基于半實值Capon的高效波達方向估計算法

閆鋒剛王 軍*沈 毅金 銘

①(哈爾濱工業大學(威海)信息與電氣工程學院 威海 264209)

②(哈爾濱工業大學航天學院 哈爾濱 150001)

基于半實值Capon的高效波達方向估計算法

閆鋒剛①王 軍*①沈 毅②金 銘①

①(哈爾濱工業大學(威海)信息與電氣工程學院 威海 264209)

②(哈爾濱工業大學航天學院 哈爾濱 150001)

子空間類超分辨波達方向(DOA)估計算法需預先估計信號個數，當信號個數估計錯誤時，其性能會嚴重下降。該文提出一種新穎的半實值Capon(SRV-Capon)DOA估計算法。該算法繼承了Capon算法無需信號個數估計的優點并克服了現存實值算法僅適用于中心對稱陣列(CSA)的缺點。相比于Capon算法，SRV-Capon僅利用陣列接收數據協方差矩陣的實部求逆構建空間譜函數，實現了譜值計算的半實值化并將譜搜索的范圍壓縮至原來的一半，從而至少降低約75%的計算量。理論分析和仿真實驗證明了該算法的有效性。

波達方向估計；信號個數；半實值Capon；任意陣列結構

1 引言

以多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)[1]和旋轉不變子空間(Estimate Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)[2]為代表的子空間類算法是信號波達方向(Direction-Of-Arrival, DOA)估計的最重要方法之一。這類算法根據已知信號個數，利用信號子空間和噪聲子空間之間的正交性估計DOA[3?5]。由于信號子空間和噪聲子空間在無噪模型下是完全正交的，因此子空間類算法理論上可對無限靠近的兩個目標實現分辨。

雖然子空間類算法具有優良超分辨估計性能，但它們幾乎均需已知信號個數作為先驗信息。通常，信號個數可通過信息論準則[6]、功率估計[7]、聲矢量傳感器法[8]、杰克利弗重采樣[9]等技術估計得到。但是，上述算法受噪聲模型、快拍數及信噪比(Signalto-Noise Ratio, SNR)的影響，會出現信號個數估計錯誤的現象，進而使得子空間類算法的估計性能嚴重下降，甚至無法正常工作[10]。

為了避免信號個數估計，Capon提出了最小方差譜估計算法(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)[11]。該算法需要對陣列輸出協方差矩陣(Array Output Covariance Matrix, AOCM)求逆，同時以復數運算計算空間譜值，計算量異常龐大。雖然近年來產生了實值酉變換Capon[12]、類多重信號分類(MUSIC-Like)[13]等各種無需信號個數估計的新算法，但這些算法或需假定特殊的中心對稱陣(Centro-Symmetrical Array, CSA)結構，或仍以復數運算估計DOA，難以在陣列結構的普適性和算法的高效性之間取得兼容[14]。

本文在分析Capon算法的基礎上，提出了一種適用于任意陣列結構的半實值Capon(Semi-Real-Valued Capon, SRV-Capon)算法。相比于經典Capon算法，SRV-Capon只需對AOCM實部(Real part of AOCM, R-AOCM)求逆，并且縮小了一半的空間譜搜索范圍，因而至少降低了約75%的計算量。理論分析和仿真實驗表明：SRV-Capon算法不需要信號個數估計，同時在小快拍數下表現出優于Capon算法的估計性能。

2 信號模型及相關算法

2.1 信號模型

設xoy平面上由M個陣元組成的線陣各通道獨立且附加加性高斯白噪聲(AGWN)，設空間有K個信號，定義DOA為信號來向與陣列法線的夾角θ，則陣列一次快拍接收數據可表示為[1-5]

式中，x(t)∈?M×1是接收數據向量，s(t)∈?K×1是信號向量，n(t)∈?M×1是AGWN向量，A(θ)∈?M×K是導向矢量矩陣且導向矢量a(θk)∈?M×1定義為

