基于投影法的不確定分數階混沌系統自適應同步

張友安 余名哲耿寶亮

(海軍航空工程學院控制工程系 煙臺 264001)

基于投影法的不確定分數階混沌系統自適應同步

張友安 余名哲*耿寶亮

(海軍航空工程學院控制工程系 煙臺 264001)

針對一類具有未知參數、未知非線性函數及外部擾動的分數階混沌系統，基于分數階系統穩定性理論和Lyapunov穩定性理論，該文提出一種基于滑模自適應和投影法的同步控制策略。首先選取一類穩定的分數階積分滑模面，運用自適應技術對不確定項進行估計，設計了同步控制器。然后對自適應設計中容易出現的增長型自適應律運用投影法進行修正，以保證參數有界，從而也保證控制輸入有界。最后數值仿真證明了所設計控制器的正確性和有效性。

分數階混沌系統；滑模自適應控制；投影法；參數有界

1 引言

自90年代初，美國海軍實驗室的學者Pecra和Carrol在電子線路的設計實驗中實現了混沌同步[1]以來，由于其巨大的應用潛力，混沌同步的研究引起了國內外學者空前的興趣。在過去的二十年中，混沌系統的同步研究得到了長足的發展，多種同步方法被提出來[2,3]，各種先進的控制理論被人們引入混沌同步控制中，所研究的對象從理想的混沌系統模型到具有不確性的混沌模型，在理論上幾乎已經完備，并且這些控制方法已在保密通信等實際工程領域得到了廣泛應用，并獲得了很好的效果。但是隨著研究的深入，學者們也逐漸碰到一些新的問題，在很多工程領域，系統的數學模型所表現出的混沌特性不僅是整數階的，同時也有分數階的[4]，并且分數階系統的混沌特性要遠比整數階次時復雜，其不僅具有整數階混沌系統固有的混沌特性同時也具有分數階系統相關的一些特性，因此其在工程領域特別是在保密通信領域中的應用潛力更加巨大，這樣就有了要對分數階混沌系統進行同步控制的新課題。

當前，絕大多數對分數階混沌同步進行理論研究的文獻中，研究的對象模型大多精確已知，或者僅存在簡單的參數未知或外部擾動的情況，在進行控制器設計的時候作者也往往要求有不確定項上界已知等種種約束條件。但是在實際控制中，系統的不確定性絕不僅僅只有未知參數那么簡單，比如在保密通信[5]，圖像加密[6]，生物工程[7]等領域，系統往往存在多種不確定性，這些不確定性將為系統的同步控制帶來不可預計的影響，并且這些不確定項的上界信息絕大多數情況下是不可能為設計者所掌握的。

自適應控制對不確定性的處理有其獨有的優勢[8,9]，但是，設計者們也常看到這樣一些現象，有些設計的參數自適應律理論上雖然能夠使得對象系統穩定，但在實際控制過程中由于擾動的影響卻容易發生自適應參數發散，這就是通常被稱之為的增長型自適應律。這種自適應律在實際控制中會隨著時間導致控制量無界，而這種情況在控制設計中是令人無法接受的。例如文獻[10-12]等一大類采用自適應技術實現混沌同步的控制器設計中都出現了這樣的問題，而這種情況目前還并沒有引起相關學者的重視。投影法[13]采用對參數設置約束集的辦法，可將參數向量限制在約束集內，保證自適應參數的有界性。

本文的目的就是在運用自適應控制方法實現不確定分數階混沌系統同步后，采用投影法對基本的自適應律進行修正，以保證參數有界，解決增長型自適應律存在的參數無界問題，以增強混沌同步方法的實用性。

2 問題描述和模型建立

考慮式(1)所示的分數階混沌系統：

現將式(1)作為驅動系統，構建相應具有控制輸入的響應系統：

式中y(t)∈Rn為響應系統的狀態向量；G(y,t)為適當維數函數矩陣；δ∈Rm2為未知的參數向量，g(y,t)∈Rn是已知光滑向量函數；Δg(y,t)∈Rn為未知有界的向量函數；dy(t)∈Rn為未知有界的外部擾動；u(t)為待設計的控制輸入。

定義驅動系統與響應系統的誤差e(t)=y(t)-x(t )，本文的目的就是設計控制器u(t)，使得當t→∞時有e(t)=0，即驅動系統與響應系統達到完全同步。

考慮驅動式(1)和響應式(2)，分數階同步誤差系統方程為

其中d(t)=dy(t)-dx(t )。

3 自適應同步控制器設計

為方便讀者理解，在本節先對文獻[15]所做的工作做簡單的介紹。

選取如式(4)所示的滑模面：

式中s∈Rn, e∈Rn, C∈Rn×n。

對式(4)兩邊關于時間求導：

由滑模面開始滑模運動條件s=0和s˙=0，及分數階系統穩定性條件[16]可知，當選取合適的矩陣C，式(5)將是漸近穩定性的，也即s=0時有e→0，并且C的選取將決定e→0的速度。

