基于復數因子分析模型的步進頻數據壓縮感知

徐丹蕾 杜 蘭劉宏偉 王鵬輝 叢玉來

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

基于復數因子分析模型的步進頻數據壓縮感知

徐丹蕾 杜 蘭*劉宏偉 王鵬輝 叢玉來

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

認知雷達發射高距離分辨率步進頻信號通常需要較長的觀測時間。為了節省時間資源，該文提出一種貝葉斯重構算法，用較少的步進頻信號脈沖得到的頻點缺失頻域數據，重構出相應的全帶寬頻域數據。首先利用復數貝塔過程因子分析(Complex Beta Process Factor Analysis, CBPFA)模型對一組全帶寬頻域數據進行統計建模，求解得到其概率密度函數；然后在目標被跟蹤且姿態變化不大的情況下，只發射步進頻信號的部分脈沖，根據先前CBPFA模型得到的概率密度函數，對頻點缺失的頻域數據利用壓縮感知理論和貝葉斯準則解析地重構出相應的全帶寬頻域數據。基于實測1維高分辨距離(High Range Resolution, HRR)數據的重構實驗，證明了該文提出方法的性能。

認知雷達；步進頻；貝葉斯重構算法；壓縮感知；因子分析模型

1 引言

增加雷達發射信號的帶寬可以提高雷達距離分辨率，從而獲得更多目標信息，但瞬時帶寬的增加必將提升對硬件的要求，在現有硬件條件下調頻步進信號是一種工程實用、方便靈活的高距離分辨率形式[1]。調頻步進波形是一組載頻以固定頻率增量變化的窄帶脈沖串，每個脈沖調制為線性調頻。利用帶寬信號合成技術[1]，可以將調頻步進信號中各個子脈沖的子帶寬組合成一個大的全帶寬信號，從而實現距離維的高分辨率。

盡管調頻步進信號可以實現距離維的高分辨率，但步進調頻雷達是以時間資源換取系統帶寬，有觀測時間長的缺點[2]。現代雷達通常多功能多模式協同工作，不僅發射高分辨寬帶信號，還要完成搜索、跟蹤等重要工作。實際中，雷達一般交替發射寬窄帶信號，在利用窄帶進行跟蹤或掃描時停止發射寬帶信號，因此對目標的寬帶觀測時間非常有限且不連續[2]。因此考慮只發射調頻步進信號的部分脈沖，得到頻點缺失的頻域回波數據，然后利用得到的頻點缺失頻域數據恢復出相應的全帶寬的頻域數據，即能減少寬帶觀測時間。

壓縮感知(Compressive Sensing, CS)[3-5]理論指出當對信號用遠低于奈奎斯特采樣定理要求的速率采樣時，它仍能實現準確的信號重構。∈CL×1表示未知信號，則信號采樣模型可以表示為：y= Φx +，其中y∈CJ×1表示觀測信號，∈CJ×L是觀測矩陣，J?L,ξ∈CJ×1表示噪聲。CS理論表示如果信號x能夠稀疏地用某些字典Q∈CL×E表示，也即x=Qg,g∈CE×1表示稀疏的系數，那么它就能高概率地被準確地重構出來。在傳統的CS稀疏編碼過程中，字典Q通常是固定和給定的。利用CS理論可以很容易解決上述頻點缺失頻域數據重構問題，在該問題中，y表示已知的頻點缺失頻域數據，x表示待重構的全帶寬頻域數據，即為從x中抽取部分元素的抽取矩陣[6]。

