軸承套圈超高速離心磨削預應力分析

劉曉初，何銓鵬，代東波，陳凡，郭瑩瑩

(1．廣州大學 機械與電氣工程學院，廣州 510006；2．廣州大學 金屬材料強化研磨高性能加工重點實驗室，廣州 510006)

1 概述

軸承套圈(以下簡稱工件)的一般加工工藝為：毛坯成形→車削→軟磨精整→熱處理→磨削→滾道面超精研磨。其中，磨削加工、滾動面超精研加工是軸承生產過程中的關鍵工序，其質量直接決定軸承的精度、動態性能及可靠性。在磨削過程中，由于磨削熱而在工件表面產生的變質層(拉應力層)可使滾道表層硬度下降，且易產生微裂紋，從而降低軸承的疲勞強度。因此，若能在磨削過程中直接控制某些因素，使工件表面層形成殘余壓應力，將大幅提高軸承的使用壽命。

超高速離心磨削是一種對工件施以高速旋轉而帶來離心效應和陀螺效應以及周向預應力的新型加工方法。該方法能加工出高精度的、表層具有殘余壓應力的軸承套圈[1]。

電磁無心夾具具有重復定位精度高、可大幅減小電主軸圓跳動對工件加工精度的影響等優點[2]，所以可采用以工件外圓定位的多磁極式電磁無心夾具來實現超高速磨削的“離心”效果。

文獻[3]對硬態切削技術進行了理論研究，結果表明，若加工前預先給工件施加一個彈性范圍內的拉應力，加工過程中工件表面會產生塑性變形，加工后將該應力釋放，加工表面由于基體的彈性恢復會產生殘余壓應力，且殘余應力與預應力之間成正比關系。

綜上所述，超高速離心磨削過程中產生的預應力是影響工件表層殘余應力分布狀態的主要因素，利用空間應力求解法推導工件預應力表達式，并考察周向應力和軸向應力在工件表面的分布狀態，為最終實現殘余應力的可控性提供理論基礎。

2 磁吸力分析

由電磁原理可知，線圈通電產生磁場，磁場中的磁感線依次通過鐵磁芯、磁盤、磁極、支承、支承座、氣隙和夾具體后回到鐵磁芯，形成一個封閉磁路，從而產生磁吸力[4]。

由于螺管式線圈結構的磁路有氣隙，很難準確計算磁吸力，所以引入近似的磁吸力計算公式[5]

(1)

式中：μ0為真空磁導率；B為磁感應強度；S為磁通量橫截面面積。

在進行磁力分析時，S一般為常數；μ0為常量，取4π×10-7H/m，因此B是影響Q的主要因素。B的計算式為

(2)

式中：μ為磁導率；H為磁場強度；N為線圈匝數；I為線圈電流；L為磁路的平均長度。

將(2)式代入(1)式得到磁吸力的最終表達式為

(3)

3 工件預應力計算

一方面，由圣維南定理可知，當一個平衡力系作用在物體的某一小部分上，則該平衡力系在物體內所產生的應力分布僅局限于該力系作用區域的附近，在離該區域相當遠處會急劇地減小[6-7]，根據電磁無心夾具的工作原理，即使工件與支承之間存在一個平衡力系，但該力系所產生的應力分布只局限于兩者接觸面的附近，在磨削區域中幾乎沒有應力產生，所以計算工件預應力時只需考慮磁極對工件的影響；另一方面，在磁極磁場作用下，工件所受磁力與寬度存在函數關系，但實際生產中工件寬度一般較小，且與磁極距離較短，為了簡化計算，將工件受到的磁力視為常量，大小與磁極的磁吸力Q相等。此外，考慮到工件內外半徑是其寬度的2～5倍，應按空間應力問題求解。

如圖1所示，以工件某一表面為基準面，其中心為原點O，建立空間圓柱坐標系，則工件任一點M的圓柱坐標(r,θ,z)和直角坐標(x,y,z)之間的關系分別為x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，并規定沿坐標軸r，θ，z方向的物理量分別以下標r，θ，z表示，若物理量有2個下標，則第1個下標表示物理量的作用面，第2個下標表示物理量的方向。

圖1 空間坐標下的工件

為簡化運算過程，在不計重力作用下將工件受到磁極端面的支持力定義在z=0的平面上，即該表面沿z軸方向的位移量為0，并把慣性力(F=ρω2r)和磁吸力Q作為體積力，已知工件密度為ρ，內圈半徑為r0，外圈半徑為r1，寬度為B，求工件以角速度ω勻速轉動狀態下的應力。

通過導出圓柱坐標系形式的基本方程來求解上述彈性力學空間問題，其中包括6個幾何方程、3個平衡方程、6個胡克定律下的應力方程[7-8]

(4)

(5)

(6)

