GPS水準中三種曲面擬合模型的對比分析

崔衛磊(貴陽市測繪院,貴州貴陽 550002)

GPS水準中三種曲面擬合模型的對比分析

崔衛磊?
(貴陽市測繪院,貴州貴陽 550002)

摘 要:在詳細論述了GPS水準中平面相關、曲面樣條、多面函數三種曲面擬合方法之上,編寫了GPS高程擬合系統軟件。最后利用四川省某地區的實測數據,對以上幾種擬合方法進行比較和分析,得到了一些有用的結論,對類似測量項目有一定的借鑒意義。

關鍵詞:GPS;水準;多面函數;平面相關;曲面樣條;對比分析

1　引 言

GPS是近些年發展起來的先進導航定位技術,但在使用GPS進行控制測量時GPS的平面坐標可以達到毫米級,而高程精度卻由于常常無法滿足施工的需要而只能采取其他方法獲取,這使得GPS測量技術的優勢大打折扣。究其原因是GPS所測高程為以參考橢球面為基準的大地高,傳統測量卻是以似大地水準面為基準的正常高。因此尋求求解大地高于正常高之間的差異,即高程異常的方法就變得尤為重要。求解高程異常的方法有重力法、GPS水準法、GPS三角高程方法、聯合平差法、轉換參數法、神經網絡法等方法。其中GPS水準方法是普遍,也是最容易實現的采用的一種方法。

2　GPS水準方法

GPS水準方法是眼下正常高的求取中最常用的一種方法,具體做法為:利用測區內已知高程異常的已知點,采用比較適宜的模型對該測區的似大地水準面進行擬合,然后求出待定點的高程異常值,進而確定整個測區的正常高。它的優點是算法相對來講還算簡單,不受中、長波項及高程系統差異等的影響,無須地球重力場方面的專門知識或數據。缺點是在山區精度會嚴重受損。

目前,比較常用的GPS水準方法除了繪等直線圖法以外主要分為曲線擬合法和曲面擬合法。曲線擬合法主要有,多項式曲線、三次樣條曲線、阿克瑪法等方法。曲面擬合法有相關平面、斜平面、多項式曲面、多面函數、曲面樣條、移動曲面等。本文將詳細論述相關平面法,多面函數法以及曲面樣條擬合法,并應用實測數據對這三種方法進行對比分析。

2.1平面相關擬合法

這種擬合法也稱為四參數曲面擬合法。基本表達式為:

f(x,y)= a0+a1x+a2y+a3xy

此方程式的關鍵就是求未知參數ai(i = 0,1,2, 3),所需公共點最少為4個。此方法的適用條件為:地形起伏不大的地區,這些地區的似大地水準面非常的緩和,大致可以用一個平面表示。

2.2曲面樣條擬合法

曲面樣條擬合法與其他擬合法相比,具有以下優點:就用于曲面樣條函數擬合的原始數據而言,它們不必按規則排列;采取自然邊界條件而不需邊界導數的信息,就可以得到任意階可微的光滑曲面:擬合后的光滑曲面通過每個已知原始數據點;用于曲面擬合的原始數據點數≥3即可。下面介紹曲面樣條函數的原理。

曲面樣條擬合法是基于無限大平板小撓度方程的數學模型,設點的坐標x、y存在如下樣條關系:

式中:

xi,yi為已知點的坐標,x、y為未知點的平面坐標。式(2)中,δ為平滑因子,一般取值為1。

由式(1)可知,當有m個已知的GPS水準聯測點時,則有m+3個未知參數,即(α1,α2,α3,F1,F2,…, Fm),而方程的個數也為m+3個,因此求解此方程組求出這些參數。當GPS水準聯測點有n個時,n＞m,可按最小二乘法求解這出這m+3個未知數,進而求出所有待定點的高程異常值。

對于式(1)的求解,最少要知道3個已知點。

2.3多面函數法

在用平面擬合法對測區進行擬合時,測區地形不能有太大的起伏,而且測區面積不能太大。如果想要得到精度較高的結果,除上述條件以外,還要求公共點分布均勻。一旦測區比增大,如果僅僅采用平面擬合法,效果就很不好。如果拿二次曲面和平面擬合法進行比較的話,二次曲面所得結果要比平面擬合法精度要高,但它也存在弊端。二次曲面為單峰曲面,無法描述整個測區。如果此時用多于兩次的曲面擬合法進行擬合,則一方面需要更多的公共點,另一方面,曲面也容易發生抖動,其結果精度也不是很高。特別是當遇到帶狀分布,且跨區較長時,如果單純地用一個面來表示,效果就很不好。此時,就可以考慮另外一種擬合方法,多面函數法。

