極限無縫隙論（續）

【關鍵詞】極限可以表示為、數列的上升趨勢的極大限制值、數列下降趨勢的極小限制值。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0220-03

關于數學極限定義的發展歷史，北京大學數學科學學院一年級目前使用的課本數學分析（第一冊）的31面這樣寫道：“……，其實，給出其精確的定義并非一件易事，經過眾多數學家的不懈努力和不斷探索，直到19世紀才有了數學上的如下定義：”這里所說的如下定義就是當前世界上各大學理工師范財經等專業所用的數學分析課本里使用的極限定義。

從19世紀以來，在世界各大學已用了一、二百年了，對于這個傳統性定義，師生們都覺得難教難學，傳統性定義詞句敘述別扭。而今我用極限無縫隙論，用極限表示數列上升趨勢里的極大限制值、下降趨勢里的極小限制值，引入極限概念，并形象的給出其定義。

請看如下：

（一）“數列f（n）無縫隙靠近于某常數A”及其檢驗方法。

請看例題1：比較數列f（n）={3+ }和常數3之關系。

再看例題2，比較數列f（n）={4+ }和常數3之關系。

解：通過畫圖，可以看出數列f（n）隨著項數n的增大，也是越來越靠近于數3的（你總不能說f（n）越來越遠離于直線y=3的吧）但是這種靠近和例題1的靠近是截然不同的。

所以對于任意小的L>0，數列f（n）= {3+}從第[lg]項起以后所有的一切項使得數列f（n）與數3的距離都小于L，簡單來說，這就是任意小的距離L，都存在著數列f（n）={3+}的項，因而數列f（n） ={3+}與數3不存在任何空隙，不存在任何縫隙。也就是說數列f（n）是無任何間隙的、是無縫隙的靠近于常數y=3的。

這樣，從以上我們便得出考查數列f（n）是無縫隙的靠近于某常數A的方法是：用從數列f（n）到直線y=A的距離小于任意小的正數L的不等式，|f（n）-A|

（二）對極限原由的探索：極限可以理解為數列f（n）上升趨勢里的極大限制值，下降趨勢里極小的限制值。

我們考查如下幾個數列：

例題1、數列f（n）={3-}n∈N+，a 1=2.9 ， a2=2.99 ， a3=2.999 ， a4=2.9999， a5=2.99999，a6=2.999999……，變化趨勢是逐漸上升的，f（n）無縫隙的靠近于3，但不等于3，極大限制值是3。簡稱極限是3。

例題2、數列f（n）={3+ }， n∈N+ ，a1=3.1 ， a2=3.01 ， a3=3.001 ， a4=3.0001 ， a5=3.00001， a6=3.000001變化趨勢是逐漸下降，無縫隙的靠近于3，但又不等于3，極小限制值是3。簡稱極限是3。

f（n）的值忽而大于3，忽而小于3，在這里數列f（n）存在著兩個變化趨勢。一個是在直線y=3的上方是下降趨勢，在直線y=3的下方是上升趨勢，在這兩個趨勢里，在下降的趨勢下，y=3是f（n）的極小限制值。在上升的趨勢下，y=3是數列f（n）的極大限制值。綜合以上常數y=3是數列f（n）的下降趨勢的極小限制，f（n）上升趨勢的極大限制，簡稱為極限。像上面數列f（n）的極限是3，f（n）不外乎是從直線y=3的上（下）方一側無縫隙的靠近于y=3的，也可能從直線y=3的上、下兩側同時無縫隙的靠近y=3的，別無他樣了。就這樣它們都被統一在下降（上升）趨勢里的極小（大）限制里了，簡稱極限。它們都被統一在極限概念之下了。（至于一般數列f（n）或函數的極限是A，也是同這一樣。）

（三）f（n）極限是A；數列f（n）無縫隙靠近于A；|f（n）-A|

上面引入了極限的概念。例如數列f（n）={3+}的極小限制值是3，f（n）的極限是3。數列f（n）的極限是3也好，數列f（n）無縫隙的靠近于3也罷，它們都是在數列f（n）的項數n無限制的增大時才呈現出的一種景象，這兩個景象是一致的，是相同的，是等價的。

