一種低復雜度線性調頻信號參數估計算法

熊竹林 劉策倫安建平

(北京理工大學信息與電子學院 北京 100081)

一種低復雜度線性調頻信號參數估計算法

熊竹林 劉策倫*安建平

(北京理工大學信息與電子學院 北京 100081)

為降低線性調頻(LFM)信號參數估計的復雜度，該文提出一種二次估計算法。首先通過短時相干積分與非相干累加對頻率斜升和起始頻率進行預估計；然后以預估計結果為中心，利用多路并行部分匹配濾波快速傅里葉變換(PMF-FFT)和二次插值對參數進行精確估計；最后綜合預估計和精確估計結果得到參數的最終估計值。仿真結果表明，該算法信噪比門限較低，估計精度接近克拉美羅下界，其計算復雜度和資源消耗均遠低于頻率斜升試探算法和插值聯合估計算法。

信號處理；線性調頻；二次估計；低復雜度；克拉美羅下界

1 引言

線性調頻（LFM）信號作為一種重要的時變信號，被廣泛用于雷達、聲吶、地質勘探等領域。頻率斜升和起始頻率作為LFM信號的關鍵參數，其估計問題一直是信號處理的重要內容。

針對該問題已經開展了很多深入研究，早期的很多算法都是基于最大似然(ML)準則[1,2]，估計精度高，但運算量很大，且可能收斂到局部極值點。基于時頻域正交基底變換[3-5]和馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法[6]的非平穩信號參數估計算法具有良好的估計性能，但這些算法同樣具有計算復雜度高的缺點。離散多項式相位域變換法[7]通過延遲共軛相乘降低LFM信號的動態階數，具有較低的計算復雜度，但在低信噪比的環境下，非線性的信號處理方式會引入較大的信噪比損失。為了降低差分性能損失，文獻[8]提出一種頻率斜升試探法，將頻率斜升試探和FFT頻率估計算法相結合，以實現對頻率斜升和起始頻率的聯合估計。該算法具有較低的信噪比門限和良好的估計性能，且計算復雜度遠低于ML算法，但算法在低信噪比環境下需要較長的相干積分時間和較小的頻率斜升試探間隔，實際應用依然存在較大難度。后續研究分別從降低相干積分時間和增大試探間隔兩方面入手對該算法進行改進，文獻[9]提出一種均值估計算法，通過降低相干積分時間進行多次估計來降低計算復雜度，但在低信噪比環境下性能有所降低。文獻[10]提出一種插值聯合估計算法，通過增大試探間隔和運用二次插值來減少頻率試探支路，與均值估計算法相比該算法估計精度較高，但計算復雜度也高于前者。本文將均值估計算法與插值聯合估計算法進行整合，提出一種低復雜度的二次估計算法。首先通過短時相干積分和非相干累加對輸入信號進行預估計以確定參數范圍，然后利用插值聯合估計算法對參數進行小范圍精確估計，仿真結果表明該算法估計性能和計算復雜度均較為理想，具有較大的工程實用價值。

本文的結構如下：首先介紹信道模型和插值聯合估計算法，然后在此基礎上提出二次估計算法，最后通過仿真驗證算法的性能。

2 信道模型和插值聯合估計算法

為不失一般性，假設信道為加性高斯白噪聲(AWGN)信道，經過低通濾波和數字采樣后的LFM信號可以表示為

式中A為信號幅度，fs為信號采樣速率，an為實際的多普勒頻率斜升值，單位為Hz/s, a為對an按采樣速率平方歸一化的多普勒頻率斜升，fn為實際的起始頻率值，單位為Hz, f為對fn按采樣速率歸一化的起始頻率，θ0為載波初相位，n(k)為零均值復高斯噪聲，實部和虛部的方差均為σ2/2。

圖1為插值聯合估計算法的實現框圖。算法首先在頻率斜升an的分布區間[amin,amax]等間距選取M個頻率斜升試探值用于構造頻率斜升補償支路，然后在每個補償支路選取Nd點有效數據，將有效數據補零至G點（G為2的整數次冪）后進行FFT，構造MG組本地信號：

式中，{m|0≤m≤M-1,m ∈Z}表示頻率斜升補償支路，歸一化補償間隔Δa=(amax-amin)/; {g|0≤g≤G-1,g∈Z }表示頻率補償支路，歸一化補償間隔Δf=1/G 。用本地信號(k)與輸入信號x(k)共軛相乘后求模值平方，得到

