一種循環迭代的MIMO雷達發射方向圖設計方法

吳 夢劉宏偉 王 旭

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

一種循環迭代的MIMO雷達發射方向圖設計方法

吳 夢*劉宏偉 王 旭

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

現有多輸入多輸出(MIMO)雷達發射方向圖設計是通過優化信號相關矩陣來逼近期望方向圖，可采用凸優化方法求解，但其計算量較大，不利于工程實現。針對上述問題，該文提出一種循環迭代的MIMO雷達發射方向圖設計方法。該方法以加權最小二乘為準則，通過引入輔助變量，將對信號相關矩陣的優化問題轉化為關于其Hermite平方根的二次優化問題，再以循環迭代的方式進行求解。對于均勻線陣，當采用均勻加權且離散化方位角在歸一化空間頻率域均勻采樣時，可采用快速傅里葉變換(FFT)的方式進行求解，進一步提高計算效率。仿真結果表明，該方法所得發射方向圖可以很好地逼近期望方向圖，且具有較高的實時性。

多輸入多輸出雷達；發射方向圖設計；循環迭代；快速傅里葉變換

1 引言

多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)雷達作為一種新體制雷達，現已成為雷達技術領域的研究熱點[116]-。根據天線位置的空間分布，

MIMO雷達可分為分布式MIMO雷達[1]和集中式

MIMO雷達[2]。對于分布式MIMO雷達，其天線間距較大，各個天線對目標的觀測視角不同，且目標回波之間相互獨立，可以有效克服目標的閃爍效應，提高雷達的檢測性能。對于集中式MIMO雷達，其布陣方式與相控陣雷達相同，但各個發射天線發射不同的信號，能夠獲得更高的角度分辨率、更好的參數辨別能力和雜波抑制能力[7]。集中式MIMO雷達的發射信號可以是正交的[79]-或是部分相關的[1012]-，此時發射信號相關矩陣的秩大于等于1，使得集中式MIMO雷達具有更多的自由度，因此可以通過設計發射信號相關矩陣來靈活地設計滿足實際需要的發射方向圖[1216]-。本文主要對集中式MIMO雷達(以下簡稱為MIMO雷達)的發射方向圖設計進行研究。

目前，較為經典的發射方向圖設計方法是由文獻[12]針對MIMO雷達發射方向圖匹配問題提出的半正定二次規劃方法(Semidefinite Quadratic Programming, SQP)，該算法根據給定的發射方向圖在約束各個發射天線發射功率相同的條件下，以最小二乘為準則得到全局最優的發射信號相關矩陣。文獻[15]通過修正已有發射信號相關矩陣的非對角線元素來獲得低旁瓣方向圖。文獻[16]則提出了兩種基于凸優化的MIMO雷達發射信號相關矩陣設計算法，可以有效逼近期望發射方向圖，其中一種方法使得綜合出的方向圖在全角域范圍內與期望方向圖匹配，另一種方法則在保證主瓣不失真的情況下獲得低于閾值的旁瓣電平。雖然這些算法的優化問題都是凸優化問題，可以直接使用凸優化工具包(如CVX[17])進行求解，但其計算復雜度高，不利于實時處理。而且在實際應用中，動目標的方位、距離和徑向速度時刻在發生變化，為提高雷達資源的利用率，人們希望發射的電磁能量分配也要自適應于它們的變化。因此，發射方向圖設計方法不僅要考慮其逼近期望方向圖的性能，還要具有較高的計算效率。

針對發射方向圖設計中計算量較大的問題，本文提出了一種循環迭代的MIMO雷達發射方向圖設計方法。該方法基于加權最小二乘準則建立方向圖匹配模型，首先將對發射信號相關矩陣的求解轉化為對其Hermite平方根的求解，再通過引入輔助變量，將關于Hermite平方根的四次優化問題近似地轉化為二次優化問題，最后以循環迭代的方式進行求解。特別地，對于均勻線陣，當采用均勻加權且離散化方位角在歸一化空間頻率域均勻采樣時，該方法在迭代過程中還可以利用快速傅里葉變換(FFT)進一步提高運算效率。由于該算法的主要步驟由FFT完成，運算量較小，工程應用性較強。實驗結果表明該算法不但能夠有效逼近期望發射方向圖，而且具有較高的實時性。