?=εr+εθ+εz，

式中：u為位移量；ε為應變量；γ為切應變；σ為正應力；τ為切應力；f為體積力；λ為拉梅系數；G為剪切彈性模量；?為應變張量的第一不變量。

由于工件的幾何形狀、約束和所受外力均對稱于z軸，根據變形對稱性，必有uθ=0，γrθ=γzθ=0，τrθ=τzθ=0，其余的位移、應變和應力都與θ角無關[7]。因此在進行軸對稱問題求解時，可將(4)～(6)式簡化為

(7)

(8)

(9)

將(7)式代入(9)式，然后再代入(8)式，可得平衡方程

(10)

(11)

(11)式的一般解為齊次方程的通解加上一個特解，導出該方程組通解為

為簡化計算，設ur=D1rk1，uz=D2zk2，代入(11)式求出其特解為

因此，(11)式的一般解為

(12)

將(12)式代入(7)式導出應變表達式

(13)

再將(13)式代入(9)式可導出應力表達式為

(14)

(12)～(14)式共10個方程，包含5個未知量，所以本問題的邊界條件至少有5個，分別為

因此，工件高速旋轉狀態下的應力表達式為

(15)

(16)

由(16)式可知，當r，z和Q為定值時，σr，σθ，σz均與ω2成正比，即工件轉速越高，所產生的預應力越大。大量實踐表明，當周向預應力為拉應力時，加工后工件表面可獲得殘余壓應力，反之則為殘余拉應力[9]。經分析，利用超高速離心磨削方法來延長軸承套圈的使用壽命，其本質是通過預應力磨削使工件表面獲得良好的殘余壓應力，軸向預應力σz即使為壓應力，但相對周向預應力σθ(拉應力)而言，影響較小。因此，為了進一步說明周向應力和軸向應力的影響程度，需考察二者在工件表面上的分布情況。

4 實例分析

以飛機發動機主軸中用角接觸球軸承內圈(QJ1019)磨削為例，套圈相關參數見表1。

表1 QJ1019軸承內圈參數

在考察周向應力和軸向應力的分布時，自變量為nw(r/min)和z(mm)，具體步驟為：

1) 確定自變量的考察范圍；

2) 估算出磁吸力Q；

4)根據(15)式導出σθ和σz的具體計算公式；

5)由計算公式，利用MATLAB繪制出相應的應力分布圖。

在確定自變量范圍時，取nw∈[104，3×104]r/min，z∈[0，24]mm。工件轉速大幅度提高，將破壞傳統磨削工藝中工件與砂輪轉速之間的比例關系，還可能帶來其他負面影響，如工件與支承之間滑動速度過高使工件表面形成支點??；離心力過大使工件從支承上飛出等。因此，需通過變速磨削、合理調整電磁無心夾具的幾何參數(偏心象限、偏心量、支承角等)、提高套圈與支承間的冷卻和潤滑效果、以浮動支承來代替固定支承等方法避免上述問題的發生。

在估算磁吸力Q時，μ=μ0μr，通過查閱電工手冊[5,10]可知，鑄鐵的相對磁導率μr為200～400，取μr=300，則μ=300×4π×10-7=3.8×10-4H/m；根據電磁無心夾具結構估算L=0.2 m；在電磁無心夾具的設計中n為1 000～2 500，則取n=2 000；線圈材料一般為銅絲，其電流密度J=2～4 A/mm2，假設銅絲直徑為0.5 mm，其橫截面積A為0.196 3 mm2，則I=JA=0.39～0.79 A，取I=0.6 A；根據工件尺寸估算S≈3.074×10-3m2。將上述數據代入(3)式估算出磁吸力Q≈6 360 N，方向與z軸相反。

令r=r1，將Q≈6 360 N以及表1中參數代入(15)式，分別導出σθ和σz的具體計算公式

(17)

根據(16)式和自變量取值范圍，利用MATLAB繪制σθ和σz的應力分布如圖2所示。

圖2 σθ和σz應力分布

由圖2可知，工件高速旋轉狀態下，其表面的周向預應力為拉應力，而軸向預應力為壓應力；在σθ和σz的應力曲面上，沿寬度方向的曲線曲率較小，即工件表面的應力分布基本不受磁吸力Q的影響。

令z=12 mm，分別得出周向應力和軸向應力與工件轉速的關系曲線，如圖3所示。比較二者數值大小，σθ至少是σz的20倍，即磨削過程中工件表面的周向預應力(拉應力)對殘余壓應力的形成起主導作用。

圖3 當z=12 mm時，σθ，σz與nw的關系

假設高速旋轉下的工件可自由膨脹，利用平面法導出其應力表達式為

(18)

圖4 空間法與平面法比較

5 結論

1)由預應力表達式可知，當r,z和Q為定值時，σr，σθ，σz均與ω2成正比，即角速度越大，預應力越大。

2)工件表面的周向預應力(拉應力)至少是軸向預應力(壓應力)的20倍，所以提高工件轉速有利于工件表面殘余壓應力的形成。

3)在分析工件表面周向預應力的問題上，分別利用空間法和平面法進行求解，二者誤差小于2%。