圖1 插值聯合估計算法實現框圖

通過比較找出r(m,g)最大值對應的頻率斜升支路me和起始頻率支路ge，得到頻率斜升和起始頻率的估計值和。為提高頻率斜升的估計精度，還需要對r0=r(me,ge), r-=r(me-1, ge), r+=r(me+1,ge)3點進行二次插值，得到a~int=a~me+Δa(r+-r-)/ 2(r+-2r0+r-)。頻率斜升和起始頻率的最終估計值為

由式(2)可知，插值法的計算復雜度與頻率斜升支路M和FFT點數G有關，其關鍵參數滿足[10]

3 二次估計算法

3.1 預估計算法

本文所提二次估計算法包含預估計和精確估計兩部分，實現框圖如圖2所示。預估計算法是二次估計的基礎，其作用是確定頻率斜升和起始頻率的大致范圍，為參數的精確估計創造條件。從圖2可以看出，與插值聯合估計算法的純相干累加不同，預估計算法采用相干與非相干相結合的累加方式，這樣既可以通過減少相干累加時間降低算法對頻率誤差的敏感性，又能夠提供足夠的信噪比增益保證參數估計的可靠性。

Lsq為非相干累加帶來的平方損耗，滿足[13]

式中L(x)=ex/2((1-x)I(-x/2)-xI(-x/ 2))，

圖2 二次估計算法實現框圖

加上非相干累加的次數I，預估計算法在頻率斜升、起始頻率和時間維等間距構建M′G′I組本地信號：

式中，{m′|0≤m′≤M′-1,m′∈Z }表示頻率斜升補償支路，歸一化補償間隔Δa′=(amax-amin)/M；{g′|0≤g′≤G′-1,g′∈Z }表示頻率補償支路，歸一化補償間隔Δf′=1/G′;{i|0≤i≤I-1,i∈Z }表示非相干累加數據段，每個數據段包含個采樣點。經過相干和非相干累加后的相關值記為

對輸入信號x(k)進行預補償，得到準基帶信號

式中，n′(k)為噪聲項，ad和fd分別為x′(k)的殘余頻率斜升和頻偏，當非相干累加模塊的輸出信噪比超過SNRth時滿足[14]

3.2 精確估計算法

在確定x′(k)的頻率斜升和頻偏范圍之后，需要對信號參數進行精確估計。精確估計算法與插值聯合估計算法類似，為提高頻率估計精度，算法在FFT前端添加了L階累加抽取濾波器?？紤]資源復用，精確估計算法的頻率斜升支路和FFT點數均與預估計相同，分別為M′和G′。相應地，頻率斜升和頻偏的歸一化補償間隔分別為Δa"=4Δa′/M′和Δf"=1/LG′。參與精確估計的有效數據長度為Nd，經過L階累加抽取濾波之后的數據長度=各補償支路的相關值可表示為r"(m",g")

式中，{m"|0≤m"≤M′-1,m"∈Z }表示頻率斜升補償支路，{g"|0≤g"≤G′-1,g"∈Z }表示頻偏補償支路。通過比較找出r"(m",g")最大值對應的頻率斜升支路和頻偏支路，并對r0=r"(,), r-=r"(-1,)和r+=r"(+1,)進行二次插值，得到=+Δa"(r+-r-)/2(r+-2r0+r-)。頻率斜升和頻偏的精確估計值記為

綜合式(12)和式(17)中預估計和精確估計結果，得到LFM信號參數的最終估計值

3.3 關鍵參數

二次估計算法有兩個關鍵參數，分別是預估計模塊的相干累加長度和精確估計模塊的累加抽取濾波器階數L。設η為相同輸入條件下插值聯合算法與二次估計算法頻率斜升支路數的比值(簡稱頻率斜升支路壓縮比)，由式(5)和式(8)可以得到

設SNRcoh=SNRin為預估計算法中輸入信號x(k)經過相干累加之后的輸出信噪比(簡稱相干信噪比)，由于通常情況下Nd和均遠大于1，式(19)可以化簡為

將式(6)代入式(20)可得

根據式(21)畫出頻率斜升支路壓縮比η與相干信噪比SNRcoh的關系曲線，如圖3所示。

從圖3中可以看出，當SNRcoh=1.82(2.6 dB)時，二次估計算法具有最少的頻率斜升補償支路，因此將相干累加長度取為為向下取整符號。容易證明[15]，當LΔf′?1時，累加抽取對估計性能的影響可以忽略不計，因此本文將累加抽取濾波器的階數取為L=

