淺談常微分方程中的換元思想

彭廷　王增戰　焦雪松

【摘 要】常微分方程就是含有未知函數導數或者微分并且未知函數是一元函數的方程。常微分方程是高等數學中一類很重要的方程。換元思想是解決數學問題中的一種重要思想。在有些數學問題中，變量關系在形式上可能比較隱蔽，邏輯聯系從表面上很難看出，或者是形式特別復雜進行直接求解會有很多困難，這時候我們可以利用換元思想對它的變量進行適當的代換，化繁為簡，把困難的問題簡單化，可以很好地解決一些有難度的題目，同時也可以提高我們的思維。

【關鍵詞】常微分方程；換元思想；高等數學

一、引言

常微分方程是微分方程中的一個很重要的分支，它和經典的動力學是同源的。運用新的簡單地未知量或者變量來替換原來的復雜的變量或者未知量，求出新的變量或者未知量，再利用替換的關系式把原來的變量或者未知量求出來，這就是換元法。換元法通常就是把復雜的關系式用簡單的“新元”代替，把復雜的問題簡單化，可以比較容易地找到解題的思路。在數學教學過程當中，交給學生最主要的就是一些數學解題思想，使學生的思維可以得到鍛煉。

二、常微分方程

微分方程的技術和理論最早是出現在牛頓對天體力學中行星的運動和軌道的研究，牛頓發表的《自然哲學的數學原理》這本書中提到的不僅僅是萬有引力的動力學研究，還首次創立了積分法和微分法以及一種全新的數學技術微分方程，它打破了傳統的只是把孤立的量當成運算對象的數學思想。常微風方程是物理學家對動態世界特別是天體世界進行描述的一種最最要的工具，是在人類對于天體的探索和對自然的探索和改造的過程中發展起來的。它不但是數學分析中的一種延續，更是數學微分幾何以及偏微分方程學習的基礎。掌握常微分的解題方法和思維是具有重要意義的。常微分方程主要包括一階隱式微分方程和高階方程等。

三、利用換元思想解決常微分方程問題

例如，在求解方程x2=yˊ的通解的時候，可以令yˊ=tant，x=sint，于是原來的方程參數形式就變為：

所以dy=tantcostdt=sintdt.

通過對上面式子進行積分可得y=-cost+c

所有原來的方程參數通解就變成了

又例如對于方程y=y′2-xy′+1/2x2的通解時，可以令x=x， y′=P，原方程就變成了：

所以（x-p）dx+（2p-x）dp= pdx.對于這個方程同學們就可以很好地解決了。

通過對上面的例子我們可以看出，如果不利用換元思想的話，對于原方程的求解根本不知道怎么下手，如果利用換元思想把原方程的變量變成我們所熟悉的tant和sint，就可以對原方程轉化為我們所熟悉的形式，對于熟悉的東西我們就可以很好地進行解決了。這樣不但幫助學生很好地解決了問題，還可以增強學生學習數學的信心。數學是一門比較難學的課程，如果在學習中遇到困難就和容易打擊學生的自信心，從而更學不好數學這門課程。所以在學習數學時利用換元思想或者利用一些別的數學思想可以使問題簡單化，不但問題得到了解決，同學們對于數學的學習興趣可以得到提高，只有在有趣味的學習中才能真正體會到學習的樂趣，不是為了學習而學習更能學好知識。

四、在常微分方程中應用換元思想應該注意的問題

利用換元思想解決數學問題的原則就是把復雜難解的問題變得簡單容易解決，把不熟悉的東西以某種形式變成我們所熟悉的東西，從而更好地解決問題，但是我們需要特別注意的是我們引入新的變量的范圍的確定，如果變量的范圍沒有得到正確的確定，那么就算解題過程都是正確的，真正意義上這道題的解法也是錯誤的。新的變量它受到的限制條件是要根據題目中的條件去驗證的，很多同學在解題過程中都會忽視這一個步驟。

五、結語

在解決數學問題的過程當中，換元法發揮著重要的作用，換元思想更應該是在數學教學中對學生培養的重點思想，學生學會應用換元思想可以提高學生學習的興趣，增強學生對于數學學習的興趣。對于一些較難的題目，可以對問題的結構特點進行仔細觀察，對于問題進行深入分析，從而把問題隱含的條件找出來，利用換元的方法，綜合各方面的綜合知識把問題很好地解決。換元思想是解決數學問題的一種有效、重要的思想。

參考文獻：

[1]何彩香，張媛祥.換元思想在解高數題中的應用[J].大理學院學報.2013，45（03）：87-88

[2]阿拉坦倉，黃俊杰.民族地區綜合性大學常微分方程教學探析[J].中國大學教學，2012，12（23）：52-53

[3]王高雄，周之銘等.常微分方程[M].北京：高教出版社，2006（第3版）

作者簡介：

彭廷（1989～），女，陜西省西安市人，工作單位：西安文理學院，職務：學生，研究方向：數學。