一道“希望杯”競賽題的再賞析

郭好過

【摘要】本文就第25屆“希望杯”初三第1試題從不同的角度給出三種解法，分別運用方程思想、面積法、相似三角形的性質破解問題，并發現和揭示了該競賽題的一個多余條件，旨在培養學生多角度分析問題、解決問題的能力和嚴密的邏輯推理能力，提高學生的數學綜合素養。

【關鍵詞】希望杯 ?競賽題 ?解法 ?賞析

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）09-0131-01

題目：如圖1，在四邊形中ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，AD=CD=5，AB=7，BC=1，則BD= ? ? ? 。（第25屆“希望杯”初三第1試）

這里從不同的角度再給出三種解法，供讀者參閱。

解法1 ?如圖2，連接AC，過點D作DE⊥AB于點E，則∠DEB=∠DEA=90°。

因為AD=CD，∠CDA=90°，

所以∠ACD=45°。

因為∠ABC=∠CDA=90°，

所以A、B、C、D四點共圓。

由同弦所對的圓周角相等，得∠ABD=∠ACD=45°.

于是△BDE為等腰直角三角形。所以ED=EB。

設ED=EB=x，則AE=7-x，DB=x。

在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2，即x2+（7-x）2=52。解得，x=4或3。

因為∠EAD>∠ADE，所以ED>AE，即x>7-x。于是x>3.5。

因此x=3應舍去，x=4符合題意。所以BD=x=4。

評注 ?在上述解法中，始終未用到已知條件“BC=1”，可見該條件是多余的，其實在三個條件：“AD=CD=5，AB=7，BC=1”中，已知其中的兩者，就能求出第三者。

解法2 ?如圖2，連接AC，過點D作DE⊥AB于點E，則△AED為直角三角形，四邊形BCDE為直角梯形。

因為AD=CD，∠CDA=90°，所以∠ACD=45°。

因為∠ABC=∠CDA=90°，所以A、B、C、D四點共圓。

由同弦所對的圓周角相等，得∠ABD=∠ACD=45°，于是△BDE為等腰直角三角形。所以ED=EB。

設ED=EB=x，則AE=7-x，DB=x。

因為S四邊形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE=S△ACD+S△ABC，所以x（7-x）+，（1+x）x=×5×5+×7×1，解得，x=4。所以BD=x=4。

解法3 ?如圖3，過點A作AE⊥DB于點E，過點C作CF⊥DB于點F，則∠AED=∠DFC=90°，∠AEB=∠ADB=90°。

因為，∠DAE+∠ADB=∠CDB+∠ADB=90°，所以∠DAE=∠CDB。

又AD=CD，所以△AED≌△DFC（AAS）。所以AE=DF。

因為∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠ABE=90°，所以∠BAE=∠CBD。

又∠AEB=∠BFC，所以△AEB∽△BFC。

于是=即=，所以BF=。

設AE=DF=x，則BF=，BD=。

在Rt△DFC與Rt△BCF中，CF2=CD2-DF2=BC2+BF2，所以52-x2=12+2。解得，x=。所以BD=x=4。

參考文獻：

[1]姜照華.賞析一道“希望杯”競賽題[J].數理天地（初中版），2014，09.