基于模糊幾何加權的區間多目標規劃問題

郭子雪，鄭玉蒙，李雙雙

（河北大學 管理學院，河北 保定 071002）

在許多實際決策問題中，由于人們認知的局限性以及問題的復雜性，只能獲取某不確定參數的變動范圍，此時可以采用區間數的形式來表達不確定信息，因此對區間多目標規劃問題的研究具有顯著的現實意義.目前，對于區間多目標規劃問題的求解方法，大部分是將不確定的問題轉化為確定的問題［1］，再把多目標規劃問題轉化為單目標規劃問題.喬辰等［2］提出了多目標規劃問題的幾何加權法，陳朋永等［3］運用模糊幾何加權法研究了電力系統經濟調度問題，二者均是將多目標規劃問題轉化為單目標規劃問題；楊亭亭［4］提出了4種求解區間線性規劃問題的方法，其中BWC方法就是把區間線性規劃問題分為最好最優值模型和最差最優值模型；針對區間多目標規劃問題的求解方法，郭均鵬［5－6］等人提出：先將區間多目標規劃轉化為含參數的確定的多目標規劃［7］，再轉化為單目標的區間規劃問題，通過求解該單目標的區間規劃問題［8］，得到原區間多目標規劃問題的最優值區間；夏昊冉［9］針對區間多目標規劃問題，提出了幾種智能優化算法，打破了傳統算法對函數性質的苛刻要求，解決了一系列非線性、非連續性問題；徐秀梅等［10］針對含有區間數的證券投資組合問題，考慮到目標函數的重要性不同，提出了線性加權和法.

基于區間多目標規劃問題中目標函數的重要性不同，本文提出了改進的模糊幾何加權法.該方法不僅考慮了區間多目標規劃問題的模糊性，而且考慮了各個目標函數權重的大小，并通過求解轉化的單目標規劃模型，得到原區間多目標規劃模型的非劣解以及最優值區間.

1 區間多目標規劃問題

1.1 基本概念

考慮如下形式的區間多目標規劃問題：

式中X＝（x1，x2，…，xn）T為自變量向量；系數k＝1，2，…，p；A±為系數矩陣，每個元素為相互獨立的區間數，且j＝1，2，…，n，其中，依此類推B±為約束條件的右端向量，且

定義1［11］對于上述區間多目標規劃問題，任意取…，m，j＝1，2，…，n.由原區間多目標規劃問題可以得到確定型的多目標規劃問題，稱該確定型多目標規劃問題的一個有效解為原區間多目標規劃問題的一個有效解或非劣解，且該確定型多目標規劃問題的一個最優解為原區間多目標規劃問題的一個最優解.

1.2 區間多目標規劃問題的確定型轉化

同理，對系數矩陣A±中的元素和右端向量B±中的元素做類似處理，有

令rkjxj＝skj，qij＝tijxj，則

其中，S＝（sk1，sk2，…，skn）T，k＝1，2，…，p，i＝1，2，…，m.

由此得到如下含參數的確定的多目標規劃問題：

2 模糊幾何加權法求解區間多目標規劃問題

2.1 模糊幾何加權法

模糊幾何加權法求解多目標規劃問題，考慮到了各個目標函數的不同重要性，通過把目標函數的隸屬函數進行幾何加權來把多目標規劃問題轉化為單目標規劃問題.因此通過對模型（2）中各個目標函數的隸屬函數進行幾何加權，得到如下模型：

其中，wk表示各個目標函數的權重，并且表示各目標函數的隸屬函數.為了求解目標函數的隸屬函數μ（fk（X，S）），首先求解如下單目標線性規劃問題（4）和（5）：

設模型（4）和（5）的最優值分別為fk，min和fk，max，可取目標函數的隸屬函數為

利用最大最小算子法［12－13］，結合式（6）可以得到模型（3）的等價模型（7）：

定理1 設模型（7）的最優解為X＊，則X＊為模型（2）的有效解或非劣解.