2 問題描述

假設MIMO雷達系統的發射陣列是由M個天線構成的均勻線陣，陣元間距為d，如圖1所示。各天線發射窄帶的相位編碼信號，則第l個碼元時刻陣列發射的信號矢量為

其中，xm(l)為第m個天線在第l個碼元時刻的發射信號，L為發射信號的碼元長度或子脈沖數。不失一般性，以陣列左邊第1個天線為相位參考點，忽略傳播衰減，則子脈沖x(l)在遠場θ方位處的基帶信號為

其中，λ為發射信號波長，a(θ)=[1,ej2πdsinθ/λ,…, ej2π(M-1)dsinθ/λ]T為發射導向矢量。空域信號y(θ,l)在一個脈沖內的平均功率為

圖1 MIMO雷達陣列示意圖

P(θ)反映了雷達發射能量在空間上的分布情況，稱作發射方向圖。從式(3)可以看出，對于確定的發射陣列結構，發射方向圖的形狀主要取決于發射信號的相關矩陣R。通過對R的優化，可以靈活地對發射方向圖進行設計，以滿足不同場景下的需求，提高雷達系統資源的利用率。目前MIMO雷達發射方向圖設計多采用方向圖匹配模型[12]，即對相關矩陣R進行優化使其方向圖P(θ)在一定準則下逼近期望的發射方向圖Pd(θ)，通常以加權最小二乘為準則建立優化模型，可以表示為

3 快速發射方向圖設計方法

3.1 循環迭代法

為了便于計算并保證發射信號相關矩陣R的半正定性，采用的分解為

在式(6)的約束條件下對矩陣U進行優化，再由式(5)得到矩陣R，可以保證獲得的R滿足式(4)中的兩個約束，即半正定約束和等功率約束。因此，將求解R的問題式(4)轉化為求解U的優化問題：

由于式(7)中目標函數是關于變量umn的四次函數，對U進行優化比較困難，因此參考文獻[9]中的處理方式，引入輔助變量∈?M×1(k=1,2,…,K)，將式(7)近似地轉化為關于umn的二次優化模型：

該問題的解為

由式(10)得到K個sk并組合成矩陣形式，可以表示為S=[s1,s2,…,sK]T。

在矩陣ΛAT的左乘作用下，U的行向量之間相互耦合，故無法像式(9)一樣進行求解。因此為獲得，繼續采用循環交替的方式對其進行求解。令B=ΛAT有

其解為

按照式(15)和式(17)依次計算iZ和iu，并循環重復直至式(13)中的目標函數滿足終止條件。

根據以上思路，對式(8)的求解可轉化為對式(9)、式(11)和式(13)的循環迭代求解，具體算法流程如表1所示。

表1 發射方向圖設計算法流程

將關于發射信號相關矩陣R的優化問題轉化為對其Hermite平方根矩陣U的二次優化問題，并采用循環迭代的方式進行求解，避免了凸優化工具包的使用，以及由于矩陣半正定約束引入的復雜數值計算，因此有利于該發射方向圖設計方法在實際工程中的應用。

3.2 迭代FFT方法

對于陣元間距為半波間距(d=λ/2)的均勻線陣，空域合成的基帶信號式(2)可以表示為

其中，f=dsinθ/λ=sinθ/2為歸一化空間頻率。如果對f在區間[-0.5,0.5]進行Ns點均勻采樣，即

式(18)相當于對發射信號()lx進行快速傅里葉逆變換(IFFT),sN就是IFFT點數。這意味著空域合成信號和發射信號之間存在離散傅里葉逆變換關系[18,19]。

