基于改進型混合蛙跳算法的支持回歸機大壩變形預測模型

盧遠富 包騰飛 李澗鳴 孫鵬明 王 甜

（1.河海大學 水利水電學院，南京 210098；2.河海大學 水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心，南京 210098；3.河海大學 水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京 210098）

大壩變形是較直觀且可靠地反映大壩安全的監測量之一，對其進行分析預測是監控大壩運行安全的重要內容［1］.到目前為止，主要有支持向量機（SVM）模型、統計模型、神經網絡模型等應用于大壩變形預測［2］.統計模型為傳統預測模型，其具有簡單直觀的優點，但預測精度易受預報因子間的相關性影響，且其泛化能力較差；神經網絡模型有較強的非線性逼近能力，但在其應用于大壩變形擬合及預測時仍然易出現收斂較慢以及過擬合的問題［3］；SVM模型在處理高維數以及非線性的問題時具有較好的泛化能力，但該模型參數的選取對模型的精度會產生很大的影響，且目前參數選取尚無統一最好的優選方法.在SVM模型的基礎上引入ε不敏感損失函數從而得到支持回歸機（SVR）.SVR可以用于解決大壩變形回歸、擬合等問題，且SVR繼承SVM的優點，其穩定性和泛化能力均較高.SVR模型的預測精度的影響因素主要有懲罰參數c和核函數參數.因此針對目前對于SVR的參數優選問題，本文采用一種基于拉丁超立方體抽樣（LHS）和自適應移動算子的改進型混合蛙跳算法（ISLFA）對SVR模型進行參數尋優來提高其預測精度.通過實際工程算例驗證，基于LHS和自適應移動算子的改進型混合蛙跳算法的SVR模型能有效增強全局尋優能力，且擬合精度和預測精度均取得較好的結果.

1 改進型的混合蛙跳算法

1.1 混合蛙跳算法

Eusuff和Lansey2003年在研究管網優化設計問題時提出了混合蛙跳算法，該算法是一種新的仿生優化算法［4］.該算法模擬現實青蛙覓食的過程，首先將所有青蛙分成多個小組，每個小組內進行局部尋優；之后的全局搜索再采用模因進化算法的方法進行周期性的混合和重組，達到種群信息能夠在全局和局部進行深度交換.這種深度局部搜索和全局信息交換相結合的策略能夠保證算法更大程度地落入局部最優值，從而向全局最優靠攏［5］.混合蛙跳算法的算法流程可以參見文獻［6］.

1.2 改進的混合蛙跳算法

混合蛙跳算法屬于一種隨機優化算法，故存在有限數量的初始化種群的均勻性較差，移動步長隨機性較大等問題，這些問題將對算法的收斂性和求解精度產生一定程度的影響［7］.本文嘗試針對這兩方面的問題做出一定的改進.

1.2.1 利用改進的LHS進行青蛙種群初始化

混合蛙跳算法中種群初始化是其重要一步，均勻性較好的初始種群可以有效加快收斂，加快全局尋優.利用試驗設計領域的一種常用方法—拉丁超立方體抽樣方法（LHS）來對蛙跳算法種群初始化，得到種群均勻性良好的青蛙種群，加快后期全局尋優及種群收斂性.

利用LHS初始化的蛙跳種群可用矩陣X表示：

式中N表示抽樣點數，K表示試驗次數，即xNK代表第N只青蛙第K維的值.原始的LHS的樣本方差較小，但是由于給出的試驗點是隨機的，故其提供的試驗設計中有一部分較好，也有相當一部分不盡如人意，為保證LHS的穩定性，采用極大極小值距離準則對LHS進行篩選以達到改進的目的［8］.

如果試驗設計中的一組抽樣可以將任意試驗點之間的最小距離最大化，則該抽樣稱為最大化最小距離設計，即：

其中，d（xi，xj）表示任意兩個試驗點xi，xj之間的距離

其中，m表示試驗點的兩兩組合個數，也即m＝n（n＋1）／2，通常t＝1或者t＝2表示任意兩點間的歐式距離測度.