4 仿真驗證

為了驗證算法的有效性，對本文算法的估計精度和計算復雜度進行仿真和分析，并與頻率斜升試探法、插值聯合估計算法以及CRLB進行比較。選擇衛星通信LFM信號的典型值作為系統參數[16]：載噪比C/N0≥15 dB·Hz ，最大起始頻率fmax=100 kHz，最大頻率斜升amax=1000 Hz/s，系統噪聲帶寬Bn=2fmax=200 kHz 。輸入信噪比SNRin與載噪比C/N0滿足SNRin=(C/N0)/Bn，計算可得最低輸入信噪比SNRin=-38 dB，算法的相應參數為：fs=200 kHz, M′=67,=11509, G′=16384, I=30, L=163, Nd=251786。

LFM信號頻率斜升和起始頻率估計的CRLB[14]歸一化值滿足

假定歸一化頻率斜升a均勻分布于[-amax/, amax/]，歸一化起始頻率f均勻分布于[-fmax/fs,/fs]，載波初相位θ0均勻分布于[-π,π)。仿真條件：-43 dB≤SNRin≤-28 dB，步進為1 dB，單點仿真105次，仿真結果如圖4和圖5所示。

從圖4、圖5中可以看出，本文算法和插值聯合估計算法的信噪比門限同為-38 dB，略高于頻率斜升試探法。當信噪比低于門限時，二次估計算法預估計模塊平方損耗增大，估計精度有所降低；當信噪比高于門限時，算法的估計性能接近克拉美羅限。綜合來看，二次估計算法與插值聯合估計算法的估計性能大致相當。

3種算法的估計時間、計算復雜度和硬件資源如表1所示。

從表1中可以看出，雖然本文算法的估計時間長于其它算法，但在實用性方面優勢明顯。一方面，算法本身具有較低的計算復雜度；另一方面，算法采用流水線加模塊化設計，非常容易實現資源復用。與插值聯合估計算法相比，本文算法在不損失估計性能的前提下計算復雜度降低91%，硬件資源減少99.68%。綜上所述，二次估計算法以適當延長估計時間為代價換取計算復雜度和硬件成本的大幅降低，同時保證良好的估計性能，非常適用于高動態低信噪比環境下LFM信號參數的精確估計。

表1 估計時間、計算復雜度和硬件資源對照表

圖5 不同信噪比下的起始 頻率估計均方誤差

圖3 不同相干信噪比下的頻率斜升支路壓縮比

圖4 不同信噪比下的頻率 斜升估計均方誤差

5 結束語

針對LFM信號的參數估計問題，本文提出一種二次估計算法，將LFM參數估計拆分為預估計和精確估計兩部分，預估計確定參數范圍，精確估計確保估計精度。該算法具有結構簡單、運算量小、實現成本低、估計精度高等優點，在低信噪比高動態環境下能夠保持較低的計算復雜度和較高的估計性能，具有較高的工程實用價值。

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熊竹林： 男，1988年生，博士生，研究方向為衛星導航與無線通信.

劉策倫： 男，1983年生，講師，研究方向為衛星導航與無線通信.

安建平： 男，1965年生，教授，博士生導師，研究方向為衛星通信、通信信號處理.

A Low Complexity Parameter Estimation Algorithm of LFM Signals

Xiong Zhu-lin Liu Ce-lun An Jian-ping
(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

A quadratic estimation algorithm is proposed to reduce the complexity of accurate Linear Frequency Modulation (LFM) parameter estimation. First, the frequency rate and initial frequency are estimated coarsely by short time coherent integral and incoherent accumulation. Then, the parallel Partial Matched Filters combined with FFT (PMF-FFT) and quadratic interpolation are utilized to estimate the residuals of the frequency rate and initial frequency. Last, the final estimated values are obtained by synthesizing the results of both estimations. Simulation shows that the proposed algorithm has a low SNR threshold, and the accuracy is close to Cramer-Rao Lower Bound (CRLB). The complexity and hardware consumption of the proposed algorithm are much less than the frequency rate test algorithm and joint estimation algorithm based on interpolation.

Signal proessing; Linear Frequency Modulation (LFM); Quadratic estimation; Low complexity; Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)

TN911.6

A

1009-5896(2015)02-0489-05

10.11999/JEIT140166

2014-01-24收到，2014-05-20改回

國家863計劃項目(2012AA01A505)和國家自然科學基金(61271258)資助課題

*通信作者：劉策倫 liucelun@bit.edu.cn