本文提出了一種不同于傳統CS的重構算法，主要應用于認知雷達(cognitive radar)[7,8]。認知雷達是近幾年提出的一種全新的信號處理系統，如今已成為雷達技術領域的一個研究熱點，它具備對環境和目標信息的在線感知和記憶能力，結合先驗知識，可以實時優化雷達發射和接收處理模式，達到和目標及環境的最優匹配，獲得更好的目標探測性能。本文針對跟蹤到的目標，首先發射一組完整的調頻步進信號，得到該目標的一組全帶寬的頻域數據，并用于學習；然后利用能自動學出因子個數的CBPFA模型對其進行統計建模，并計算相應的概率密度函數，作為反饋信息；接著在目標姿態變化不大的情況下，進行發射信號調整(即只發射調頻步進信號的部分脈沖)，得到頻點缺失頻域數據；最后利用反饋的全帶寬頻域數據概率密度函數，結合壓縮感知理論和貝葉斯準則，對頻點缺失頻域數據進行解析的重構，得到全帶寬的頻域數據，實現節省時間資源的目的。與只能利用固定字典和觀測樣本潛在稀疏性進行重構的傳統CS算法相比，本文提出的統計壓縮感知算法不僅能自動學習字典，而且利用了一組全帶寬頻域數據作為先驗知識，因此能得到更好的重構效果。

2 全帶寬頻域數據的CBPFA(Complex Beta Process Factor Analysis)模型

2.1 調頻步進信號分析

當發射調頻步進信號[1]時，假設合成后全帶寬信號載頻為fc，帶寬為Bp，調頻率為γ，脈沖長度為Tp，子脈沖信號帶寬為BM，脈沖長度為TM，頻率步長為fs，步數為M，則子脈沖載頻為

脈沖串的第m個子脈沖的發射信號為

對單點目標，信號回波為

其中τ=2R/c表示目標回波的時間延遲，R為目標距雷達的距離，c為光速。與回波信號混頻的參考信號為sref_m(t)=exp(j2πfc(m)t)，混頻后：

對sm(t)進行脈沖壓縮，得到脈沖壓縮后頻域信號：

帶寬合成技術是調頻步進信號的一個重要技術，它是將多個頻率步進的窄脈沖信號通過一定算法，使其等效為一個大帶寬信號，以獲得高距離分辨率的處理技術，例如常用的頻域拼接合成技術[1]，即將子脈沖頻譜sm(f)在頻域頻移，疊加為一個大帶寬信號，從而得到一個全帶寬頻域數據x=(f-(m-1/2-M/2)f)，拼接后的信號總 s帶寬為Bp=MBM。

2.2 全帶寬頻域數據的CBPFA模型

認知雷達先發射一組完整的調頻步進信號，得到一組全帶寬的頻域數據X=，用作先驗知識，其中第n個樣本為xn=[xn1,xn2,…,xnL]T, L為樣本維度。通常可近似認為步進頻回波數據服從復高斯分布[9]，因此采用因子分析(Factor Analysis, FA)模型對這組全帶寬的頻域數據進行建模。傳統FA模型需要事先確定因子個數，但如果因子個數設置過大，則會導致過匹配，若設置過小，則不能充分描述數據的統計分布。因此，本文在傳統因子分析模型的基礎上加入了能根據數據自動學習因子個數的Beta-Benoulli先驗[1012]-。另外，在雷達數據中，回波的相位信息對于成像或識別等應用都有很重要的意義[13]，但是傳統因子分析模型只能描述實數據，在對雷達數據建模過程中丟掉了相位信息。基于此，本文提出一種非參數貝葉斯結構(即CBPFA)去完成復數全帶寬頻域數據的統計建模。第n個全帶寬頻域數據可以表示為

其中A=[A1,A2,…,AK]∈CL×K表示這一組全帶寬頻域數據的共享因子加載矩陣；K為預設的因子個數；εn︵=[,εn2,…,εnL]T∈CL×1表示噪聲變量；=[,,…,]T∈CK×1表示稀疏權值，它由兩部分組成：權值w=[w,w,…,w]T和二進制

nn1n2nK分配變量zn=[zn1,zn2,…,znK]T，其中wn只表示的權重，沒有稀疏信息，而二進制變量zn∈{0,1}則用來實現稀疏，只在對應于A的一部分列向量的位置上非0，符號⊙表示兩個向量的點乘。

