設(shè)δ＝δ1＋δ2＋δ3＋δ4，其中

和引理2.1的證明類似，可以得到δ2＝δ3＝0.則：

進(jìn)一步，由δ的反對稱性可以得到δ1和δ4的反對稱性，由δ的Jacobi可以得到δ1和δ4的Jacobi.引理得證.

3 定理的證明

由命題2.1和引理2.1—2.2可知，要證明定理1.1，只需證明下面的命題.

命題3.1 若L是復(fù)數(shù)域上的一個有限維單李代數(shù)，則它有一個唯一的內(nèi)余分裂結(jié)構(gòu).

證明 由文獻(xiàn)［1-2］的結(jié)果，內(nèi)余分裂結(jié)構(gòu)的存在性已經(jīng)得到證明.

設(shè)x1，…，xn是L的一組基，并且δ，使得（L，［，］，δ）是一個內(nèi)余分裂李代數(shù).令L為z1，…，zn生成的李子代數(shù).

情形1 L≠L.

可以假設(shè)基元素x1，…，xn，使得L＝spanC｛x1，…，xr｝，其中dimL＝r＜n.對任意的zk，由

的反對稱性可推出［zi，zk］＝0，對所有的i＞r≥k成立.因此對任意的k＞r，有

所以zr＋1＝…＝zn＝0，并且

由于L是單的，我們可以找到x∈L和某個zi，使得［zi，x］?L.則

不滿足反對稱性，矛盾.

情形2 L＝L.

首先h是L的一個Cartan子代數(shù)，｛α1，…，αl｝由h決定素根系，其中l(wèi)＝dimh＝Rank（L）.Δ為L的根系，并且｛x1，…，xn｝選擇為Chevalle基

特別地，我們可以找到一個元素h∈h，使得［h，Xα］＝ht（α）Xα，其中對所有的根α＝成立.則由引理2.2可得，zi＝ciX－α對所有xi＝Xα，α∈Δ成立.如果存在某個k使得xi＝hk，則zi∈h.

下面考慮δ（Xαi）.它有加法項(xiàng)和其他的不含半單元的加法項(xiàng)構(gòu)成.由δ的反對稱性可知，對所有的1≤i≤l，有ci＝h′i（αi），并且對所有的i≠j有h′i（Xαj）＝0.所以h′i＝ciωi，其中ωi使得ωi（αj）＝δi，j.

經(jīng)過類似的討論可知，zi＝cαX－α.其中當(dāng)xi＝Xα，且

假設(shè)y1，…，yn是基x1，…，xn的對偶基.存在唯一的常數(shù)C，使得是一個余分裂李代數(shù).由唯一性可知，對每個1≤i≤n都有zi＝Cyi.

［1］ XIA LIMENG，HU NAIHONG.Introduction to co-split Lie algebras［J］.Algebr Represent Theory，2011，14：191-199.

［2］ FARNSTEINER R.Lie algebras with a co-algebra splitting［J］.Algebr Repres Theory，2011，14：87-96.

［3］ XIA LIMENG.Note on co-split Lie algebras［J］.Chin Ann Math，2012，33B（5）：651-656.

［4］ 沈彩霞，夏利猛.一類Cartan型余分裂李代數(shù)的例子［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，42（4）：17-20.

［5］ 夏利猛，沈彩霞.具有非退化Killing型的余分裂李超代數(shù)［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，41（4）：9-12.

［6］ 夏利猛，胡乃紅.A（m，n）型余分裂李超代數(shù)［J］.數(shù)學(xué)年刊，2008，29（6）：1-4.

Inner co-split Lie algebras and its uniqueness

SHEN Cai-xia
（Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

A finite-dimensional Lie algebra Lover Cis weak co-split if and only if［L，L］＝L，and each semi-simple Lis co-split.However，it is still open that if a co-split Lie algebra over C must be semisimple.In the present short note，we prove that a finite-dimensional Lie algebra over complex number field Cis an inner co-split Lie algebra if and only if it is semi-simple.Moreover，its inner co-split structure must be unique.

co-split；inner co-split；uniqueness

O 152.5 ［學(xué)科代碼］ 110·2125

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0040-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.009

2014-02-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271164）；江蘇省政府留學(xué)獎學(xué)金和江蘇大學(xué)高級人才啟動基金資助項(xiàng)目（07JDG038）.

沈彩霞（1977—），女，博士，副教授，主要從事李代數(shù)研究.