求積元法在金融工程計算領(lǐng)域應(yīng)用初探＊

楊燕曦

（湖南省直黨校 經(jīng)濟(jì)學(xué)教研室，湖南 長沙 410079）

1 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，在現(xiàn)代金融工程領(lǐng)域愈來愈重視定量的數(shù)理分析，大量的實際問題，如動態(tài)最優(yōu)定價、金融衍生產(chǎn)品的定價、投資風(fēng)險的規(guī)避等，經(jīng)過數(shù)理建模，最終都?xì)w結(jié)為對隨機(jī)微分方程（組）的求解［1－3］．這些微分方程（組）中很多都不易求得解析解，發(fā)展相應(yīng)的數(shù)值解法具有重大意義．傳統(tǒng)的數(shù)值求解方法主要包括二叉樹方法，蒙特卡洛方法、有限差分法［4］，這些方法對計算機(jī)的計算能力要求較低，計算精度不高．近年來，國內(nèi)外學(xué)者又將有限元法應(yīng)用于金融工程計算領(lǐng)域［5］，提高了計算的精度和效率，但其收斂性和穩(wěn)定性還有待進(jìn)一步研究．當(dāng)前，金融活動的風(fēng)險及復(fù)雜性進(jìn)一步加劇，數(shù)理建模得到的微分方程規(guī)模更大、復(fù)雜程度更高，有的還具有一定的非線性，迫切需要一種簡潔、準(zhǔn)確、高效的數(shù)值計算方法．

求積元方法是一種結(jié)合了高效數(shù)值積分和微分求積法二者優(yōu)勢的新的求解常（偏）微分方程（組）的高階數(shù)值方法．該方法自2007年由清華大學(xué)鐘宏志教授提出以來，在工程結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域中已得到較為廣泛地應(yīng)用［6－9］，展現(xiàn)出其相比傳統(tǒng)有限元法的獨特優(yōu)勢．

工程結(jié)構(gòu)計算分析所涉及的微分方程（組）一般均具有線性自伴隨的特性，因而具有相應(yīng)的變分形式．而對于金融工程計算分析中所涉及的微分方程（組）一般不具有自伴隨的特性，對于求積元方法的應(yīng)用還是一個新的領(lǐng)域．

針對金融工程計算領(lǐng)域的靜態(tài)一維問題，將求積元方法應(yīng)用于非自伴隨的微分方程的數(shù)值求解，建立相應(yīng)的求積元單元．選取3個典型問題進(jìn)行計算，與解析解、有限差分解和有限元解分別進(jìn)行比較，驗證求積元方法的適應(yīng)性、準(zhǔn)確性和高效性．為該方法在金融工程計算領(lǐng)域動態(tài)問題（期權(quán)定價問題）、二維問題中的深入應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．

2 一維邊值問題的求積元離散

一般地，金融工程中的靜態(tài)一維問題可用如下微分方程

和相應(yīng)的邊界條件表示，

式（1）中，u（x）為定義在區(qū)域）上的未知（待求）函數(shù)，（x）（x）分別表示對x求二階、一階導(dǎo)數(shù)．a(chǎn)1（x）、a2（x）、f（x）為已知函數(shù)．式（2）、式（3）為邊界條件．

假設(shè)未知函數(shù)u（x）可以用近似函數(shù)u（x）來表示，基于Galerkin加權(quán)殘值積分近似為零和求積元法求解思想，權(quán)函數(shù)選定為近似函數(shù)u的變分δu，令式（1）殘值在加權(quán)積分意義下為零，即

對式（4）中的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分部積分

式（5）中，b．t．?（）u表示邊界條件．

將式（5）中積分進(jìn)一步離散，根據(jù)求積元求解基本步驟，首先將待求解物理域坐標(biāo)系通過式（6）轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)域，如圖1所示，圖中1，2，3，…，N－1，N為Lobatto數(shù)值積分［10］點．

圖1 物理域到標(biāo)準(zhǔn)域映射

利用Lobatto數(shù)值積分［10］計算式（5）中的積分，

其中，N表示積分點數(shù)，右側(cè)下標(biāo)i表示該變量在積分點處的值，Hi為相應(yīng)積分點對應(yīng)的積分權(quán)系數(shù)．需指出，式（7）中導(dǎo)數(shù)均為對標(biāo)準(zhǔn)域坐標(biāo)ξ求導(dǎo)．結(jié)合微分求積法則［11］，

將式（7）中所含積分點處的函數(shù)值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)值表示為積分點處基本自由度（近似函數(shù)值）的線性加權(quán)代數(shù)和．式（8）中，為m階微分求積系數(shù)．

物理域坐標(biāo)系下Lobatto數(shù)值積分點處組成的列向量?u構(gòu)成了待求解問題的單元基本自由度，

右上角（e）即表示一個求積元單元，則

式（10）中，

其中為Kronecker符號，即

則式（7）可進(jìn)一步表示為

則式（13）中

則式（5）最終離散為

由于變分具有任意性，式（15）可轉(zhuǎn)化為一個線性代數(shù)方程組，

對于邊界條件b．t．?（）u，當(dāng)β1≠0且β2≠0時，邊界條件可表示為

可對矩陣K、F修正如下：其余元素分別與K、F一致，則式（16）轉(zhuǎn)化為

進(jìn)行求解．

當(dāng)β1＝0且β2＝0時，邊界條件可表示為

由于β1＝0且β2＝0，由式（2）和（3）可知，u1、uN為常量，

則

只需修正K、F，使其滿足式（21）即可．故修正如下：

、其余元素分別與K、F，則式（15）仍轉(zhuǎn)化為

進(jìn)行求解．其余邊界條件，如β1≠0而β2＝0，亦可類似處理．

3 實證分析

選取金融工程計算分析中較為典型的3個實例，采用求積元方法進(jìn)行計算，驗證求積元方法的準(zhǔn)確性和高效性．計算程序采用Matlab軟件編制．

3．1 壟斷動態(tài)最優(yōu)化問題

壟斷企業(yè)的目標(biāo)是尋找產(chǎn)品價格P的一條最優(yōu)路徑，從而在一個有限的時間內(nèi)［0，T］內(nèi)實現(xiàn)利潤最大化．假設(shè)這個時期足夠短，以保證固定的需求成本函數(shù)以及忽略折現(xiàn)的設(shè)定是合理的．這個問題可以通過變分法采用一個歐拉方程來描述［12］，