本文假設噪聲εn服從均值為零，方差為τ-1IL的復高斯分布，即

其中CN()·表示復高斯分布。

文獻[10-12]為參數nw加上一個零均值的復高斯先驗分布：

其中超參數α用來控制nw的分布。為了規范層次化的先驗，需要對權重和噪聲的精確度(α和τ)分別定義超先驗[1012]-，合適的先驗分布為Gamma分布：)

其中()Γ·為Gamma函數，0a,0b,0c和0d為Gamma分布的參數。

對于因子加載矩陣A，對它的每一列定義零均值的復高斯先驗：

對二進制變量nz，為了讓它實現稀疏，這里使用Bernoulli-Beta先驗，它是Beta過程的一個有限近似[1012]-：

其中Bernoulli()·和Beta()·分別表示伯努利分布和貝塔分布。通常設置K為一個比較大的數，因此ku的期望，，近似為0，也即意味著p(znk=1)非常小，實現了zn的稀疏(大部分元素為0)。當zn中某些元素為0時，A中相應的列和wn中相應的元素就會為0，也即實現了因子個數的自動選擇。

為了更形象描述CBPFA模型，圖1給出它的有向無環圖。

2.3 變分貝葉斯(Variational Bayes, VB)推導

為了滿足準確性和有效性的折中，本文采用VB[14]方法推導CBPFA模型。

在給定觀測數據D和超參數θ的情況下，貝葉斯推導力圖估計出隱變量Ψ的后驗分布：

圖1 有向無環圖表示一組全帶寬頻域數據的CBPFA模型

其中ΚL(q(Ψ)|p(Ψ|D,θ))是q(Ψ)和p(Ψ|D,θ)之間的Kullback-Leibler距離。因為KL(q(Ψ)|p(Ψ|D, θ))≥0，也即L(q(Ψ))是lnp(D|θ)的一個嚴格下界。因此通過最小化ΚL(q(Ψ)|p(Ψ|D,θ))，就能得到q(Ψf)的最優參數估計結果。

2.4 全帶寬頻域數據的概率密度估計

對CBPFA模型進行VB推導后，下面利用隱變量的后驗分布求解這一組全帶寬頻域數據的概率密度函數：

表1 基于VB推導的CBPFA

因為wn的后驗分布為q(wn)=CN(μn,Σn)，因此的后驗均值和協方差可以表示為

通常可以近似認為一組全帶寬頻域數據的均值近似為零[13]，而且實測數據的實驗結果也符合該結論，因此，這里為了簡化模型，設定服從零均值的復高斯分布，即

把式(17)代入式(14)，再利用共軛特性，就能得到該組全帶寬頻域數據的概率密度函數：

3 頻點缺失頻域數據的壓縮感知重構

在被跟蹤目標姿態變化不大(如目標回波中散射點不發生嚴重越距離單元走動[9])的情況下，只發射調頻步進信號的部分脈沖，得到頻點缺失的頻域數據y*，假設它對應的全帶寬頻域數據為x*，則y*=Φx*+ξ*。下面介紹如何從y*中解析地重構出相應的x*。

假定噪聲ξ*服從均值為零，協方差為B-1IJ的復高斯，因此p(y*|x*)=CN(y*;Φx*,B-1IJ)。根據貝葉斯準則，y*給定情況下x*的條件分布[11]為

其中

式(19)中用CN(x*;0,Λ)代替p(x*)，也即認為x*與之前的一組全帶寬頻域數據服從同樣的統計特性，這也就是為什么一直強調在目標姿態變化不大的情況下調整發射信號，得到頻點缺失頻域數據。在后面的實驗部分，主要考慮B-1趨于0的情況，也即認為觀測到的頻點缺失頻域數據y*是無噪的。