證明：采用反證法.假設X＊不是模型（2）的非劣解，那么必定存在一個改進的可行解X＊＊，使得μ（fk（X＊，S＊））≤μ（fk（X＊＊，S＊＊）），即λk（X＊，S＊）≤λk（X＊＊，S＊＊）.設當wk的值一定時，M 為關于λk（X，S）的單調增函數，因此M（λk（X＊，S＊））≤M（λk（X＊＊，S＊＊））.又由題設知，X＊為模型（7）的最優解，而現在又找到一個X＊＊，使得M（λk（X＊＊，S＊＊））的值比M（λk（X＊，S＊））的值好，這與題設相矛盾，因此可得X＊為模型（2）的有效解或非劣解.

模型（7）為含參數的單目標規劃問題，可以通過求解其最優模型和最差模型得到原區間多目標規劃問題的最優值區間.

定理2 模型（7）的最優模型為

類似證明，可得定理3.

定理3 模型（7）的最差模型為

可以證明：由模型（8）、模型（9）解得的λ＋和λ－，分別代表模型（1）中當目標函數分別取不同權重時的最大總滿意度和最小總滿意度，可得滿意度區間［λ－，λ＋］.將由模型（8）求得的最優解代入原區間多目標規劃問題（1）的最優目標函數，得到最優目標函數值f－k；將由模型（9）求得的最優解代入原區間多目標規劃問題（1）的最差目標函數，得到目標函數值f＋k.由此可得，當目標函數分別取不同的權重時原區間多目標規劃問題的最優值區間，其中k＝1，2，…，p.

2.2 模糊幾何加權法求解區間多目標規劃問題的步驟

Step1利用區間數的排序函數以及變量替換的方法把原區間多目標規劃問題轉化成為含參數的確定型的多目標線性規劃問題.

Step2 根據各個目標函數的重要性的不同，給定各個目標函數不同的權重wk，然后對每個目標函數的隸屬函數進行幾何加權構造單目標規劃模型（3）.

Step3 確定模型（3）中各個目標函數的隸屬函數μ（fK（X，S））.

Step4 結合最大最小算子法，得到單目標規劃模型（3）的等價模型（7）.

Step5 通過求解單目標規劃模型（7）的最優模型和最差模型，得到當原區間多目標規劃問題的目標函數分別取不同的權重時的非劣解以及最優值區間［f－k，f＋k］.

3 算例分析

設某應急系統有3個應急需求點D1，D2，D3，5個應急物資供應點S1，S2，S3，S4，S5.各應急需求點的需求量、應急物資供應點的供應量以及從各應急物資供應點到各需求點調運應急物資的運輸時間和單位運輸成本等數據如表1所示.已知各需求點的目標應急調運時間（單位：h）限制期為：T01＝4，T02＝5，T03＝5；各應急物資供應點的啟用成本（單位：萬元）分別為c1＝［130，140］，c2＝［120，140］c3＝［170，200］，c4＝［100，120］，c5＝［180，200］.試確定應急物資調運方案使應急物資調運的時間和總費用達到最小.相關數據見表1.

設xij表示從應急物資供應點Si運往應急物資到應急需求點Dj的應急物資數量（i＝1，2，3，4，5；j＝1，2，3）；yij為0～1決策變量，當應急物資供應點Si為應急需求點Dj提供應急物資時yij取1，否則yij取0；yi為0～1決策變量，當啟用應急物資供應點Si時yi取1，否則yi取0.則上述問題的區間數模糊規劃模型為

表1 應急物資運輸時間和單位運輸成本等相關數據Tab.1 Emergency supplies transportation time and the unit transportation cost and other relevant data

將上述模型轉化為含參數的確定型多目標規劃問題，分別求解各單目標規劃可得：

Tmin＝7，Tmax＝14，Cmin＝2 292，Cmax＝3 290.

取w1＝0.6，w2＝0.4，代入模型（8）和（9），解之可得總滿意度區間和目標函數最優值區間如表2所示：

表2 模糊幾何加權法的求解結果Tab.2 Results of fuzzy geometric weighting method

其中，最小總滿意度下和最大總滿意度下的非劣解均為

4 結論

區間多目標規劃問題是實際決策問題中常見的一種形式，研究區間多目標規劃問題的求解方法具有重要的現實意義和理論價值.考慮到區間多目標規劃問題中各目標函數重要性的不同，本文提出了一種改進的模糊幾何加權法，該方法通過定義目標函數的隸屬度函數，構建了與區間多目標規劃問題等價的模糊幾何加權單目標規劃模型，從而將區間多目標規劃問題轉化為單目標的區間規劃問題.最后的算例分析驗證了該方法的可行性和有效性.