其中，ω?2πsinθk/λ,xi(i=1,2,…,M)是第i個陣元坐標，λ是中心波長，j?(?1)1/2。ACOM定義為

式中，ξk,k∈[1,K]和分別為R的K個大特征值及AGWN的功率，uk和vk分別為ξk和對應的特征矢量，Λs和Λn是分別以ξk,k∈[1,K]和為對角元素的對角矩陣。由矩陣的列向量分別張成的子空間span(S)和span(G)分別稱為信號子空間和噪聲子空間。實際中，受AGWN的影響，可利用L快拍接收數據得到估計值：

2.2 MUSIC算法

根據子空間正交性，MUSIC算法構造空間譜：

并在[?π/2,π/2]搜索使得fMUSIC(θ)出現極大值的K個入射角，它們即為信號DOA。MUSIC算法的最大優點是分辨率高，能適用于任意陣列結構，但其需要先驗已知信號K，當K估計錯誤時，MUSIC算法的性能會嚴重下降，甚至無法工作[10]。

2.3 Capon算法

為了避免信號個數估計，Capon在波束形成的框架下，建議在DOA方向保持陣列增益不變，通過抑制噪聲和干擾信號使得陣列輸出功率最小化[11]，從而提出了如式(8)的優化問題：

利用Lagrange乘子法易求得式(8)的最優權矢量為wopt= R?1a(θ)/aH(θ)R?1a(θ)，進而可得

的Capon空間譜。搜索[?π/2,π/2]，使fCapon(θ)出現極大值的角θ即為DOA。

3 SRV-Capon算法

由上述分析可見：作為超分辨算法的典型代表，MUSIC 需估計信源數目并對AOCM進行EVD，而且該算法對快拍數的要求遠超Capon[15]。Capon直接利用逆AOCM估計DOA，有效解決了子空間類算法因信號個數估計而引起的性能下降問題，但該算法不具有超分辨性能，其對靠近目標的分辨能力較差。另外，MUSIC和Capon均需在角度空間進行遍歷搜索，因而計算量均很大。為了結合二者的優點，文獻[15]提出了一種m-Capon 算法，但其包含AOCM的高階冪運算，計算量相比于Capon顯著增加。

由于a(θ)∈?M×1,G ∈?M×(M?K)且R∈?M×M，故MUSIC算法和Capon算法中的所有運算都是基于復數操作完成的。眾所周知，一次復值運算包含了4次實值運算，因此實值運算相比于復值運算可節省約75%的計算量。如果能夠利用實值或半實值運算代替Capon算法中的復值運算，則能明顯提高算法的計算效率，這正是SRV-Capon算法的出發點。

因為信號子空間和噪聲子空間互補正交，所以有SsSH+GGH=IM, SHSs= IK,GHGs=IM?K以及SHG=0。由此，容易驗證：

其中，對角矩陣BSNR定義為

其中SNRk?ξk/為第k,(k∈[1,K])個輻射源的信噪比。高信噪比(SNR?1)下，BSNR≈0，從而有

由式(7)，式(9)及式(12)可知Capon算法和MUSIC算法存在關系：

現在，考慮R-AOCM逆。利用Woodbury公式[16]：

可得

由式(12)和式(15)可知在高信噪比下，有

其中

式(17)表明：在高信噪比下，矩陣Re?1(R)的每一列均是矩陣GGH列的線性組合。注意到GGH是子空間span(G)的投影矩陣，因而必定有

注意到式(15)中R和*R順序可交換，因此，

其中，R?*?(R*)?1。

由式(12)和式(19)知在高信噪比下，亦有

式(20)表明：在高信噪比下，矩陣Re-1(R)的每一列均是矩陣G*GT所有列的線性組合。同樣注意到矩陣G*GT是子空間span(G*)的投影矩陣，因而必定有

據式(20)可定義如下所示的SRV-Capon空間譜：

聯立式(18)和式(21)，可得

由于a(θ)∈?M×1而Re?1(R)∈?M×M，故SRVCapon空間譜值的計算包含了復數和實數的混合運算，本文不妨將這種混合運算稱為半實值運算。根據子空間正交性及式(22)不難理解：在信號波達方向θk,k∈[1,K]處有fSRV-Capon(θk)=∞。另一方面，由于Re?1(R)∈?M×M，故在波達角θ,k∈[1,K]的對

k稱方向?θk,k∈[1,K]處亦有fSRV-Capon(θk)=∞。因此，SRV-Capon空間譜能夠在波達角θk,k∈[1,K]及其對稱角?θk,k∈[1,K]處同時產生譜峰。SRVCapon的這種譜峰對稱性使我們可將空間譜峰搜索范圍從整個空間譜壓縮至半譜范圍內，從而提高算法的計算效率。由于SRV-Capon在左半譜或右半譜內會分別產生K個空間譜峰，因此SRV-Capon同樣無需進行信號個數估計。