從式(20)中可以看到，求解p(x*|y*)需要的所有參數，都可以從p(x)的先驗學習中得到，因此就可以解析地重構出頻點缺失頻域數據相應的全帶寬頻域數據。另外，通過貝葉斯模型得到的是p(x*|y*)的全概率模型，而不僅僅是對x*的點估計。在實際的操作中，可以把p(x*|y*)的均值χ~當作重構的全帶寬頻域數據x*。

4 實驗結果分析

由于本文算法直接應用于步進頻合成后的頻域數據，并不需要考慮步進頻合成的過程，因此，我們在實驗中直接使用國內某研究所的逆合成孔徑C波段雷達測量飛機數據[9,15]，該數據每個HRR樣本包含256個頻點，也即L=256。

4.1 全帶寬頻域數據的學習結果分析

這里設定用作先驗知識的全帶寬HRR頻域數據的個數為N=1024。在對該組全帶寬的HRR頻域數據進行CBPFA建模前，首先需要對HRR數據進行敏感性處理[9]。圖2給出了其中一組全帶寬HRR頻域數據的因子選擇結果，也即的學習情況。從圖2中可以看到，這一組全帶寬HRR頻域數據學出的因子個數要明顯小于我們預設的因子個數K=100，證明了CBPFA模型能實現自動確定因子個數。

4.2 隨機抽取的頻點缺失頻域數據的CS重構結果分析

下面通過實驗來驗證本文方法對頻點缺失HRR頻域數據的重構效果。均勻地從所有樣本中選取1500個HRR頻域數據作為實驗對象，遍歷所有目標和方位，待重構樣本的前面1024個全帶寬HRR頻域數據作為它們的先驗知識。本文采用相對重構誤差，也即來量化重構的性能，其中I=1500表示待重構樣本的個數，∈CJ×1表示第i個待重構的頻點缺失HPP頻域數據，表示對應的真實全帶寬HRR頻域數據，表示在給定觀測數據y的情況下重構的第i個全帶寬HRR頻域數據的條件期望。

在引言中已經講到設置觀測矩陣Φ為抽取矩陣，因此本節采用最常用的隨機抽取方式[6,12]重點討論觀測樣本維度J對重構效果的影響。設定J的大小從50到140，間隔為10，則它們相對于全帶寬HRR頻域數據維度256L=的比例/JL分別為：0.20, 0.23, 0.27, 0.31, 0.35, 0.39, 0.43, 0.47, 0.51和0.55。

與本文方法比較的有正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[5]和貝葉斯壓縮感知(Bayesian Compressive Sensing, BCS)[16]兩種傳統CS方法。對于這兩種CS方法，它們需要預先知道字典Q。根據HRR的散射點特性，選擇Q為超完備傅里葉基[2]，相應的維度為800 E=。

圖3給出了隨著觀測樣本維度的變化，3種重構方法對這1500個頻點缺失HRR頻域數據的相對重構誤差的變化比較。從圖3中可以看出本文方法的重構性能要明顯好于BCS和OMP，這表明了本文方法利用全帶寬的HRP頻域數據作為先驗信息，以及貝葉斯自動學習字典的有效性，同時BCS的重構效果好于OMP，也驗證了貝葉斯方法的優越性。另外，從圖中可以看出，隨著觀測樣本維度的增加，3種方法的相對重構誤差都趨于變小，表明了在一定程度上觀測樣本維度越高，重構效果越好。