假設1 系統非線性不確定項和外部干擾均有界，且滿足

式中ε1, ε2,,為非負常數，那么對任意時間t總是存在一個正常數ρ滿足

假設2 未知參數向量δ和θ是定常的或是慢時變的。

設計如式(8)所示的控制律：

選取參數自適應律：

式中μ1, μ2, μ3為設計權重，且為正常數。

將式(8)代入式(3)可得誤差系統方程為

將式(10)代入式(5)可得

綜合以上分析，有如下定理存在。

定理1 在同步控制律式(8)和自適應律式(9)的作用下，誤差式(3)將漸近收斂到滑模面s=0上，即驅動系統式(1)和響應系統式(2)達到完全同步。

定理1的證明過程參見文獻[15]。

4 參數投影法修正自適應律

式中Mδ, Mθ, Mρ均為常數，它們的值將依據對應的不確定項的變化范圍來給出。

定理2[13]設約束集,和的定義由式(12)～式(14)給出。假如參數的初始值滿足(0)∈和0)∈，則對任意時間t≥0，自適應律式(15)～式(17)能夠保證(t)∈。

定理3 在同步控制律式(8)和修正自適應律式(15)～式(17)的作用下，驅動系統式(1)和響應系統式(2)將達到完全同步。

證明 選擇如式(18)所示的Lyapunov函數：

對等式兩邊關于時間求導，并將式(11)和修正自適應律式(15)～式(17)代入可得

將式(11)代入式(20)可得

進一步結合文獻[15]的穩定性證明，結合Barbalat引理[19]可知結論成立。 證畢

5 數值仿真與分析

本文采用如下對象模型進行仿真驗證，并采用預估-校正算法進行分數階微分方程的解析運算。

以不確定分數階Chen系統作為驅動系統：

當αi=0.9,i=(1,2,3)，未知參數a=35, b=3, c=28時，驅動系統表現出混沌狀態。

選取不確定分數階R?ssler系統增加控制輸入構建響應系統：

當αi=0.9,i=(1,2,3),未知參數m=0.4, p=0.2, r=10時，響應系統表現出混沌狀態，其混沌相圖見圖1。

給定驅動系統和響應系統的初始值為(2,4,1)T和(-4,-3,2)T，為簡單起見取矩陣C=I，設計參數μ1=10, μ2=20, μ3=10, k=2。根據給定的驅動系統，對不確定項取∞-范數，可以得到未知項的上界取值范圍：d*≥1.4, ε1≥0.2, ε2≥0.3。預設參數估計初值為0)=(0,0,0)T,(0)=(0,0,0)T,0)=0.1，并設定不確定項ρ的約束集Mρ=1.5，參數b的約束集為Mδb=3.3。

由定理1可知，誤差系統在如下的控制器作用下將穩定到零點。

控制律：

基本自適應律：

圖1 不確定分數階R?ssler系統混沌吸引子(α=0.9)

由給出的模型條件，對系統進行數值仿真，仿真結果如圖2～圖4所示。圖2為對定理3的仿真驗證曲線，分析發現所設計的同步控制器可以在有限時間內實現對不確定分數階混沌系統的同步，并且參數自適應律可以較好地逼近真實值；圖3為對基本自適應律參數b和參數ρ應用投影法進行修正后的效果，可以看到，這兩個參數有效地被限制在了所設定的約束集內；圖4為采用投影法前后控制輸入的對比較果，為了進行清楚的比較，分別繪制了控制量u1和u2，從圖中可見，當未采用投影法時，隨時間積累，控制量慢慢增加，并逐漸發散，采用投影法后，u1和u2被限制在一個有限范圍內，為有界控制，因而控制是可實現的。

圖2 采用投影法前同步仿真曲線

圖3 采用投影法后參數辨識結果

圖4 采用投影法前后控制輸入對比曲線

6 結束語

本文對存在未知參數、非線性未知項和外部擾動的分數階混沌系統做了自適應同步研究，首先選取了一類穩定的分數階積分滑模面，然后對慢時變的未知參數和不確定上界ρ設計了相應的自適應律，接著設計了同步控制器，最后，為了防止自適應參數發散，采用投影法對自適應律進行了修正。參數是比較典型的增長型自適應律，從仿真情況來看，經修正后的自適應律完全可以保證自適應參數有界。

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張友安： 男，1963年生，博士，教授，研究方向為非線性理論，導航、制導及智能控制研究.

余名哲： 男，1982年生，博士生，研究方向為非線性理論及混沌同步研究.

耿寶亮： 男，1984年生，博士生，研究方向為智能控制及應用研究.

Adaptive Synchronization of Uncertain Fractional-order Chaotic Systems Based on Projective Method

Zhang You-an Yu Ming-zhe Geng Bao-liang
(Department of Control Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)

Based on the stability theory of fractional-order system and Lyapunov stability theory, and using the sliding mode adaptive control and projective method, a synchronization control strategy is proposed for a class of fractional-order chaotic systems with uncertain parameters, uncertain nonlinear functions and external disturbances. A stable fractional-order integral sliding surface is selected and the adaptive laws are designed to estimate the uncertainties, consequently, the synchronization controller is obtained. Then, the projective method is introduced to modify above basic adaptive laws to prevent the adaptive parameters from diverging to infinite, thus, the boundedness of the control inputs is guaranteed. Finally, the numerical simulation result is presented to show the effectiveness and applicability of the proposed control strategy.

Fractional-order chaotic system; Sliding mode adaptive control; Projective method; Bounded parameter

TP273

A

1009-5896(2015)02-0455-06

10.11999/JEIT140514

2014-04-22 收到，2014-06-30改回

*通信作者：余名哲 18953589889@189.cn