SRV-Capon空間譜的上述特性使得本文可以借助高效半實值運算快速估計信號DOA，這就是本文提出的SRV-Capon算法，其實施步驟如表1所示。

由表1中的實施步驟可見：SRV-Capon算法先以fSRV-Capon(θ)譜峰對稱性壓縮了一半的搜索范圍，接著通過半譜搜索得到可能的DOA或DOA鏡像。由于fCapon(θ)僅在真實DOA方位才會出現譜峰，因而SRV-Capon算法最后以Capon排除虛擬DOA，從而解決了估計模糊問題。對于本身鏡像的輻射源，不難理解SRV-Capon算法也不存在估計模糊問題。

表1 SRV-Capon算法

4 計算量分析

設Q為[?π/2,π/2]角度范圍的搜索點數，表2給出了經典MUSIC算法、Capon算法、m-Capon算法[15]以及本文提出的SRV-Capon算法的計算量對比情況。其中，算法計算量均以算法所包含的實數乘法次數表示。單元4×O(M2K)給出了計算復矩陣R的逆或EVD所包含的實數乘法次數[16]。SRVCapon算法由于需同時求解R及Re(R)的逆，故其包含5×O(M2K)的計算量單元。

表2 不同算法的計算量(實數乘法次數)對比

通?？臻g譜搜索點數遠大于陣元數，即Q?M[5,14]。由表2不但看出：本文提出的SRV-Capon算法引入了半實值運算，同時只需對[?π/2,0]或[0,π/2]的空間譜范圍進行搜索，其相比于經典Capon算法約降低了75%的計算量。

5 仿真試驗

為了說明本文所提算法的有效性和可行性，以計算機仿真驗證SRV-Capon 的功能和性能并與Capon及MUSIC作對比分析。其中，角度估計最小均方誤差(Root Mean Square Error, RMSE)中，引入了非限制克拉-美羅下界(Unconditional Cram?r-Rao Lower Bound, CRLB)[17]。選取各向半波長均勻線陣，各試驗結果均為500次蒙特卡羅的統計平均。對于信號入射角θ估計值θ?的RMSE定義為

仿真1 MUSIC, Capon及SRV-Capon空間譜對比

為了驗證SRV-Capon算法基本功能的正確性，圖1給出了經典MUSIC, Capon以及SRV-Capon的空間譜對比情況。試驗選取位于θ1=?20°及θ2= 40°的兩個非相干信號源，陣列及仿真參數如圖標所示。

由圖1可見：經典MUSIC和Capon僅在真實信號入射方向(?20°和40°)處產生了對應譜峰，但SRV-Capon不但在?20°和40°而且在它們的鏡像對稱方向(20°及?40°)同時產生了譜峰。因此，只需搜索SRV-Capon的左(或右)半譜即可快速定位譜峰位置，然后經過相關“表1 SRV-Capon算法步驟3”相關峰值檢驗處理即可最終得到真實波達角估計。

仿真2 算法在高SNR和大快拍數下的性能對比

考察3種算法在高SNR和大快拍數下的性能，如圖2和圖3所示。其中，DOA為θ1=30°及θ2= 50°。

由圖2和圖3可見：在高信噪比和大快拍數下，本文提出的SRV-Capon算法估計性能略差于經典Capon算法，但相差不大。隨著信噪比和快拍數增大，3種算法的RMSE均急劇下降并趨向于CRLB。另一方面，由圖3可見：在快拍數較小時，SRVCapon表現出了略優于經典Capon算法的估計性能。

仿真3 算法在低SNR和小快拍數下的性能對比

為了進一步確認圖3反映出的SRV-Capon在小快拍數下估計性能優于經典Capon的現象，選取低SNR和小快拍數環境考察3種算法的性能，結果如圖4～圖6所示。實驗選取的信號DOA為θ1=30°及θ2=50°。