1.2.2 自適應移動算子

針對SFLA的解更新大小和方向隨機性強的問題，本文設計一種線性自適應移動算子來進行改進：

其中，t表示模因組的當前進化代數，N表示模因組的最大進化代數.由式（4）可以得出，移動算子隨著種群進化而逐步增大，其變化序列為［1／N，2／N，…，1］.改進之后的線性自適應移動算子在種群進化前期的值較小，使得種群進化前期模因組內的移動步長不至于過大，即能對種群前期進化的全局搜索進行一定的抑制，并較好擴大種群的尋優范圍，當種群進化至中后期，移動算子的值較大，解的尋優過程能保持較好的全局搜索能力，收斂速度得以加快［9］.故將經典的隨機移動算子改進為線性移動算子能使該算法具有更佳的全局尋優能力.

此外參數尋優中設置合適的最大步長可以均衡局部搜索和全部搜索，對于每一維尋優參數的取值范圍可能不一致，因此每維參數的步長設置不一樣.

2 支持回歸機（SVR）

2.1 SVR原理

在支持向量機（SVM）的基礎上引入不敏感函數，得到不敏感函數支持回歸機（ε－SVR）.SVR 和SVM的基本思想均是尋找一個最優分類面，但SVM是尋找一個最優分類面使得兩類樣本分開，而SVR是尋找一個最優分類面使得所有訓練樣本離最優分類面的誤差最小.

不失一般性，設含有l個訓練樣本的訓練集｛（xi，zi），…，（xl，zl）｝，其中特征向量xi∈Rn，為第i個訓練樣本的列向量，目標輸出值zi∈R1（i＝1，2，…，l）.通過尋求適當的映射f（x），將原低維問題通過“升維”的方法轉換至高維空間并在高維空間中構造出符合一定要求的最優線性擬合函數，具體來講就是通過引入不敏感損失函數使其對于所有訓練樣本都可以在精度ε下用f（x）進行擬合.

定義ε線性不敏感函數：

其中，f（x）為回歸函數返回的預測值；z為對應的真實值.

類似于SVM分類情況，考慮允許擬合誤差的情況所引入的松弛因子ξi≥0，ξ＊i≥0，支持向量回歸機（SVR）的標準形式如下

式中，w為權向量，b為偏差值；ε為訓練樣本的擬合的誤差精度，即｜｜≤ε（i＝1，…，l）；C為懲罰參數，且C＞0.

引入Lagrange函數可得對應的對偶問題：

式中，αi為l維支持向量機，Qij＝K（xi，xj）≡φ（xi）Tφ（xj）為核函數.求解式（7），得到擬合函數為

式中，K（xi，xj）≡φ（xi）Tφ（xj）為核函數.

本文核函數選用較為常用的RBF核函數，其形式如下：

以上求解過程通過將原問題轉化為對偶問題來化解“維數災難”，也即求解規模與輸入空間的維數無關，再經過處理得到原問題的解.

2.2 SVR參數

對于SVR模型的核函數取為RBF核函數時，影響SVR模型精度的參數主要為兩個：懲罰參數C和核參數σ.RBF核函數的核參數σ為核寬度，其代表著樣本數據在高維特征空間中分布的復雜程度，因此參數σ與輸入數據（即訓練的學習樣本）本身的輸入空間有關.當樣本越大，參數σ的取值應當越大；樣本空間越小，參數σ的取值應當越小.懲罰參數C的作用是控制模型復雜度與逼近誤差的折中，C的取值越大，則表明對數據的擬合程度越高，相應的復雜度及其學習成本也就越高，易導致“過學習”的現象，模型的泛化能力降低，當C的取值若過小，雖然會極大地簡化計算復雜度，但卻會帶來擬合誤差較大，進而出現“欠學習”的問題，同樣也會出現泛化能力降低［10］.

在SVR模型中，參數C和σ的選取會對回歸擬合產生極大的影響，故SVR的參數優選一直都是廣為關注且具有重要意義的問題.目前常用的優化方法有：網格搜索法等確定性算法以及以遺傳算法（GA）、粒子群算法（PSO）和蛙跳算法（SFLA）等群智能算法.在實際應用中，參數C和σ的實際選取值不可能達到絕對最優，本文中利用參數優選之后的SVR模型的擬合與預測誤差的大小來反映參數選取誤差的大小.