圖4給出了一些HRR頻域數據重構的例子。為了同時驗證本文方法對HRR頻域數據幅度和相位的重構性能，這里把重構的HRR頻域數據進行逆快速傅里葉變換(Inverse Fast Fourier transform, IFFT)，得到時域實數的1維高分辨距離像(High Range Resolution Profile, HRRP)。這里給出圖3中10個例子的其中2個：抽取比例/JL為0.27和0.47。另外，針對每一個抽取比例，均給出一個時域HRRP例子。圖4中，圖4(a), 4(c), 4(e)為抽取比例0.27時，本文方法、OMP和BCS對同一個樣本在時域的重構結果以及它們各自的相對重構誤差，圖4(b), 4(d), 4(f)為抽取比例0.47時，3種比較方法對另一個樣本在時域的重構結果以及它們各自的相對重構誤差。從圖4中可以看出，抽取比例為0.27時，3種方法相對重構誤差分別為0.1536, 0.3295, 0.2155，抽取比例為0.47時，3種方法相對重構誤差分別為0.1668, 0.2673, 0.2232。可見，不管抽取比例為0.27或0.47，本文方法的重構效果都要好于OMP和BCS，本文方法把HRRP散射點的細節基本都重構出來了，而通過OMP重構的樣本有許多虛假點，BCS重構出的樣本準確度要低于本文方法。因此本文方法具有很好的重構效果。

圖2 一組全帶寬HRR頻域數據的因子選擇結果

圖3 觀測樣本維度(抽取比例) 與相對重構誤差的關系

圖4 當抽取比例分別為0.27和0.47時，本文方法、OMP和BCS對復HRR頻域樣本重構后的時域實數HRRP樣本示例

5 結束語

本文提出了一種利用全帶寬的頻域數據作為先驗知識，然后再利用壓縮感知理論和貝葉斯準則，對頻點缺失的頻域數據解析地重構出相應的全帶寬頻域數據的方法。通過實測HRR數據對比了本文方法和傳統的CS方法，證明了本文方法重構的有效性。另外，實驗部分只給出了最常見的隨機抽取方式，但是如何抽取才能以最少的觀測樣本得到最好的重構效果是現在研究的熱點和難點，因此下一步的工作就是定性分析各種抽取方式的優劣。

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徐丹蕾： 女，1985年生，博士生，主要研究方向為雷達目標識別、機器學習、統計信號處理.

杜 蘭： 女，1980年生，教授，博士生導師，主要研究方向為統計信號處理、雷達信號處理、機器學習及其在雷達目標檢測與識別方面的應用.

劉宏偉： 男，1971年生，教授，博士生導師，主要研究方向為雷達信號處理、MIMO雷達、雷達目標識別.

王鵬輝： 男，1984年生，講師，主要研究方向為統計機器學習理論、基于一維高分辨距離像的雷達自動目標識別.

叢玉來： 男，1988年生，博士生，主要研究方向為雷達信號處理、雷達參數估計.

Compressive Sensing Using Complex Factor Analysis for Stepped-frequency Data

Xu Dan-lei Du Lan Liu Hong-wei Wang Peng-hui Cong Yu-lai
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi’an 710071, China)

It usually takes a long observing time when a cognitive radar transmits the High-Range-Resolution (HRR) stepped-frequency signal. To save time, partial pulses of the stepped-frequency signal are transmitted to obtain the incomplete frequency data, and a Bayesian reconstruction algorithm is proposed to reconstruct the corresponding full-band frequency data. Firstly, the Complex Beta Process Factor Analysis (CBPFA) model is utilized to statistically model a set of full-band frequency data, whose probability density function (pdf) can be learned from this CBPFA model. Secondly, when the target is tracked and its attitude changes not much, the cognitive radar can just transmit the partial pulses of the stepped-frequency signal, and the corresponding full-band frequency data can be analytically reconstructed from the incomplete frequency data via the Compressive Sensing (CS) method and Bayesian criterion based on the previous pdf learned with CBPFA model. The reconstruction experiments of the measured HRR data demonstrate the performance of the proposed method.

Cognitive radar; Stepped-frequency; Bayesian reconstruction algorithm; Compressive Sensing (CS); Factor analysis model

TN958

A

1009-5896(2015)02-0315-07

10.11999/JEIT140407

2014-03-27收到，2014-08-29改回

國家自然科學基金(61271024, 61201296, 61322103)和全國優秀博士學位論文作者專項資金(FANEDD-201156)資助課題

*通信作者：杜蘭 dulan@mail.xidian.edu.cn