非線性奇異系統邊值問題解的平方收斂性

王培光，劉向

（1.河北大學 電子信息工程學院，河北 保定 071002；2.河北大學 數學與信息科學學院，河北 保定 071002）

在實際應用領域有許多利用奇異系統描述的數學模型，例如最優控制、電路、人口增長模型等等，奇異系統是一類較微分系統更為復雜的系統［1－3］.其中解的收斂性問題是人們關注的問題之一，其對奇異微分系統定性理論的發展有著重要的影響.擬線性化方法是構造非線性問題近似解的一種非常有效的方法.Bellman等［4］首次提出了這種源于動態規劃理論的方法.Lakshmikantham 等［5］系統地總結了擬線性化方法在常微分方程中的應用結果.之后相繼出現各種動力系統的推廣結果［6－10］.然而，擬線性化方法在奇異系統中的應用結果很少［11－13］，特別是對于帶有邊界條件的奇異非線性系統解的收斂性未見研究結果.

本文應用擬線性化方法研究具有邊界條件的非線性奇異微分系統解的收斂性問題，主要工作包括構造非線性奇異系統的單調序列，并通過擬線性化方法證明該問題解的一致和平方收斂性結果.

1 預備知識

考慮下列奇異非線性系統邊值問題（BVP）

這里A 是奇異n×n矩陣，E，F 是非奇異n×n實矩陣，x∈Rn，f∈C（J×Rn，Rn），J＝［0，c］，c是正常數.

定義1 稱函數α0∈C1（J，Rn）為邊值問題（1）的下解，如果下列不等式成立

定義2 稱函數β0∈C1（J，Rn）為邊值問題（1）的上解，如果下列不等式成立

給出集合： S（α0，β0）＝｛u∈C（J，Rn）：α0（t）≤u（t）≤β0（t），t∈J｝，

在進一步的討論中，將會用到線性奇異微分系統的相關結果.首先考慮奇異微分不等式

其中A，M（t）是n×n矩陣，A 是奇異矩陣，M（t）是連續矩陣，t∈J，E－1，F－1≥0.

引理1 假設

H1）存在常數λ∈R 使得，L（t）＝［λA＋M（t）］－1≥0存在并且＝AL（t）是常數矩陣；

H2）存在非奇異矩陣T 使得T－1，（LT）－1存在，并且T－1，（LT），（LT）－1≥0，滿足

其中C 是對角陣，C－1≥0，則Ex（0）≤0，Fx（c）≤0蘊含x（t）≤0，t∈J.

由此得出Cz′1＋（I1－λC）z1≤0且z2≤0.由于E－1，（LT）－1非負，則由Ex（0）＝ELTz（0）≤0可得z（0）≤0.

同樣的，可得z（c）≤0.由于C－1≥0，則由Cz′1＋（I1－λC）z1≤0解得

從而，z1（t）≤0.因此，z（t）≤0，t∈J.綜上可知，LTz（t）≤0或x（t）≤0，t∈J.

對于邊值問題（1），證明如下的比較結果.

引理2 假設條件H1）—H2）成立并且滿足

H3）函數α0，β0∈C1（J，Rn）是邊值問題（1）的下解和上解，fx（t，x）存在并且連續，則α0（t）≤β0（t），t∈J.

證明：由條件H3）得取M（t）＝則有A（α0－β0）′＋M（t）（α0－β0）≤0，又因為E（α0（0）－β0（0））≤0，F（α0（c）－β0（c））≤0，利用引理1，可知α0（t）≤β0（t），t∈J.

對于奇異線性邊值問題

有如下結果：

引理3［14］假設引理1的條件H1）成立，index（A）＝1，

H4）邊界條件滿足Q＝E－Fexp（－?DM＾c）可逆，則邊值問題（5）的唯一解可表示為

其中

2 主要結果

定理1 假設下列條件成立：

A1）函數α0，β0∈C1（J，Rn）分別是邊值問題（1）的下解和上解.

A2）偏導數fx（t，x）在Ω（α0，β0）上存在且連續，并且關于x 擬單調非減，｜fx（t，x）－fx（t，y）｜≤L｜x－y｜，x，y∈S（α0，β0），L＞0，其中L 為n×n矩陣.

A3）條件H1）－H4）成立，則存在單調序理｛αn｝，｛βn｝一致且平方收斂于邊值問題（1）的解.

證明：由條件A1）－A3）可知引理2 的條件成立.因此，對于邊值問題（1）的上解和下解，有α0（t）≤β0（t），并且由假設A2），有

其中α0（t）≤y≤x≤β0（t），t∈J.

設αn＋1，βn＋1分別為奇異微分系統（7）、（8）的解.