當方位角按照式(19)進行離散化時，方位角kθ處的導向矢量可以表示為

此時，導向矢量矩陣A=[a(θ-Ns/2),a(θ-Ns/2+1),…, a(θNs/2-1)]。定義IFFT矩陣：

上一小節考慮了加權最小二乘準則下的發射方向圖設計，由于矩陣ΛAT的左乘作用，矩陣U的行向量umT之間存在耦合，無法有效求解。對于均勻加權的情況，即Λ=IK，其中IK為K維單位陣，當離散方位角按照式(19)進行采樣時，式(13)中的目標函數可以表示為

因此對于均勻加權且離散方位角為式(19)的情況，發射方向圖設計的算法流程表1中，步驟4可以按照式(23)進行更新。在發射方向圖設計算法中，主要計算代價為式(10)和式(23)的計算，由于矩陣F為IFFT矩陣，導向矢量矩陣A為矩陣F的前M行，因此式(10)中的UTa(θk)及式(23)中V的計算可以采用IFFT和FFT操作，有效提高計算效率。

4 仿真實驗

下面通過仿真實驗驗證本文方法的有效性和可行性。假設MIMO雷達系統的發射陣列為半波間距的均勻線陣，各陣元發射功率相同且均為1。表1中本文算法的終止閾值分別為ε1=10-2, ε2=10-2。將本文方法與文獻[12]中的半正定二次規劃方法(SQP)進行對比。同時，采用均方誤差(Mean-Squared Error, MSE)來衡量本文方法對發射方向圖的優化質量，其定義為

4.1 非均勻加權情況

設方位角采樣間隔為1?，陣元數16M=，分別給出在采用非均勻加權時本文所提循環迭代方法單次實驗的方向圖綜合結果，及多次實驗的均方誤差隨迭代次數的變化曲線。獨立實驗次數為100，每次實驗的初始值隨機給定。

首先考慮期望發射方向圖為指向0?，波束寬度為60?的寬波束，即

圖2中虛線為期望發射方向圖，實線為本文方法所得方向圖，其中權重wk在區間[-33?,-29?]∪[29?,33?]為0，在其他方位為1；點線為SQP方法采用非均勻加權時進行發射方向圖設計的結果，權重與本文方法對應的權重相同；點劃線為SQP方法采用均勻加權所得方向圖，權重為1。從圖2可以看出，采用非均勻加權方式可以獲得比均勻加權更低的旁瓣，且本文方法的性能與SQP方法接近。從圖3可以看出多次實驗下所提循環迭代方法的均方誤差曲線下降趨勢相同，都隨著迭代次數的增加逐漸減小并趨于平穩。

其次考慮期望發射方向圖為分別指向-40?, 0?和40?，波束寬度為20?的多波束，即

圖4中實線為本文方法所得方向圖，權重在區間[-54?,-49?]∪[-31?,-27?]∪[-12?,-9?]和其對稱區間的值為0，在其他方位為1。SQP方法采用非均勻加權時的權重選擇和本文方法相同。由圖4可以看出本文方法在采用非均勻加權時能夠獲得比SQP方法更低的旁瓣。圖5為循環迭代方法的均方誤差隨迭代次數的變化曲線，說明隨著迭代次數的增加，所設計方向圖逐漸逼近期望方向圖。

圖2 寬波束發射方向圖

圖3 均方誤差隨迭代次數的變化曲線

圖4 多波束發射方向圖

4.2 均勻加權情況

當采用均勻加權，按照式(19)對方位角進行采樣時，本文方法在循環迭代過程中可以進行FFT/IFFT操作，以提高計算效率。設采樣點數Ns=256。為測試本文方法與SQP方法設計發射方向圖的計算時間，本文以2.8 GHz主頻和32 GB內存的PC機作為計算平臺，采用Matlab語言編寫程序，用凸優化工具包CVX[17]求解SQP方法。計算時間是由100次Monte Carlo實驗平均所得。