3 建立ISFLA－SVR的大壩變形預測模型

利用改進型的混合蛙跳算法（ISFLA）對SVR模型的參數C和σ進行尋優，考慮到核參數σ敏感性較高，模型中采用g＝1／2σ2進行尋優，進而得到最佳的ISFLA－SVR大壩變形預測模型.適應度函數采用訓練集交叉驗證（CV）意義下的均方差作為ISFLA的適應度函數值.因此ISFLA－SVR大壩變形預測模型的流程圖如圖1所示.

圖1 ISFLA－SVR模型流程圖

4 工程算例

以某混凝土雙曲拱壩為例，該壩壩頂高程1 245 m，最大壩高為294.5m.該壩采用正垂線對大壩變形進行監測，考慮監測時間較長并且間隔很近，容易造成監測數值過于接近，因此模型計算中每間隔7天（即一周）選一組數據進行計算，本文的模型數據擬合時段：20100701至20121220共130組實測值，模型預測時段：20121227至20130228共10組觀測值.

為加快學習速度，消除由于量綱不同所引起的的變異信息，使得分析結果更加合理，需要對樣本數據進行預處理［11］，本文采用歸一化至［0，1］區間：

式中，Xmin和Xmin分別為每組樣本數據的最大值和最小值.

初始化種群參數設置：種群規模設為150個，子種群設為15個，子種群內更新代數設為15次，種群最大進化代數為20，懲罰因子c取值范圍設為［10，100］，其最大移動步長設為10，g的取值范圍設為［0.01，10］，其最大移動步長設置為1.通過ISFLASVR模型進行尋優參數.經過ISFLA進行參數尋優，得到參數c＝63.755 9，g＝0.083 2，通過進一步轉換可以得到懲罰因子c＝63.755 9，核參數σ＝2.451 5.

為了檢驗ISFLA－SVR模型擬合精度和預測精度，本文建立3種模型：ISFLA－SVR 模型、SFLASVR模型以及傳統的多元回歸模型，利用這3種模型對本工程算例數據進行擬合和預測并作結果對比分析.通過進一步繪制擬合比較圖與預測比較圖，可以更加直觀地了解各模型的擬合精度與預測精度.

擬合對比圖如圖2所示，從圖2可以看出ISFLA－SVR模型的擬合精度很高，在一些數據變化的波動處也能很好地擬合，而多元回歸模型與實測值偏離較大.3種模型，即ISFLA－SVR模型與SFLA－SVR以及多元回歸模型的預測對比圖如圖3，從圖3中易得出ISFLA－SVR模型的預測精度比其他兩種模型要高.

圖2 不同模型擬合圖

圖3 不同模型預測曲線圖

為了對3種模型擬合精度與預測能力進行定量評價，采用均方差FMSE這一指標來進行比較和評價：

式中，n為樣本數，yi為監測真實值為模型計算值.

表1 3種不同模型的均方差比較

由上表可以得到，3種模型中擬合精度ISFLASVR模型最高，然后依次是SFLA－SVR模型和多元回歸模型.就3種模型的預測精度而言，ISFLA－SVR模型的預測精度最高，均方差僅0.700 4mm，較SFLA－SVR模 型 的 預 測 精 度1.887 5mm 提 高 了62.89%，這也反映了ISFLA－SVR模型的參數選取的誤差較SFLA－SVR模型明顯減小；多元回歸模型的均方差為8.033 5mm，與實測值偏離很大，預測精度最差，同時這也與圖3的結果吻合.

5 結 論

本文利用SVR模型對大壩變形進行預測，并引入混合蛙跳算法對SVR模型參數進行優化.利用拉丁超立方試驗初始化青蛙種群和采用自適應移動算子對混合蛙跳算法進行改進，使得參數尋優過程中均衡局部最優與全局最優，即陷入局部最優的情況能得到更大程度的避免.通過以上實際工程算例的分析計算可以得出：

1）ISFLA－SVR模型可以用于大壩變形預測，并且精度很高.同傳統多元模型相比，ISFLA－SVR模型具有更高的擬合精度和更強的預測能力，同ISFLASVR模型相比，SFLA－SVR模型的擬合精度和預測能力均有一定程度的提高.

2）本文中初步將ISFLA－SVR模型參數優選的誤差大小通過模型擬合預測均方差的大小來反映，參數誤差的具體真實大小及范圍控制仍需要進一步研究.

3）基于LHS能夠得到均勻性較好的初始化種群，從而自適應移動算子可以使得SVR模型參數尋優能夠有效跳出局部最優，并同時保持種群多樣性.

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