1971年,美國的Hardy教授提出了多面函數擬合法。1976年,多面函數擬合法在測量領域開始逐步推廣,多面函數最初的提出,是為了解決由數據點組成的數學曲面這方面的難題。它的基本思想為“任何一個圓滑的數學表面總是可以用一系列有規則的數學表面的總和,以任意的精度逼近”。具體步驟為,將每一個未知點,與全部的已知點分別建立函數關系,最終處理和疊加多面函數的值,將未知點給求出來。

設待定參數為βj;平面坐標的核函數設為F(x,y, xj,yj);多面函數的函數關系式如下:

常用的F(x,y,xj,yj)的函數式為:

上式中,δ2通常被稱為光滑因子,它的取值為任意常數;k的取值有多種,通常k為±1/2。當k為1/2時為正雙曲面函數,k=-1/2時為倒雙曲面函數。

設有n個已知點(xi,yi)(i=1,2,…,n),選其中m (m≤n)個點(xj,yj)(j=1,2,…,m)為核函數的核心,并令Qij=F(xi,yi,xj,yj),則式(3)轉變為:

由此可列誤差方程式:

表示成向量的形式:

在最小二乘法的原則下,可求得:

從而求出多面函數的方程式。

多面函數法進行曲面擬合時,以下幾個問題是難點:

(1)選用什么樣的核函數。它是非常重要的,直接關系著最終結果的好和壞。通常情況下,都是取正雙曲面函數,函數式如下:

F(x,y,xj,yj)= [(x-xj)2+(y-yj)2+δ2]1/2

(2)光滑因子的確定也是一個難點,它沒有理論指導,只能不斷進行嘗試和改進。而由文獻[4][8],光滑因子可以做如下嘗試:

設x、y為已知點坐標,xi、yi為未知點的坐標,則任意兩者之間的距離為:

dij=[(x-xi)2+(y-yi)2]

設已知點數據集為A,未知點的集合為B,兩者之間距離的平方的集合為dij(A,B),則取δ=max{dij(A, B)}或更大時,一般都能夠取得比較好的精度。

(3)如何選擇核心點。多面函數的核心點有一定的要求,必須要高程異常顯著,如測區的最高點或者最低點,或者是坡度變化處。

多而函數擬合法理論是非常嚴密的,但是具體實踐起來卻有一定的難度。

3　三種曲面擬合模型的對比分析

為了對GPS水準中三種曲面擬合模型進行分析,本文利用VB,并結合Matrix VB控件編制了GPS高程擬合系統軟件。本軟件主要的模塊分為讀入起算點、讀入待擬合點、選擇檢核點、計算四部分。計算后文件小,操作方便。其中讀入起算點是將所有已知點都要輸入,而讀入待擬合點是將需要進行擬合的數據點進行輸入。選擇檢核點,是對擬合點和檢核點進行區分的階段。如圖1、圖2所示:

圖1　高程擬合系統主界面

圖2　高程擬合計算結果圖

3.1數據來源

數據來源于四川省成都市下轄某地區控制網數據的一部分。該地區為成都市東部主城區,交通便利。所選的整個測區呈面狀分布,暫將該地區命名為A測區,測區長約25 km,寬約8 km,總面積有160.4 km2,海拔在500 m左右,地勢起伏不大,高差在50 m左右。整個測區共布設D級GPS控制點30個,并且全部用三等水準進行聯測。每點的間距在6 km左右。

3.2方案1對比分析

方案1:以整個A測區為研究對象均勻選取12個控制點參加擬合,剩下的18個點作為檢核點,分布圖如圖3所示,擬合點之間的點位間距平均在6 km左右。分別采用平面相關擬合法、多面函數法、曲面樣條擬合法對測區控制點進行擬合。

圖3　方案1擬合點分布圖

經過擬合,18個檢核點采用三種擬合方法所得的擬合結果的殘差圖如圖4所示,各個檢核點的殘差結果如表1所示。

圖4　方案1檢核點殘差圖(單位/ m)