容易證明，BVP（7）有唯一解.設x1，x2為BVP（7）的2 個解，并且注意到E（x1（0）－x2（0））＝0，F（x1（c）－x2（c））＝0，則由BVP（7），得

顯然上式的解是奇異線性系統A（x1－x2）′－fx（t，αn）（x1－x2）＝0，Ex1（0）－x2（0））－F（x1（c）－x2（c））＝0的解.因此，由引理3，利用x（t）的表達式得x1＝x2，從而得出BVP（7）有唯一解.類似的，可以證明BVP（8）有唯一解.

下面證明α0≤α1≤β1≤β0，t∈J.設p＝α0－α1，有Ep（0）≤0，Fp（c）≤0.由條件（A1）和BVP（7），可得

其中M（t）＝－fx（t，η（t）），α0（t）≤η（t）≤β0（t），t∈J.因此，由引理1，得p（t）≤0，即α0（t）≤α1（t），t∈J.類似的，設p＝β1－β0，在t∈J 上有β1（t）≤β0（t）成立.

下面證明α1（t）≤β1（t），t∈J.由于α（t）≤α（t），利用不等式（6）和BVP（7），可得

同樣的，由條件A2）和BVP（8），可知

從而得出α1和β1 分別為BVP（1）的下解和上解.由引理2得α1（t）≤β1（t），t∈J.因此，得α0（t）≤α1（t）≤β1（t）≤β0（t），t∈J.由歸納法，得到單調序列｛αn（t）｝，｛βn（t）｝滿足

α0（t）≤α1（t）≤…≤αn（t）≤βn（t）≤…≤β1（t）≤β0（t），t∈J.

設x為BVP（1）的任意解且滿足α0≤x≤β0，t∈J.假設對于x 使得在t∈J 上，有αn≤x≤βn 成立.令φ1＝αn＋1－x，φ2＝x－βn＋1，利用不等式（6）和BVP（7），可得

因Eφ1（0）＝0和Fφ1（c）＝0.由引理1，得αn＋1≤x，t∈J.類似的，由條件A2）和BVP（8），可知

由引理1可推出x≤βn＋1，t∈J.從而得出αn＋1≤x≤βn＋1，t∈J.由于α0≤x≤β0，通過歸納得出an≤x≤βn 對所有的自然數n 成立.從而有α0（t）≤α1（t）≤…≤αn（t）≤x（t）≤βn（t）≤…≤β1（t）≤β0（t），t∈J.

易證序列｛αn（t）｝和｛βn（t）｝是一致有界，同等連續的.利用Ascoli－Arzela定理，可得存在子序列｛αn，j（t）｝，｛βn，j（t）｝使得αn，j（t）→ρ（t）和βn，j（t）→r（t）成立，其中ρ（t）≤x（t）≤r（t），t∈J.由于序列｛αn（t）｝和｛βn（t）｝是單調的，可以得出結論αn→ρ（t）和βn→r（t）成立.當n→∞，有

下面證明ρ（t）≥r（t）.由條件A2），可知

通過引理1得到r（t）≤ρ（t）.又因為ρ（t）≤r（t），t∈J.因此，ρ（t）≡r（t），即當偏導數fx存在且連續時，BVP（1）有唯一解.

最后，證明序列的平方收斂性.為此，設x（t）為BVP（1）在S（α0，β0）中的任一解，考慮pn＋1（t）＝x（t）－αn＋1（t）≥0，t∈J，且注意到Epn＋1（0）＝0，Epn＋1（c）＝0.由BVP（7）和條件（A2），可知

其中，｜pn｜2＝（｜pn1｜2，｜pn2｜2，…，｜pnn｜2）T.因此，有

利用引理1得到pn＋1（t）≤x（t），t∈J，其中x（t）是奇異線性系統Ax′＋M（t）x＝L｜pn｜2，Ex（0）＝0，Fx（c）＝0的解.因此，利用引理3 的表達式得，其中

通過計算有Q－1（－ζ1）≤Kmax｜g（t）｜成立，其中K 是非負矩陣.又??D≥0，可知t∈J，P 是非負矩陣.因此，通過合適的估計有，其中，K1是正矩陣…，｜gn（t）｜）T.

類似的，定義qn＋1（t）＝βn＋1（t）－x（t）≥0，t∈J，注意到Eqn＋1（0）＝0，Fqn＋1（c）＝0.由BVP（8）和條件（A2），便有

由引理1得qn＋1（t）≤x（t），t∈J，其中x（t）是系統，Ex（0）＝0，Fx（c）＝0的解.因此，利用引理3中x（t）的表達式，并通過合適的估計有，其中K2和K3是正矩陣.證明完成.

當a＝b＝0，c＝1時，邊值問題（5）的解可表示為

的基矩陣.類似定理1，可以得到單調序列一致且平方收斂到BVP（1）的解.

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