改進的容積卡爾曼濾波（CKF）算法在短期負荷預測中的應用

吉博文 鄒紅波 何 平 倪 浩 祝 迪

（1.三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443002；2宜昌供電公司，湖北 宜昌 443002）

負荷預測是現代電力科學研究的重要領域之一，它對電力系統的安全經濟運行及國民經濟都有非常重要的意義.隨著我國電力事業的發展，國家和電力部門對電網管理的質量要求越來越高，使得如何提高短期電力負荷預測精度的問題得到廣泛研究［1－6］.

卡爾曼濾波算法是一種遞推濾波方法，主要優點是能充分利用待測數據過程的相關信息.該方法應用于負荷預測的具體過程是：把負荷分為確定性分量和隨機性分量，對確定分量通常采用線性回歸模型預測，對隨機分量則采用卡爾曼濾波算法預測.但當隨機變量為強非線性隨機變量時，濾波則難以取得較高的精度.20世紀90年代出現了較新的非線性濾波方法，這類方法采用樣本加權求和直接逼近隨機函數，且其測量更新部分采用卡爾曼濾波的更新原理，這類濾波器有無跡卡爾曼濾波器、中心差分卡爾曼濾波器、容積卡爾曼濾波器等［7－8］.本文工作是在電力系統負荷隨機變量存在較強非線性的情況下，將所有引起負荷變化的因素如降雨、溫度、濕度等歸結為針對隨機系統的隨機因素輸入，采用基于改進容積卡爾曼濾波（CKF）算法進行預測，并以仿真測試驗證了該模型的有效性.

1 卡爾曼濾波算法

隨機信號及其測量過程的數學模型分別為：

基于投影法推導的卡爾曼濾波器遞推公式和預測方程為：

狀態預測方程：

誤差協方差預測：

狀態估計校正：

誤差協方差估計校正：

卡爾曼增益：

以上各式中，xk是n維狀態向量；zk是m維觀測向量；Φk，k－1是n×n維一步狀態轉移矩陣；Hk是m×n維觀測矩陣.n維系統噪聲ωk和m維觀測噪聲vk均是互不相關的零均值高斯白噪聲序列，并且具有如下的統計特性：

通常情況下，濾波初始值0＝0，P0＝I，0和I均是相應維數的零矩陣和單位矩陣.

2 CKF算法

假定有如下離散非線性系統

式中，x（k）為狀態向量，f（·）為非線性系統狀態函數，ω（k）為系統的過程噪聲，且為零均值高斯白噪聲，滿足分布ω（k）～N｛0，Q（k）｝；z（k）為測量值，h（·）為非線性觀測函數，v（k）為系統的量測噪聲，滿足分布v（k）～N｛0，R（k）｝；狀態的初始值x（0）滿足分布x（0）～N｛0，P（0）｝.

1）容積點選取

為了解決高斯密度函數與多變量非線性函數乘積的積分，Arasaratnam等人采用了三階容積積分方法，用容積點加權求和取代了加權高斯積分計算，如對于函數f（x）的加權高斯積分，有

式中，f（x）是任意函數，Rn是積分區域，容積點εi為：

式中，［1］i表示［1］的第i列，［1］為：

2）時間預測

計算容積點：

傳播容積點：

估計預測均值：

估計預測協方差：

3）量測更新

當獲得時間預測值后，利用下面一組遞推方程對狀態和方差進行更新.CKF算法量測更新方程如下：

計算容積點：

傳播容積點：

計算新息方差和協方差矩陣：

計算濾波增益矩陣：

計算量測更新方程：

3 卡爾曼濾波負荷預測模型參數辨識

3.1 模型階數辨識

本文采用Hankel矩陣法辨識模型的階，在系統的隨機負荷序列x1，x2，…，xN已知的情況下，按以下形式構造Hankel矩陣（簡稱為H矩陣）.

其維數為l×l，由于觀測信息中總會有噪聲，要有效地估計含噪聲系統的階數，可以采用如下算法：

1）弱噪聲系統條件下

計算每個l值（l＝1，2，3，…）時，k取不同值時H陣行列式的平均值.令

當Dl達到極大值時，即為系統的估計階數n.

2）強噪聲系統條件下

如果負荷序列所含噪聲比較大，為了可靠地確定模型的階數，構造Hankel矩陣時，不能直接用隨機負荷序列，而采用隨機負荷序列的自相關系數構造H陣.用自相關系數代替H陣中的元素，構成以自相關系數ri為元素的H陣，再計算l取不同值時H陣的行陣式值，比較所得行陣式值，達到極小值時，l值即為所求系統的階數.