從而一般的說來，“數列f（n）的極是A”；“數列f（n）無縫隙的靠近于A”，“不等式|f（n）-A|

（四）極限的定義（描述性）

由于數列f（n）的極限是A和數列f（n）無縫隙地靠近于常數A，二者是等價的，所以我們可以引用極限的定義如下：

已知數列f（n），又已知一個常數A，如果f（n）隨著項數n的無限制增大，f（n）無縫隙的靠近于常數A，那么常數A就叫做數列f（n）的極限。這個描述性定義，只是用于理解極限的概念之用，但不能參于算式的計算，所以還必須有極限嚴密性的定義。

（五）數列f（n）梁齊天極限的（嚴密性）定義

由于“數列f（n）的極限是A”和“對于任意小的正數L，|f（n）-A|

已知數列f（n），n∈N+，又已知一個常數A，若對于任意小的正數L，都能從f（n）與數A的距離|f（n）-A|小于L的不等式|f（n）-A|

f（n）的極限是A，就稱數列f（n）收斂于A，若A不存在，則稱f（n）發散，或稱無極限。

（六）極限的幾何解釋

所以從第[lg ]項起以后所有各項皆隱藏在這個“L”的距離里，因而“L”不是空隙了。這樣f（n）與數3不存在什么空隙了?，F在我們進一步討論無縫隙靠近的情況。

我們可以再令代入到n>[lg ]里去，就是分數的母子一顛倒，搖身一變便成了n>lg1000=3， n>lg10000=4， n>lg1000000=6，……n>10000……，這就是說從第3項起、第4項起、第6項起，……第一萬項起……以后，所有一切的項都有|3+ -3|<，|3+ -3|<，|3+ -3|<……；|3+ -3|<……，成立。

也就是說從第3項起、第4項起、第6項起，……第一萬項起，……以后所有各項，所有的一切項都統統地有序地被逼近到直線y=3上、下兩旁，但是就不能觸碰落到直線Y=3上，（讀者自己可以證明）。數列f（n）之這些項被逼近在以直線y=3上、下兩旁，（對于數列f（n）= {3+}只在y=3上旁，數列f（n）= {3-}只在y=3下旁）被逼近在一個以直線y=3為中軸線、向上、向下各延伸L個單位，總寬為2L，長度為足夠長的長方形、條帶形里，被覆蓋、被關閉在寬度為2L，寬度無限制地變窄的條形長帶里，f（n）被有序地，無限制地被逼近在直線y=3之上、下方，但又不能觸碰到直線y=3，就這樣被極其嚴格的限制著，這是一個非常奇怪而又有趣的景象，（取這話前面的那個“極”字，取這句話后面的那個“限”字，故名曰“極限”，因而數3就叫作數列f（n）=3+ 之極限。因而此處也可以作為引入極限的定義），以上就是極限的幾何解釋。

（七）梁氏極限定義與傳統極限定義的對比

①極限是數列（或函數）f（n）下降趨勢里的極小限制、上升趨勢里的極大限制，取極小限制里的“極”字，取限制里的“限”字。故名叫做“極限，這樣很貼切、很自然而然的。

②無縫隙靠近比無限制靠近更形象。這個純樸而通俗的詞語形象的講明了極限這個概念，而傳統性定義里就沒有形象的講明極限的概念。

③現在使用的傳統性極限定義是“……，總存在正整數N，使得當n>N時不等式|f（n）-A|<ε都成立……”。你看詞句多么別扭。這里的大N怎么確定存在呢？怎么找呢？原傳統定義里沒有說明。而梁齊天極限定義開門見山地明白指出從解|f（n）-A|<ε著手，去解這個不等式，“解”被解出來了，那大N就自然而然地跳出來了，這多么順暢和輕松呀，而解不等式又是學生們在此前經常接觸和熟練使用的解算工具，從而使“極限”變成了一個通俗易懂易操作的課題。

其余與“極限無縫隙論“相同。