方案1檢核點殘差表 表1

由表1及圖4可以看出:多面函數擬合法和曲面樣條擬合法擬合精度比較高,平面相關擬合法精度比較低,三者中多面函數的精度最高。說明在地勢比較起伏不大的地區, 160 km2以下的區域,只要控制點分布均勻合理,多面函數和曲面樣條都可以滿足精度要求,但平面相關擬合法在面積比較大的情況之下,所受影響比較大。

但是平面相關擬合法相比另外兩種擬合方法來說,建模比較簡單,程序更容易實現。因此做出以下探討。縮小測區的范圍,分別采用多面函數和平面相關進行擬合。

3.3方案2對比分析

方案2:從整個測區中選出一部分,命名為B測區,總體面積約有80 km2,所選測區總共30個點,選擇7個進行擬合,其余23個進行檢測,分布圖如圖5,采用平面相關法和多面函數法進行擬合。擬合結果的殘差圖如圖6所示,各檢核點的殘差如表2所示。

由表2及圖6可以看出:隨著面積的減小(實驗數據由160 km2變為80 km2,密度保持基本不變),平面相關擬合的精度有了很大提高(大部分小于0.4 cm),跟多面函數擬合出來的結果相差不是特別的大。因此可以說在精度要求不太高的測繪項目之中,在與實驗地形條件類似的情況下,這種擬合方式可以應用。

圖5　方案2擬合點分布圖

方案2檢測點殘差表 表2

圖6　方案2檢測點殘差圖(單位/ m)

4　結 論

在測區起伏不大,且面積較小時,多面函數、平面相關法都能夠達到比較好的擬合結果。但是隨著測區面積的增大,平面相關擬合法效果要遠低于多面函數和曲面樣條擬合法,甚至達不到精度要求。對三種曲面擬合方法來講,面積是一個比較重要的因素。但是面積對平面相關擬合法的影響要遠遠大于對多面函數和曲面樣條擬合法的影響。

進行高程擬合時,如果能夠選用合適的擬合模型,就能夠達到滿足施工需求的精度。但是這種高程點能夠用于一般的施工控制測量,但是不能用于高等級的控制點。另外,在高程擬合的時候,為了便于發現錯誤,可以將擬合數據與實驗數據互相檢查。

參考文獻

[1] 徐紹銓,張華海,楊志強等.GPS測量原理及應用[M].武漢:武漢測繪科技大學出版社,1998.

[2] 陶本藻.GPS水準似大地水準面擬合和正常高計算[J].測繪通報,1992(4).

[3] 李曉恒.GPS水準擬合模型的優選[J].測繪通報,2003 (7):11～13.

[4] 徐紹銓,李振洪,吳云孫.GPS高程擬合系統的研究[J].武漢測繪科技大學學報,1999(4):336～339.

[5] 趙生金,孫德厚.采用移動擬合法進行GPS網高程擬合的探討[J].城市勘測,2007(2):23～25.

[6] 鐘波,羅志才,呼旭.兩種GPS水準綜合模型的比較研究[J].測繪信息與工程,2007,32(2):14～16.

[7] 馬洪賓,董仲宇.多面函數GPS水準高程擬合中光滑因子求定方法[J].東北大學學報·自然科學版,2008(8): 1176～1191.

[8] 崔衛磊.GPS高程擬合模型的研究及應用[D].成都理工大學,2013.

[9] 楊江波,李為樂,余代俊等.GPS高程擬合方法的實驗研究[J].測繪科學,2009(5):54～56.

Comparison and Analysis on Three Kinds of Curved Surface Fitting Model of GPS Leveling

Cui Weilei
(Guiyang Surveying and Mapping Institute,Guiyang 550002,China)

Abstract:This paper discussed in detail three kinds of surface fitting method,that was plane related,surface spline, polyhedral function of GPS leveling,And then edited the software of GPS elevation fitting system.Finally,it used the actual data of a region of Sichuan Province by close comparison and analytic study obtaining some useful conclusions,what had some reference significance to similar measurement project.

Key words:GPS;leveling;plane related;surface spline;polyhedral function;comparative analysis

文章編號:1672-8262(2015)01-85-04中圖分類號:P228

文獻標識碼:A

收稿日期:?2014—10—12

作者簡介:崔衛磊(1985—),男,碩士,主要從事測繪技術工作。