［1］ 韓世蓮.區間數多目標多模式運輸問題的模糊規劃方法［J］.系統工程理論方法應用，2006，15（5）：452－455.HAN Shilian.Fuzzy programming approach for multi－objective solid transportation problem with interval parameters［J］.Systems Engineering－Theory Methodology Applications，2006，15（5）：452－455.

［2］ 喬辰，張國立.幾何加權法求解多目標規劃問題［J］.華北電力大學學報，2011，38（6）：108－111.QIAO Chen，ZHANG Guoli.Geometric weiheting method for solving multi－objective programming problems［J］.Journal of North China Electric Power University.，2011，38（6）：108－111.

［3］ 陳朋永，趙書濤，喬辰，等.模糊幾何加權法求解電力系統經濟調度問題［J］.電力科學與工程，2012，28（5）：1－5.CHEN Pengyong，ZHAO Shutao，QIAO Chen，et al.Fuzzy geometric weighting method of solving economic dispatch in power system［J］.Electric Power Science and Engineering，2012，28（5）：1－5.

［4］ 楊亭亭.區間多目標規劃在區域水資源優化調度中的應用［D］.北京：中國石油大學，2011.YANG Tingting.The application of interval multi－objective programming in regional water resources optimal allocation［D］.Beijing：China University of Petroleum，2011.

［5］ 郭均鵬，李汶華.區間多目標線性規劃的模糊求解方法［J］.系統管理學報，2008，17（4）：462－466.GUO Junpeng，LI Wenhua.Fuzzy method to solve interval multi－objective linear programming［J］.Journal of Systems ＆Management，2008，17（4）：462－466.

［6］ 王沖，邱志平.區間多目標線性優化的功效系數求解方法［J］.北京航空航天大學學報，2013，39（7）：908－916.WANG Chong，QIU Zhiping.Efficiency coefficient method to solve interval multi－objective liner optimization problems［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2013，39（7）：908－916.

［7］ ZIMMERMANN H J.Fuzzy programming and linear programming with several objective functions［J］.Fuzzy Sets and Systems，1978，1（1）：44－45.

［8］ 宋業新，姜禮平，陳綿云.一類模糊線性規劃模型的模糊最優區間值［J］.模糊系統與數學，2002，16（2）：86－91.SONG Yexin，JIANG Liping，CHEN Mianyun.Fuzzy optimal interval value for a fuzzy linear programming model［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2002，16（2）：86－91.

［9］ 夏昊冉.區間系數多目標規劃的智能優化算法［D］.合肥：安徽大學，2011.XIA Haoran.The intelligent optimization algorithm of multi－objective programming with interval coefficient［D］.Hefei：Anhui University，2011.

［10］ 徐秀梅，孫玉華.基于區間數的多目標證券投資組合問題［J］.濟南大學學報，2014，28（3）：216－219.XU Xiumei，SUN Yuhua.Multi－objective portfolio selection based on interval number［J］.Journal of University of Jinan，2014，28（3）：216－219.

［11］ 郭均鵬，李汶華.區間線性規劃的標準型及其最優值區間［J］.管理科學學報，2004，7（3）：60－63.GUO Junpeng，LI Wenhua.Standard form of interval linear programming and its optimal objective interval value［J］.Journal of Management Sciences in China，2004，7（3）：60－63.

［12］ TONG S.Interval number and fuzzy number linear programming［J］.Fuzzy Sets and Systems，1994，66：301－306.

［13］ BELLMANR E，ZADEH L A.Decision making in a fuzzy environment［J］.Management Science，1970，17：141－164.

［14］ 張吉軍.區間數線性規劃問題的最優解［J］.系統工程與電子技術，2001，23（9）：53－55.ZHANG Jijun.The optimal solution of interval number linear programming problem［J］.Systems Engineering and Electronics，2001，23（9）：53－55.

［15］ 郭子雪，王蘭英，齊美然，等.基于區間數信息的區域應急物資儲備庫選址多目標決策模型［J］.災害學，2015，30（2）：148－151.GUO Zixue，WANG Lanying，QI Meiran，et al.A fuzzy multi－objective decision making approach of emergency material storage location based on interval number［J］.Journal of Catastrophology，2015，30（2）：148－151.