3.2 噪聲協方差Q及R初始值的辨識

關于Q（t）的選取方法，對通常的動態系統，可認為濾波誤差的統計特性基本保持不變，近似為正態分布白噪聲，因此，可取Q（t）為常值Q，而Q通過事先的模擬計算加以確定.當采用模擬觀測量進行計算時，主要考慮的是濾波誤差序列，開始時若Q選取過小，則濾波誤差序列將發散；Q增大到某個值Q＊時，濾波誤差的趨勢將會在某一穩態值附近擺動，此時有最小的穩態誤差；若Q超過Q＊，濾波誤差的變化趨勢仍會在某一穩態值附近擺動，但穩態誤差將隨Q增大，因此Q較好的取值應該是稍大于Q＊.當用實際負荷值進行計算時，主要考察的是預測殘差序列.對于某些情況，濾波誤差的統計特性隨時間變化較大，此時Q（t）取常值未必恰當，應該是隨時間變化的，這應根據具體問題而定.R（t）的選取方法與Q（t）類似.

4 改進方法及應用

通過不斷更新狀態轉移矩陣，可得到改進的容積卡爾曼濾波方法，具體計算步驟為：

1）導入隨機負荷SJ，計算初始參數φ（0）、C、Q、R.C為容積點，其個數是模型階數的2倍.

2）設置初始條件：初始迭代值（0），初始值方差P（0）.

3）時間更新：根據式（13）計算容積點，式（14）計算傳播容積點，式（15）估計預測均值（k｜k－1），式（16）估計預測協方差P（k｜k－1）.

4）狀態測量更新：根據式（17）計算容積點，式（18）和式（19）計算傳播容積點Zi，k｜k－1和｜k－1，式（20）和式（21）計算新息方差陣Pxz，k｜k－1和協方差陣Pzz，k｜k－1；根據式（22）計算濾波增益矩陣Kk，根據式（23）計算狀態值｜k－1，根據式（24）計算狀態值方差Pk｜k.

5）更新狀態轉移矩陣：刪除導入的隨機負荷數據SJ的第一個數據，余下數據依次左移，左后一個數據用（k）替換，獲得新的數據序列SJ（k）.根據新的數據序列計算φ（k），重復3）、4）過程.具體仿真流程如圖1所示.

圖1 改進的容積卡爾曼濾波仿真流程圖

為了驗證改進算法的有效性，用2011年某地8月的22d數據建立模型，對該月余下9個工作日216個時刻的負荷進行預測.樣本負荷分析過程為：處理異常數據點；采用去均值的方法處理樣本負荷；抽取樣本隨機負荷，確定隨機負荷為強噪聲負荷；運用基于自相關函數的Hankel矩陣法辨識得模型為4階模型，并利用Yule－Walker方程求取最佳階數下狀態轉移矩陣以及其它模型系數.模型參數以及遞推初始值如下：狀態轉移矩陣A＝［0.395 10 －0.628 14 0.118 25 0.539 07 －1.019 94 ；1 0 0 0 0；0 1 0 0 0；0 0 1 0 0；0 0 0 1 0］；量測噪聲協方差初始值：R＝120；狀態噪聲協方差初始值：Q＝［198 0 0 0；0 200 0 0；0 0 199.6 0；0 0 0 119.67］；系統階數n＝4；遞推初始值（0）＝0.01＊randn（n，m），P（0）＝eye（n）.

模型值與真實值對比如圖2所示，可以看出改進容積卡爾曼濾波器模型始終處于穩定狀態，預測誤差較小.由具體數據可以算出預測階段9d平均相對誤差為0.16%，平均絕對百分誤差2.76%，小于3%，說明其預測精度達到預期效果，令人滿意.

圖2 負荷預測和實測值對比

為了更清楚地顯示預測效果，現從預測數據庫中隨機抽取1d的負荷預測數據（隨機抽取為第3d），并與實際負荷數據進行對比，結果見表1.

表1 第3d預測結果比較

5 結 語

本文用改進CKF對電力系統負荷建模預測，將所有引起負荷變化的因素如降雨、溫度和濕度等歸為隨機系統中的隨機因素來計算，模型結果證明了這種方法是有效的，具有較高的計算精度.

CKF方法用容積點對非線性序列的近似，避免了對非線性函數的解析求導（還可以處理不可導的非線性函數），減少了計算量，節省了計算時間.

本文的噪聲協方差Q及R均是定常值，此方法要求對噪聲統計特性的先驗知識有準確的掌握，如果采用了不準確的噪聲統計特性設計濾波器模型，就會產生較大的估計誤差，甚至導致濾波發散.解決該問題可以借鑒自適應卡爾曼濾波，通過引入噪聲估值器在線校正模型參數或噪聲統計值，提高濾波精度.實際應用中對此問題可做進一步研究.

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