當陣元數較少時，即16M=時對比兩種方法所得發射方向圖，結果示于圖6。圖6(a)中期望發射方向圖為指向0?波束寬度為40?的寬波束，與SQP方法所得方向圖相比，采用本文所提迭代FFT方法獲得的方向圖具有更低的旁瓣。圖6(b)中期望發射方向圖為分別指向40-?, 0?和40?的多波束，其各波束主瓣由傳統相控陣雷達的主波束(加30 dB切比雪夫權)構成，可以看出兩種方法所設計方向圖在主瓣區域與期望方向圖很接近。從表2中給出的計算時間對比結果可以看出，由于采用FFT/IFFT操作，迭代FFT方法具有更高的計算效率。

為了進一步說明迭代FFT方法在陣元數較大時的有效性，圖7給出了陣元數40M=時的發射方向圖設計結果，期望發射方向圖與圖6中的相同。從圖7的對比結果可以看出，采用迭代FFT方法設計的方向圖依然能夠獲得更低的旁瓣，且由表3可以看出，在陣元數較大情況下迭代FFT方法的求解速度比SQP方法快很多。

表2 陣元數M=16時計算時間(s)對比

表3 陣元數M=40時計算時間(s)對比

5 結束語

圖5 均方誤差隨迭代次數的變化曲線

圖6 陣元數M=16時發射方向圖對比

圖7 陣元數M=40時發射方向圖對比

本文提出了一種循環迭代的MIMO雷達發射方向圖設計方法，該方法以加權最小二乘為準則建立方向圖匹配模型，通過引入輔助變量，將對信號相關矩陣的優化問題轉化為關于其Hermite平方根的二次優化問題，所得相關矩陣不但具有半正定性且滿足各陣元發射功率相同。尤其是對于均勻線陣，當采用均勻加權且離散化方位角在歸一化空間頻率域均勻采樣時，迭代過程可以采用FFT/IFFT操作，進一步提高計算效率。通過仿真實驗可以看出，本文方法綜合出的發射方向圖可以有效逼近期望方向圖，與已有方法相比，不但能夠獲得更低的旁瓣，而且計算時間大大減少。由于所提方法求解過程無需利用凸優化工具包，實時性較高，利于工程實現。

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吳 夢： 女，1985年生，博士生，研究方向為MIMO雷達、自適應信號處理.

劉宏偉： 男，1971年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為雷達系統、雷達信號處理、雷達自動目標識別等.

王 旭： 男，1987年生，博士生，研究方向為MIMO雷達、認知雷達發射波形設計.

A Cyclic Iterative Method for MIMO Radar Transmit Beampattern Design

Wu Meng Liu Hong-wei Wang Xu
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi’an 710071, China)

Transmit beampattern design for Multiple Input Multiple Output (MIMO) radar is obtained by synthesizing the signal covariance matrix, which can be achieved by convex optimization approaches. Due to the high computational complexity, these approaches are not easy for practical implementation. In this paper, a cyclic iterative method for MIMO radar transmit beampattern design is proposed. Based on the weighted least square criterion, signal covariance matrix can be obtained by optimizing the quadratic cost function with respect to its Hermite square root. For the uniform linear array, especially when the sampling grid in normalized spatial frequency is uniform and the weights for grid points are the same, FFT can be used to further reduce the computational complexity of the proposed algorithm. Simulation results show that the resulting beampattern matches the desired pattern closely and the proposed algorithm is efficient for the real time application.

MIMO radar; Transmit beampattern design; Cyclic iterative; FFT

TN958

A

1009-5896(2015)02-0322-06

10.11999/JEIT141043

2014-08-04收到，2014-12-01改回

國家自然科學基金(61401329, 61201285)資助課題

*通信作者：吳夢 mengwu121@163.com