運用“定義法”求圓錐曲線的方程初探

胡富國

求圓錐曲線的方程（含求軌跡），既是解析幾何的重要基本知識，同時又是高考每年必考的重點內容。其主要內容是橢圓、雙曲線、拋物線方程的求法，這一類問題的解決往往要涉及到函數、不等式、方程、三角、直線等有關知識和數形結合思想、函數與方程思想、轉換思想的綜合應用，因此在高考中常常以圓錐曲線為載體來全面考查學生的綜合能力。現我就運用“定義法”求圓錐曲線的方程談談自己的心得。

一、運用“定義法”求橢圓的方程

例1：兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10。求符合條件的橢圓的標準方程。

解∵橢圓的焦點在x軸上，

∴設橢圓的標準方程為■+■=1（a>b>0）

∵2a=10，∴a=5，又∵c=4。 ∴b2=a2-c2=52-42=9。

故所求橢圓的標準方程為■+■=1。

二、運用“定義法”求雙曲線的方程

例2：已知雙曲線兩個焦點分別為F1（-5，0），F2（5，0），雙曲線上一點P到F1，F2距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。

分析：由雙曲線的標準方程的定義及給出的條件，容易求出a，b，c。

知識拓展：求下列動圓的圓心M的軌跡方程：

①與⊙C：（x+2）2+y2=2內切，且過點A（2，0）;

②與⊙C1：x2+（y-1）2=1和⊙C2：x2+（y-1）2=4都外切;

③與⊙C1：（x+3）2+y2=9外切，且與⊙C2：（x-3）2+y2=1內切。

解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實際上是雙曲線的定義問題。

具體解：設動圓M的半徑為r。

①∵⊙C與⊙M內切，點A在⊙C外，∴|MC|=r-■，

|MA|=r，因此有|MA|-|MC|=■，∴點M的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的左支，即M的軌跡方程是2x2-■=1（x≤-■）;

②∵⊙M與⊙C1、⊙C2均外切，∴|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，因此有|MC2|-|MC1|=1，∴點M的軌跡是以C2、C1為焦點的雙曲線的上支，

∴M的軌跡方程是4y2-■=1（y≥■）;

③∵⊙M與⊙C1外切，且⊙M與⊙C2內切，∴|MC1|=r+3，|MC2|=r-1，因此|MC1|-|MC2|=4，∴點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支，

∴M的軌跡方程是■-■=1（x≥2）。

三、運用“定義法”求拋物線的方程

例3：動點P到直線x+4=0的距離比它到點M（2，0）的距離大2，則點P的軌跡方程是________。

解析：動點P到直線x+2=0的距離與它到點M（2，0）的距離相等，利用定義求出拋物線方程。

答案：y2=8x

例4：已知動點P（x，y）（y≥0）到定點F（0，1）的距離和它到直線y=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程;

（2）設圓M過點A（0，2），且圓心M（a，b）在曲線C上，若圓M與x軸的交點分別為E（x1，0）、G（x2，0），求線段EG的長度。

解：（1）依題意知，曲線C是以F（0，1）為焦點，y=-1為準線的拋物線。

∵焦點到準線的距離p=2，

∴曲線C方程是x2=4y。

（2）∵圓M的半徑為■

∴其方程為（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2

令y=0得：x2-2ax+4b-4=0。

則x1+x2=2a，x1·x2=4b-4。

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=（2a）2-4（4b-4）=4a2-16b+16。

又∵點M（a，b）在拋物線x2=4y上，∴a2=4b，

∴（x1-x2）2=16，即|x1-x2|=4。

∴線段EG的長度是4。

顯然，通過上面的例子不難看出，運用“定義法”求圓錐曲線的方程，首先要探求動點的軌跡是否符合某種曲線的性質——定性;再根據條件確定對稱中心——定位;進而求出a，b，c的值——定量;從而求得圓錐曲線的方程——定方程;最后，還要根據題目中告訴的已知條件指出動點的范圍——定范圍。

（作者單位：甘肅省民勤縣第四中學）