該方程是一個二階線性微分方程，其解析解為

將邊值條件代入式（26），可得

應(yīng)用求積元方法對該問題在t＝［0，2］定義域內(nèi)進(jìn)行求解，各時刻t價格P的計算結(jié)果與解析解的對比如表1所示．計算相關(guān)參數(shù)：產(chǎn)出函數(shù)中的系數(shù)，a＝160，b＝8，h＝100；總成本函數(shù)中的系數(shù)，α＝0．1，β＝100；P0＝11，PT＝15．由表1可見求積元方法僅需劃分1個求積元單元4個積分點（N＝4）共計4個自由度即可達(dá)到良好的求解精度，小數(shù)點后4位有效數(shù)字與解析解完全一致，體現(xiàn)出求積元方法的準(zhǔn)確性．

表1 價格P計算結(jié)果對比（1個單元4自由度）

3．2 幾何布朗運(yùn)動的首出時

考察幾何布朗運(yùn)動

在給定標(biāo)的物價格范圍內(nèi)的首出時是有實踐意義的．可以得到給定標(biāo)的物價格偏離某一確定界限的平均時間，進(jìn)而評估相關(guān)雙障礙期權(quán)的風(fēng)險．該問題可以描述為

該方程的解析解為

應(yīng)用求積元方法對該問題進(jìn)行求解，計算結(jié)果與解析解及有限元解［5］的對比如表2所示．計算相關(guān)參數(shù)為收益率a＝0．1，波動率σ＝0．2，xmin＝20，xmax＝60．由表2可見求積元僅需劃分1個單元23個積分點共計23個自由度即可達(dá)到良好的求解精度，小數(shù)點后8位有效數(shù)字與解析解完全一致，而有限元法則需要劃分99個單元共計200個自由度才能達(dá)到以上精度，求積元法的計算自由度僅約為有限元法的十分之一，而計算大規(guī)模問題時，計算自由度是影響計算機(jī)計算效率的重要因素．因此．求積元法相比有限元法具有更為高效的特點．

表2 首出時u計算結(jié)果對比

3．3 對流占優(yōu)問題

對流占優(yōu)問題在金融工程中具有很強(qiáng)的實際意義［13］，比如當(dāng)標(biāo)的物價格較低且（／或）波動率較低時，股票期權(quán)、外匯期權(quán)的定價將成為對流占優(yōu)問題．以如下的邊值問題

為例進(jìn)行說明，當(dāng)k減小時，該微分方程橢圓型方程特征逐漸減弱，雙曲型方程特征逐漸增強(qiáng)．此時，由于“對流項”主要影響方程的特性，該問題稱為對流占優(yōu)問題．

該方程的解析解為

應(yīng)用求積元方法對該問題進(jìn)行求解，計算結(jié)果與解析解及有限差分解的對比如圖2所示．計算相關(guān)參數(shù)為k＝0．002．由圖2可見，該問題的解析解曲線具有很強(qiáng)的非線性，表現(xiàn)為在［0，0．99］范圍內(nèi)非常平緩，而在［0．99，1］范圍內(nèi)急劇上升．

本例中求積元方法（QEM）共劃分8個單元，每個單元采用15個積分點，共計113個自由度，達(dá)到了較好的計算結(jié)果．而有限差分法（FDM）在劃分單元數(shù)較少時，計算結(jié)果出現(xiàn)了明顯的震蕩［5］，即使劃分200個單元（201個自由度），也存在震蕩現(xiàn)象（如圖2所示）．若采用有限元方法，得到滿意的計算結(jié)果也需要200個自由度以上［5］．相比有限差分法和有限元法，求積元法的計算自由度縮減了近一半，再次體現(xiàn)出準(zhǔn)確高效的特點．

圖2 求積元法計算結(jié)果與解析解和有限差分解對比

4 結(jié) 論

針對金融工程計算領(lǐng)域的靜態(tài)一維問題，將求積元方法的應(yīng)用領(lǐng)域從線性自伴隨微分方程的求解拓展到非自伴隨微分方程的求解．首先，基于Galerkin加權(quán)殘值法思想建立了相應(yīng)的求積元單元；之后，選取了三個典型問題進(jìn)行編程求解計算，并與解析解、有限差分解和有限元解分別進(jìn)行了比較．

計算結(jié)果表明，相比有限元方法和有限差分法，求積元方法在得到相同精度計算結(jié)果的同時，大幅減少了自由度數(shù)，提高了計算效率．對于一般性問題，僅需劃分一個單元，也可視問題的復(fù)雜性進(jìn)行多單元拼接求解．是一種準(zhǔn)確、高效和靈活的數(shù)值方法．用于金融工程領(lǐng)域的靜態(tài)一維問題計算分析有較大的優(yōu)勢，可進(jìn)一步用于該領(lǐng)域動態(tài)問題（期權(quán)定價問題）、二維問題的計算分析．

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