由圖4可見：當SNR＜0 dB時，SRV-Capon估計性能略差于經典Capon，但當SNR＞0 dB時，新算法表現出與經典Capon算法幾乎一致的估計性能。由圖5可見：在小快拍數下，本文提出的算法確實略優于經典Capon，這與圖2結果一致。由圖6可見：在小快拍L=20下，經典Capon出現了偽峰，這進一步證實了本文算法在小快拍數下相比于Capon的優越性能。小快拍數下信號高度相關，導致協方差陣秩虧且其相比于協方差實部秩虧更為嚴重，這可能是SRV-Capon在小快拍下性能優于Capon的原因所在。

仿真4 算法計算效率對比

考察3種算法在不同陣元數下完成信號DOA估計的計算效率。選取位于θ1=20°及θ2=40°的兩個輻射源，空間譜搜索間隔為0.013°。以Intel(R) Core(TM) Duo T5870處理器、2.0 GHz CPU, 1 GB內存PC平臺運行3種算法的Matlab程序，記錄仿真時間隨陣元數變化曲線，結果如圖7所示。

圖1 空間譜對比，M=10, SNR=10 dB, L=100

圖2 θ2RMSE隨高信噪比 變化情況，M=8, L=100

圖3 θ1RMSE隨大快拍變化 情況，M=8, SNR=10 dB

圖4 θ1RMSE隨低信噪比變化情況，M=10, L=50

圖5 θ2RMSE隨小快拍數變 化情況，M=10, SNR=5 dB

圖6 小快拍下5次空間譜疊加， M=18, SNR=5 dB, L=20

由圖7可見：本文提出的SRV-Capon算法計算效率最高，其消耗的仿真時間約為經典Capon算法的25%。隨著陣元數增加，SRV-Capon算法相比于Capon算法計算效率越發明顯。

圖7 仿真時間與陣元數關系，SNR=5 dB, L=100

6 結束語

本文將實值運算和陣列結構的任意性折中，提出了一種基于半實值運算的高效率SRV-Capon算法。新算法不需要預先估計信號個數，同時相比于經典Capon算法約降低了75%的計算量，從而為實時DOA估計提供了一定的理論參考。

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閆鋒剛： 男，1982 年生，博士，講師，研究方向為陣列信號處理、遙感圖像處理、統計性能及時頻域分析等.

王 軍： 男，1976 年生，博士生，講師，研究方向為壓縮感知雷達信號處理、極化信號處理等.

沈 毅： 男，1965 年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為智能檢測與控制、數字超聲成像以及信號處理等.

金 銘： 男，1968 年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為雷達對抗、空間譜估計、極化敏感陣列信號處理等.

Efficient Direction-of-arrival Estimation Based on Semi-real-valued Capon

Yan Feng-gang①Wang Jun①Shen Yi②Jin Ming①

①(School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China)

②(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Subspace based Direction-Of-Arrival (DOA) estimators require usually the number of sources to be known in advance. If the number of sources is incorrectly estimated, the performance of those methods is able to deteriorate significantly. This paper presents a novel efficient Semi-Real-Valued Capon (SRV-Capon) algorithm for DOA estimation with unknown number of signals. Compared with state-of-the-art real-valued techniques suitable for only Centro-Symmetrical Arrays (CSAs), the proposed method can be used with arbitrary arrays. Unlike conventional Capon with heavy complex computations, SRV-Capon exploits only the real part of the array output covariance matrix, leading to a real-valued spectral search over only half of the total angular field-of-view, which hence reduces about 75% computational complexity. Theoretical analysis and simulations demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

Direction-Of-Arrival (DOA) estimation; Signal number; Semi-Real-Valued Capon (SRV-Capon); Arbitrary array configuration

TN911.7

： A

：1009-5896(2015)04-0811-06

10.11999/JEIT141034

2014-08-01收到，2015-01-20改回

山東省自然科學基金(ZR2014FQ003)和哈爾濱工業大學(威海)?？茖W研究基金(HIT(WH)201411)資助課題

*通信作者：王軍 hitwangjun@126.com