導數與不等式聯姻的解決策略

孫建山

（江蘇省六合高級中學）

例1.（2008 江蘇高考數學第14 題）f（x）=ax3-3x+1 對于x∈［-1，1］總有f（x）≥0 成立，則a=______.

解法1（分離參數）：由題意可得：ax3≥3x-1 在x∈［-1，1］上恒成立.

（1）當x=0 時，不等式顯然恒成立，此時a∈R.

綜上：a=4.

此解法通過分離參數轉化成a≥h（x）或者a≤h（x），然后求h（x）的最值，當然有些題目也可以轉化成ag（x）≥h（x）或者ag（x）≤h（x）［也就是說不需要把與a（也可能是關于a 的參數團）相乘的關于a 的代數式都除到另一邊］，當然ag（x），h（x）最好是我們比較熟悉的一些函數，然后通過圖像等方法求出a 的數值或者范圍.

此解法并未上來就求導討論導函數的符號，而是通過取特值先適當縮小參數a 的范圍，然后再求導，這樣在許多的情況下可以適當簡化討論.

例2.（2015 山東高考數學理第21 題）設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；

（2）若坌x＞0，f（x）≥0 成立，求a 的取值范圍.

此解法借助導函數的符號確定參數的取值范圍，然后對參數取值范圍以外的部分進行分析驗證其不符合題意，即可確定所求參數的范圍.解法1 和解法2 同樣適用此題.

下面筆者選兩題可供讀者練習：

1.（2010 新課標第21 題）設函數f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；

（2）若當x≥0 時f（x）≥0，求a 的取值范圍.

2.（2012 天津理第20 題）已知函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0.

（1）求a 的值；

（2）若對任意的x≥0，有f（x）≤kx2成立，求實數k 的最小值.